數學家的思維：抽象

來自專欄 fulyMath

聲明：本文為原創文章，首發於微信公眾號「湖心亭記」

不涉及數學知識點，題目。只是自己一點對數學學習的感悟。不感興趣者可以略過不看哈。

數學家在解決實際問題時，往往並不太在意一個具體的問題，而是會把這個具體的問題放在一般的情境中，去探尋一個非常泛化的規律，再反過來用這個規律去解決這個具體的問題。其實這個過程就叫做抽象。也即下面的步驟：

問題一般化，發現規律，證明結論，問題特殊化。

下面我們採用一個具體的例子進行講解這種思維模式。

例如：抓堆遊戲：

現有穀物100粒。甲乙進行抓堆，規定每人每次只能抓1到5粒，而且誰是最後將穀物一把抓完誰獲勝。如果甲先抓，問甲第一次應該抓多少粒才能獲勝。

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顯然這個問題是關於自然數的命題。現在我們嚴格按照數學家解決問題得思維方式來進行處理。

（1）問題一般化：

即現有穀物n粒，依然按照題目的規則進行抓堆，問甲第一次應如何抓才能獲勝。

（2）發現規律：

探索規律應該遵循從簡單到複雜的情況。也就是說我們要按照n=1,2,3,4,5....這樣子的順序來依次考察甲應該怎麼抓。為此我做了如下的表格：

其實做到這些，基本上規律已經發現了。你也可以繼續研究n=19以後的抓堆情況。在這裡我們就不再研究了。規律就是表格中紅色文字所描述的：

把6的倍數留給誰，則誰輸。

那麼我們的問題是甲勝，那麼這個規律就是：

把6的倍數留給乙，則甲勝。

（3）證明結論

好，通過上面的演繹，我們得到的只是一個合情推理。還不能叫做結論。因為沒有經過嚴格的數學邏輯證明。下面我們就來證明。所用的方法就是數學歸納法。如下

把6的倍數留給乙，那麼再開始抓當然就是乙先抓了（因為是留給他來抓嘛）。也就是6k留給乙來抓。

首先當n=1時，顯然6留給了乙，通過我們的表格n=6，甲勝。命題成立。

其次，假設當n=k-1時，命題也成立。

最後，當n=k時，我們要證明命題也成立。當n=k時，6k留給了乙，此時乙來抓。他只能抓1到5粒。那麼當乙抓1，接下來甲就抓5，此後剩下6k-1-5=6（k-1），也就是變成了n=k-1的 情況，命題成立。那麼當乙抓2，甲抓4，也能夠變成n=k-1的情況。依次類推，有乙抓3，甲抓3；乙抓4，甲抓2；乙抓5，甲抓1。總之總能變成n=k-1的情況。因此n=k時，命題也成立。

於是，將6的倍數留給乙，則甲勝。這個命題就稱為了結論。

（4）問題特殊化

到目前為止，我們探索的都是一般化的命題。那麼現在我們要回歸到最開始的那個特殊的問題，也就是n=100時。此時甲應該如何抓呢？顯然根據結論，甲只需要抓4，就把96這個6的倍數留給了乙，那麼甲勝。我們的答案就是甲應該抓4.

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好，解決這個問題並不是我們的目的。我們的目的是要汲取這其中的數學營養。

其實問題一般化，發現規律，證明結論，再回到問題特殊化，本質上就是數學抽象思維的運用過程。比如在這個過程中，甲怎麼抓，其實與n=100這個具體的量並無太大關係，也就是說無論n怎麼變，把6的倍數留給乙這個獲勝的秘訣是不變的。而數學就是要在眾多問題中找到這種不變的性質。因此忽略掉n=100這個具體的特殊的情境，轉而在n=1,2,3...這個自然數的大環境中探索本質規律。

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以下都是我自己的感悟，不感興趣的可以不用往下看了哈。都是一些雜談。

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數學的發展本就是旨在尋找宇宙中眾多變化中不變得東西，也就是尋找事物最核心、最本質的特性。比如原的周長為2pi乘以r，無論圓是大是小怎麼變化，都有這個關係不變，也就是變化中的不變。再比如一個大的直角三角形與一個小的直角三角形，無論它們都多大差異，斜邊平方永遠等於兩直角邊平方和，這個規則對它們來說是統一的，也即所謂的不變。

對數學有了這種認識，你就會能感悟到數學真的是探索宇宙奧秘的一把鑰匙。從歷史的角度看，更是如此。在古希臘，數學發展的源頭，那個時候數學和哲學是不分家的。而那個時候與數學關聯最密切的就是天文學。一方面因為生產需要人民需要藉助數學研究天文，而另一方面更重要的是人們企圖藉助數學來探索天體運動的規律，宇宙運行的真理。人們總覺得天體一定是在一個統一的框架中運行的，而發現以及表達這個框架的最佳工具只能是數學，也就是按照數學的方式來運行。所以你看那段歷史，就是發現幾乎所有的數學家都是哲學家，比如蘇格拉底、柏拉圖、亞里士多德等。那麼你是否對畢達哥拉斯學派的「萬物皆數」有了更加深刻的認識呢？總之，他們都覺得宇宙運行的真理包含在完美的數學公式中，數學就是絕對的真理。所以後來數學的發展，人們總是喜歡和諧的、統一的數學定理。也就是數學是追求完美的、統一的絕對真理的這個特性是在它發展的源頭都已經奠定了的。

另外，回到我們初高中的數學學習上。其實老師或者學生都在有意或者無意的在運用數學思維進行學習。比如在解題中，你的老師可能會總結一類題型所通用的解題方法，而你自己也應該學會梳理和總結知識中的共性，總結出框架體系。這些都是在變中求不變，都是企圖在尋求一個共性的東西來統一所有不同的事物。所以說在無形中，你的思維已經在朝著數學家的思維邁進了。這就是為什麼我們常說學習數學能鍛煉思維，提升思維品質。

但大多數人都忽略了這一點，包括老師和學生。因為在應試教育中，無論是老師還是學生，他們都在時間壓力和分數壓力下盲目前進。很有有人思考問題中的數學思維，以及他們思考方式的本質。那麼如果在實際教學中，老師能夠做到引導學生在思維層面去思考數學問題，或者引導學生認識到自己正在使用的數學思維方式，這一定能幫助學生髮掘數學思考邏輯並養成良好的思維習慣。我相信，則無論是學生還是老師都能獲得長足的進步。而這正是當下數學教育中所缺失的，即對學生進行數學思維品質的培養和引導。

數學思維品質的培養和引導不是把數學歸納法、化歸法、換元思想等方法一五一十的教給學生。這不是思維的培養，而是硬灌。培養應該是讓學生的思維覺醒，從數學思想的角度，全局的角度意識到自己正在進行的思維活動的本質，它就是某一種數學思想。比如歸納法、化歸、換元等只是數學在解決問題時的手段和工具。那這背後是什麼？換句話說，我們為什麼要解決這個問題，以及為什麼要這樣子解決這個問題，這背後是怎樣的數學思想在起到作用。比如說我們解決這個問題，是為了得到一個更統一的結論，是為了讓數學表現更加和諧。

因此在實際教學中，決不能為了讓學生學方法而去進行枯燥的填鴨式的講方法。一個優秀的數學老師，在於能培育學生自我成長、自我再生的數學思維。教學相長，在引導學生的同時，教師也必定會有所收穫。

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