女朋友也能看懂的博弈論

《高能少年團》里有這樣一個片段，這是眾多明星一起玩的一個小遊戲：

桌子上有30塊木板，2個人輪流劈木板，每人每次可選擇劈碎一塊、兩塊、三塊、四塊或五塊，率先劈碎第30塊木板的玩家獲勝。

其實這是一個後手必勝的遊戲，大致來看是這樣的：如果你作為玩家想要獲勝的話，最後輪到你的回合時必須要剩下1～5塊木板，因為你可以把它們全部劈碎從而贏得比賽，而這隻需要在輪到對手的回合時剩6塊木板，這樣無論他劈1、2、3、4還是5塊木板，剩下的木板數一定介於1和5之間，這是你一定能贏的狀態；而想要讓輪到對手時剩6塊木板，你只需輪到你的回合時剩7～11塊木板，因為你總有辦法（你可以劈碎1～5個木板）讓你的回合結束時剩下6塊木板留給你的對手，而這隻需要輪到對手時剩12塊木板，因為他無論怎麼劈，一定給你剩7～11個木板；同樣的道理，你只需要你的回合開始時剩13～17塊木板，即對手的回合開始剩18塊木板；只需要你的回合開始時剩19～23塊木板，即對手回合開始時剩24塊木板；只需要你的回合開始時剩25～29塊木板，即對手回合開始時剩30塊木板。

畫出狀態圖如下：

遊戲開始時，如果對手是先手玩家，這時他面臨的是30塊木板（圖中第一個圓），那麼他無論劈多少木板，剩餘的木板數一定屬於圖中第一個橢圓，輪到你的回合，這時你總有辦法將木板數劈剩24個（第二個圓）從而輪到對手，這時他無論劈多少塊木板，一定給你剩下第二個橢圓里數量的木板，以此類推，最後輪到你的回合一定屬於圖中最後的橢圓狀態，即你的回合剩1～5塊木板，恭喜你贏了。可見只要你足夠聰明，無論對手採取怎樣的策略劈木板，你一定可以贏得比賽。

好了，諸如此類的博弈其實更接近一個純數學問題，這類問題基本上有如下一些共性：

有兩個玩家，

1. 遊戲有一個確定的局面，該局面是雙方可見的（完全信息）；
2. 規則對遊戲雙方是相同的（公平的），它規定了哪些操作（策略）是可行的；
3. 玩家的操作將使遊戲從一個局面確定地走向另一個局面；
4. 遊戲會在有限步內結束。

滿足上述條件的遊戲，稱為無偏博弈。

無偏博弈在數學上有一定的章法可循，重新考慮上述問題，一共有30個木板，因為木板的數量總是遞減的，所以這個遊戲必將在有限步（30步）內結束。我們可以用餘下木板的數目表示局面，於是一共有30個局面，因為規定誰劈碎最後一個木板贏，這是「輪到誰誰就贏」的局面，稱為勝態，這個狀態下有1～5塊木板，先手可以採取允許的措施（劈碎1～5塊木板）使自己贏得比賽。當局面為6時，不論採取何種策略（劈碎1、2、3、4或5塊木板），局面都將走向勝態，從而6是一個必敗態，同樣的道理，上圖中的圓都對應必敗態，橢圓都對應勝態。

所以一個無偏博弈的局面可以分成兩種：必敗態和勝態。

勝態一定可以通過某種策略使局勢走向必敗態；而必敗態採取任何策略局勢都將走向勝態。

如果遊戲開始時局面是必敗態，無論你怎麼行動，都將走向勝態，然後交給對手，這是後手總可以採取適當策略使勝態走向必敗態，再交還給你。假如後手足夠聰明的話，後手就讓先手永遠面臨必敗態，而自己永遠面臨勝態，直至遊戲結束。這就是一個後手（採取適當的策略）必勝的遊戲。反之，如果遊戲開始時局面是勝態，那麼這就是一個先手必勝的遊戲。

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