非平衡格林函數

06-04

非平衡格林函數

來自專欄非平衡格林函數用於介觀輸運理論

格林函數[1-10]在我看來最初只是一種純粹的數學概念，而物理學家將這一方法用來處理各種微分方程，並且賦予了物理意義，如路徑積分中的傳播子，費曼圖等都與格林函數密切相關，而他們有一個共同的特點，就是格林函數滿足如下方程形式：

$(Z-L)G(r,r;z)=delta(r-r)$

其中 $L$ 是厄米算符， $Z$ 滿足 $LX=ZX$ ，那麼 $G(r,r;z)$ 就被稱為格林函數，這是對格林函數最簡單粗暴的理解。所有可以寫成這一形式的微分方程都可以被稱為格林函數，如電動力學中的泊松方程也同樣可以引入格林函數的概念是不無道理的。在凝聚態中，厄米算符 $L$ 一般對用哈密頓量 $H$ ，如描述標量粒子的克萊因高登方程，描述半整數自旋的狄拉克方程等等。格林函數和哈密頓量存在同樣的問題：並非所有的格林函數都能給出解析解，正如不是所有的哈密頓量都能精確求解一樣。因此格林函數也有微擾論，而費曼發現微擾不用我們每次都傻乎乎的用微擾論，而直接計算某些特定的費曼圖也可以達到同樣的目的，這一方法更加的簡單粗暴，只要讀出積分，剩下的問題就是如何積分的問題。

前面我們說格林函數只是純粹的數學工具，但是在實際應用中，格林函數往往與厄米算符相聯繫，而與之對應的就是一些可觀測量。以單粒子格林函數為例：它表示在r位置t時刻產生或湮滅一個粒子，並且該粒子在r』,t產生或湮滅的幾率福。定義零溫下的單粒子格林函數：

其中T是編時排序（時間越大越往後放），而 $Psi_H(t)=e^{iH_t/hbar}Psi(t=0)e^{-iH_t/hbar}$ ,很容易可以檢驗該函數被稱為格林函數是有道理的：

這與之前格林函數的定義一致，說明單粒子格林函數滿足格林函數的要求。

通過編時排序得到的格林函數可以被稱為因果格林函數是一種最基本的格林函數之一，而我們常用的格林函數還包括一下四類，分別稱為：推遲、超前、小於以及大于格林函數：

其中中括弧表示反對易， $heta(t-t)$ 為階躍函數，這些格林函數各有特點：

1.因果格林函數有微擾論

2.推遲和超前格林函數有很好的解析結構，並且包含散射幅、態密度等信息。

3.小於和大于格林函數和可觀測量直接相關，如粒子態密度、電流等。

一個重要的關係可以幫助我們建立從推遲格林函數到態密度的關係，稱為譜定理，這在實際工作用有很大的應用：

其中 $A(k,omega)$ 稱為譜函數，可以與態密度聯繫：

到這裡我們都在講有關於平衡態格林函數，既體系從負無窮時刻演化到正無窮，兩個狀態時相同的。而凝聚態中出現的更多的事非平衡的問題，既負無窮時刻與正無窮時刻的狀態時不等價的。而這樣的問題幾乎是不可能求解的，在此基礎上，建立非平衡態的格林函數方法。核心思想：既然體系回不到初態，那我們構造迴路，使得體系演化回到初態，這樣一個非平衡的問題就轉化為了平衡態的問題，這就是迴路格林函數。定義在迴路上的格林函數也並不能直接求解，但是格林函數的一個重要的特點就是肥西構成格林函數算符作用於基態的先後順序，順序會決定格林函數的類型，我們在迴路上取時刻t，區分出兩條不同的路徑，一個很顯然的事實：被t分開的兩條路徑的時間大小是明確可比較的。以單粒子為例：

$G(1,1)=-ilangle T_c[psi_H(1)psi^dagger_H(1)] angle$

$T_c$ 表示編時是定義在迴路上的，因此是一個定義在迴路上的格林函數，迴路如下圖所示

假設上路徑為 $C_1$ 下路徑為 $C_2$ ，則 $t_{C_1}<t_{C_2}$ ,如果 $t_1epsilon C_2;t_1epsilon C_1$ 那麼時間小的算符線作用，因此 $phi_H(1)$ 在右，與格林函數定義比較後，很容易可以得到

考慮所有情況（2*2）種情況，有

將迴路格林函數從新定義到時間軸上，這四個格林函數只有三個是獨立的。這一過程被稱為解析延拓。對於更複雜格林函數，也可以通過類似的方法進行解析延拓，就不廢話了。以 $C=AB$ 或者說

為例，

一個節點已經非常不夠用了（只能比較兩個時刻），因此需要兩個節點，這樣可以比較三條路徑的時間，對應格林函數中的三個時刻。到這裡，通過比較大小，分析所有的可能情況，最終解析延拓的結果為：

下面我們舉個簡單的例子：

體系包含三部分：中心區哈密頓量+導線哈密頓量+導線與中心區的耦合，我們以最簡單的情況為例，中心區不存在任何情況的相互作用，只是簡單的中心區：

導線也是最簡單的金屬導線：

以及它們之間的耦合

定義兩個格林函數：

定義導線中的粒子數 $N_L=sum_k c^dagger_k c_k$ ,系統的電流等於導線中單位時間電子數的改變數乘以電荷量e嗎，因此

其中

為了計算電流，需要運用戴森方程+解析延拓：

這樣，我們將非平衡格林函數轉化誒平衡格林函數，將迴路轉化為時序。其中 $g_{k,k}(t_1,t)$ 是半無限長導線格林函數，對於這個體系是可以精確求解的。同樣中心區也可以精確求解，而耦合係數 $V_{n,k}$ 可以採取一些近似，如直接取為常數，或取為高斯分布等。這樣，在小于格林函數可解的情況下，電流也是可解的。

參考文獻：

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