地球的生存或毀滅——太陽系會土崩瓦解嗎？| 賽先生天文

06-04

最壞的情形之一：地球和金星的碰撞[3]

「

這個世界沒有什麼是可以完全確定的，除了死亡和稅費。
——本傑明·富蘭克林

太陽系真的是穩定的嗎？這一問題曾困擾了包括牛頓在內眾多傑出的數學家、物理學家；對這一問題的探索激發了非線性力學和混沌理論。如今快速計算機和新演算法的出現給出了概率性回答：未來50億年間太陽系很可能是穩定的，但也有1%的概率顯示太陽系將會土崩瓦解。

撰文鄭曉晨（清華大學）毛淑德（清華大學、國家天文台）

1 太陽系的穩定性問題

人類日出而作，日落而息，亘古未變，大概很少有人會關心這樣一個問題——太陽系是穩定存在的么？地球是否會毀於某個突然撞過來的天體，或是逐漸改變了現有軌跡，過於靠近太陽被蒸發殆盡，或是背離太陽成為冰球？

我們大多數人都想當然地認為，地球甚至整個太陽系都是高度穩定的。畢竟，太陽系已然誕生了45億年的時間，如果存在不穩定的因素，浩劫也許早該發生，現在開始擔心太陽系穩定性問題豈不是杞人憂天？

實際上，太陽系的長期演化歷史和其穩定性是天文學中最基本卻懸而未決的重要問題之一[1,2,3,4]。

2 歷史回顧

2.1 牛頓的上帝之手：穩定性的質疑

圖1. 英國物理學家牛頓（1643-1727）

太陽系的穩定性問題可以追溯到牛頓時期，牛頓（圖1）第一個意識到行星運行的物理本質，他利用萬有引力理論成功的解釋了行星繞太陽運行的基本規律：在只考慮太陽引力的情況下，每一顆行星都將以太陽為焦點進行橢圓運動。這也是經典牛頓力學裡一個非常完美的解析解。不得不說這裡有一個看似非常高明的近似處理，因為太陽的質量佔據整個太陽系總質量的99.8%，所以牛頓假設了行星之間的相互作用可以忽略不計，即每個行星軌道之間相互獨立。這種假設有其合理之處，因為即使是太陽系質量最大的行星——木星，其對地球的引力作用也不過約為太陽引力作用的十萬分之一。在這種近似處理下，我們可以輕而易舉地根據每顆行星的現有觀測屬性，依照牛頓定律，預測其未來任何時刻的運動軌跡。

然而，早在牛頓時代，足夠高精度的行星觀測數據表明，太陽系中各行星的實際觀測軌跡與近似解下的完美橢圓軌跡之間存在一定的偏差，其中比較引人矚目的就是土星和木星的「偏航」問題——16、17世紀的天文學家發現木星正螺旋式地緩慢逼近太陽，同樣地，土星也正以類似的方式緩慢地遠離太陽。如果按照這一趨勢演化幾萬年的話，整個太陽系將萬劫不復。

顯然，牛頓的近似處理並不能解釋土、木二星的「迷航」。這一結果讓牛頓陷入了迷茫，也讓他對於太陽系的穩定性產生質疑。他意識到，太陽系的8大行星（牛頓當時只知道其中6個）之間存在周期性的、微小的引力擾動，這些微小的引力擾動會不會日積月累，最終成為導致行星軌跡異常的罪魁禍首？

牛頓後來對於太陽系穩定性問題的評論可圈可點，他認為所有行星誕生之初都是按照標準的橢圓軌跡共軸運轉，然而隨著行星之間（行星與彗星之間）相互作用的累積，平衡被打破，越來越多的行星出現軌道異常，最終整個行星系統土崩瓦解直至產生新的暫穩系統[4]。

牛頓如此旗幟鮮明地相信太陽系是不穩定的，他認為現如今這樣間距合適、近圓軌道運轉的行星布局，大概只能僥倖歸功於上帝之手的鬼斧神工。

2.2 拉普拉斯的決定論：穩定性的擁躉

如何理解土星和木星的「偏航」問題一度成為18世紀一個重要的科學議題，一方面，它將決定牛頓定律是否適用於行星系統，另一方面它也將太陽系的穩定性問題提上了議程。

牛頓對「偏航」問題的失敗解讀無疑激發了眾多數學家攻克難題的動力。1個世紀後，歐拉（Euler）試圖將土、木二星的相互作用納入考慮，研究兩行星的平均運動情況，其結果雖然不盡如人意，但卻為後世應用廣泛的擾動方法奠定了基礎；1766年，拉格朗日（Lagrange）第一次採用了准周期性的表述方式來描述行星在軌道平面的運動，並引入了軌道傾角（inclination）、節點經度（longitude of nodal）等參數，這些變數我們沿用至今。值得一提的是，儘管當時幾個類地行星(水星、金星、火星) 的質量尚有一定的不確定性，拉格朗日仍然計算出了節點的久期振動頻率，且與現在的計算結果非常接近。同時期的法國數學家拉普拉斯（Laplace，圖2）對拉格朗日的工作印象深刻，他開始應用拉格朗日的方法研究行星軌道的離心率（eccentricity）和遠日點（aphelion）。他發現土星繞太陽公轉兩圈的時間與木星公轉五圈的時間是相當的，這一巧合將會導致土、木兩星在各自軌道附近產生一個周期為數千年的振蕩，這一振蕩也為土、木二星的偏航提供了合理的解釋。

圖2. 法國數學家拉普拉斯（1749-1827）

毫無疑問，拉普拉斯的結果令人欽佩，也與觀測最為符合，就他所屬的時代而言，他無疑取得了突出的成就。雖然歐拉和拉格朗日也觸及了解決問題的關鍵——土星、木星的相互作用，但卻都與正解失之交臂。

拉普拉斯在牛頓萬有引力的框架下合理地解釋了土星、木星的軌道奇異性，並據此，開始反演太陽系。他嘗試基於土星、木星的演化理論來推斷太陽系誕生之初土、木星二星的位置，結果和兩千年前（228 BC）巴比倫人和（240 BC）托勒密（Ptolemy）的觀測數據驚人的吻合[1,2]。這無疑激發了拉普拉斯決定論[5]的提出——「我們可以把宇宙現有的狀態視為其過去的果以及未來的因。如果一個智者知道某一時刻所有自然運動的力和所有自然構成的物體的位置，並能對這些數據進行分析，那麼從宇宙里最大的天體到最小的粒子，它們的運動軌跡都應該包含在一條簡單的公式中。對於這個智者來說，沒有問題是含糊的，未來可以像過去一般歷歷在目」。簡單的說，拉普拉斯認為，一旦我們知曉宇宙中所有物體的位置和速度，那麼就能準確的推斷它的過去，預測它的未來。

在拉普拉斯的推斷中，太陽系作為一個整體，是一個穩定的周期性運動系統，各個行星軌道的半長軸並沒有經歷長期的變動，它們的軌道離心率和傾角也只是經歷比較小幅度的變動，而這些變動並不足以激發軌道交匯，產生行星碰撞。但是，在拉格朗日和拉普拉斯的工作中，行星的軌道已非標準的開普勒式橢圓。行星將存在兩個方向的進動——近日點方向的進動（行星軌道在軌道平面的轉動）以及節點的進動（行星軌道平面在三維空間中的轉動），進動周期從45000年到幾百萬年不等[1]。

除此之外，還有其他許多數學家也曾投身於太陽系穩定性問題的研究，包括赫赫有名的高斯（Gauss）、泊松（Poisson），和近代的法國數學家莫澤（Moser），以及俄國數學家阿諾德（Arnold）和柯爾莫戈洛夫（Kolmogorov）。在研究過程中，他們發表了多個關於太陽系穩定性的證明。然而，這些證明都是基於各種近似假設，與太陽系的實際情況並不完全相符，因此太陽系的穩定性依然存疑。但這些研究卻並非毫無意義，眾多新型的數學計算工具，例如擾動理論、卡姆（KAM）定理等應運而生，這也為現代學科分類下的非線性動力學和混沌理論提供了靈感[4]。

2.3 龐加萊的混沌：可預知性的終結

牛頓對太陽系穩定性的質疑，無疑埋下一顆懷疑的種子，雖然大數學家拉普拉斯等也曾深入探討過這個問題，在他們的結論中，太陽系是完全穩定的，但大家仍然心存疑慮。於是在1887年，開明又喜愛數學的瑞典國王奧斯卡二世採用2500瑞典克朗的現金獎勵方式來懸賞這一問題的答案，最終摘得桂冠的法國科學院院士龐加萊（圖3）卻證明了這個問題並不可解。

圖3. 法國數學家龐加萊（1854-1912）

那個時代的物理學家熱衷於觀測並研究天體，他們喜歡基於牛頓的引力定律來計算多天體的運動軌跡，並將此類問題歸為N體問題。對於簡單的二體問題，牛頓時代已經可以精確求解，但到了三體以及多體問題，卻是困難重重。龐加萊受美國數學家希爾的啟發，首先將三體問題簡化為所謂的「限制性三體問題」。即在一個特殊三體系統中，當其中一個天體質量很小（相對於另外兩個天體來說可以忽略不計）時，忽略其引力作用。剩下的兩大天體將按照開普勒定律，繞著它們的質量中心做橢圓運動。而小天體則將在兩大天體的聯合重力場中運動。然而，即便如此，龐加萊發現小天體的運動軌跡依然非常複雜，哪怕給定了初始條件，當時間趨向於無窮時，小天體最終前景莫測。這種軌道長時間演化的不確定性，也就是我們現在熟知的混沌現象[6,7]。

即使是這樣一個簡化的三體系統，也不存在解析解，更不用提由太陽和多個行星構成的N體系統了。換而言之，對於兩體以上的多體問題，我們很難或者說根本找不到一個完美的公式可以永遠準確地預測它們的信息，對於它們軌道的長期穩定性問題更是無從談起。

龐加萊的這一研究無疑是一項超越時代的工作，他發現，行星系統中存在哪怕一點微小的擾動都有可能是壓垮太陽系的最後一根稻草，這也是混沌思想的雛型。雖然現在「蝴蝶效應」人盡皆知，但在當時這卻是與主流思想背道而馳的觀點。要知道十九世紀末期，大家對自然界的基本理解多傾向於拉普拉斯的決定論。人們更願意樂觀地相信，根據現在的狀態，人類有能力預測未來的一切。然而，龐加萊的理論恰恰預示著完美的、可預知性的終結。他發現拉普拉斯等人在計算太陽系穩定性時所採用的基本近似方法，並不適用於長時間的軌道預估，太陽系中各行星的命運都必須用概率表述。

3 計算機中的太陽系

太陽系的穩定性問題自牛頓提出，歷時3個世紀，雖然曾有無數天文學家、數學家前赴後繼，也未能尋求到最終答案。幸運的是，自20世紀80年代開始，隨著數值模擬突飛猛進地發展，天文學家已經能夠利用超級計算機對太陽系各成員行星進行高精度地追蹤模擬。其中，成果之一就是直接證明了太陽系命運的不可預測性[1,2,3,8]，與一百年前龐加萊的想法不謀而合。

3.1 數值模擬的困境

對隕石的化學元素分析表明，太陽系大約形成於46億年前[9]，其中主星太陽目前正處於主序星的壯年期，燃料充足，狀態穩定。然而，根據恆星的基本演化規律，太陽接下來將由於內部氫燃料耗盡成為一顆紅巨星，伴隨溫度降低，體積膨脹，水星、金星將被完全吞噬，整個太陽系瀕臨死亡。距離這一階段，差不多還有80億年的時間[4]。而在此之前，太陽系是穩定的么？

其實，解答太陽系穩定性問題的最直接辦法就是採用計算機模擬，追蹤行星幾十億年後的軌道演化。所幸，我們已知太陽系所有行星的質量和軌道參數，而近鄰星和銀河系的潮汐作用，甚至包括彗星、小行星、衛星等引力作用都可以合併簡化計算或設置為無窮小量。

利用數值計算的方法模擬太陽系的穩定性主要面臨兩個挑戰。第一，如何在數值計算的過程中，使行星軌道在幾百億個周期時間內能夠保持足夠的計算精度。這個問題隨著20世紀90年代辛積分演算法（symplectic integration algorithms）的興起而得以解決。第二，在追蹤行星軌道的演化過程中，如何儘可能地縮短計算時長。當然，隨著過去五十年間計算機硬體計算速度的指數提升（摩爾定律），這一問題也得以改善。然而，由於近幾年計算速度的提升主要得益於並行計算，即將一個計算問題分配到幾百甚至幾千個線程同時進行運算，這一優化卻並不適用了追蹤行星演化。因為行星系統的演化是個連續性問題，如果你需要追蹤一百年後的軌道演化，你就必須首先獲取一百年前的軌跡信息。因此，如何推算太陽系中各行星在數十億年間的演化仍舊是個難題。

3.2 混沌的太陽系

為了克服這一困境，巴黎天文台的拉斯克（Lasker）在計算機代數的基礎上，發展出一種在時間上向前推算行星運動的近似方法，包含了行星間微弱的引力擾動，使得太陽系的模擬演化時標長達數十億年[1,2,3,11]。

結果表明，分布於太陽系外部區域的四大巨行星——木星、土星、天王星和海王星，在整個太陽系存續期間（80億年內）都是相對穩定的（甚至可以認為它們在1千萬億年的時間跨度內都是穩定地）[1]。相反地，處於太陽系內部區域的四個類地行星——水星、金星、地球和火星，則活躍的多，其軌道離心率在長時間演化過程中，變動較大且無序（圖4）。

圖4. 利用數值積分的方法，模擬太陽系其前100億年至其後150億年間，8大行星軌道在單位時間間隔（1000萬年）內最大離心率的演化情況[2]。上圖為水星、金星和地球的演化，下圖為火星、木星、土星、天王星、海王星的演化。可見，四個巨行星都比較循規蹈矩，在單位時間間隔內的離心率在250億年間基本沒有明顯變化。相反地，幾個類地行星卻活潑得多，其軌道離心率隨時間變動很大且無序，可歸為混沌區域[3]。

實際上，對於四個類地行星而言，能夠進行有效軌道預估的時標只有幾百萬年，遠小於太陽系的年齡。所以，即使採用幾乎完全相同的初始模型（行星質量、位置等僅僅存在觀測上無法探知的微小差異），幾千萬年後，行星軌道間也將產生不可忽視的差異。更為關鍵的是，差異的大小將隨時間的演化由線性增長過渡為指數增長。例如，早期演化中，不同模型產生的位置差異為1毫米到2毫米再到3毫米等等，但是到了後期，位置差的增長模式為1毫米到2毫米再到4毫米、8毫米、16毫米等等[4]。這一指數增長行為即標誌著數學上的混沌現象，暗示著行星軌道的不可預估性。現如今我們通過計算模擬得到的行星軌道信息，可能與幾億年後的實際情況偏差很大，因為行星的演化情況實在太過於依賴初始條件。很難想像，僅僅是將鉛筆從書桌的一端移到另一端這一行為，都將改變地球對木星的引力擾動，歷經幾十億年後，這種改變甚至足夠導致木星位置的偏移。

換而言之，計算機模擬下的太陽系，將不可避免地顯現出不同的命運。尤其是水星，最有可能失控，成為摧毀整個太陽系的害群之馬（圖5）。

圖5. 四個類地行星——水星（白色）、金星（綠色）、地球（藍色）和火星（紅色）的可能演化情形。以一千年為時間單位。圖（a）為尚未發生任何近距離交匯和碰撞情況下，各個類地行星的軌跡。由於行星間的引力擾動，每個行星的軌道將會稍微偏離現有狀態。圖（b）表明，若水星的軌道偏折足夠大，將在50億年內與金星甚至太陽發生碰撞。圖（c）情況下，火星的離心率被較大激發，足夠與地球發生近距離交匯或碰撞。圖（d）情況下，整個類地行星系統極不穩定，金星甚至與地球產生碰撞[3]。

為何質量較小看起來無害的水星卻是太陽系失控與否的關鍵？究其根本卻是由於木星的存在。

行星間的引力擾動將導致行星軌道偏離完美橢圓，其中最為顯著的一個表現即為行星近日點沿順時針或逆時針方向的進動。目前，水星的進動速度為每世紀0.16度，而木星則為每世紀0.21度[10]。數值模擬的結果表明，水星的進動速率將會隨著引力擾動的時間累加效應而逐漸增大，一旦水星的進動速率接近木星的話，就會引發其和木星的久期共振（secular resonance）。在久期共振情況下，木星與水星將產生持續的、單向性的角動量交換。對於木星而言，角動量的增加並不會有顯著的軌跡改變，但對於質量只有木星質量0.017%的水星來說，角動量的轉移將會導致其離心率急劇激發，直至與金星軌道相交（圖6）。而金星與水星間的密近交匯將導致它們可能沿任意方向被甩出，繼而引發整個太陽系連鎖式的崩潰災難，可怕的是，發生這一情況的概率並不是很低，約為10%[1]。

圖6. 金星近日點進動與其軌道離心率的關係。當金星進動頻率與木星接近產生共振時，其離心率將被極大激發，軌道拉伸直至與金星軌道相交，產生災難性後果[1]。

所幸，愛因斯坦的廣義相對論是正確的。若將廣義相對論效應納入考慮，水星的進動速率將每年額外增加0.43角秒，這將極大地降低水星與木星產生近日點久期共振的可能性，使得太陽系長期穩定的概率可高達99%（圖7）。

圖7. 50億年間，水星離心率演化的各種情形。圖（a）為不考慮相對論效應的情況下，所有201個系統中，有121個系統的水星離心率被極大激發。圖（b）為考慮相對論效應後，所有2501個系統中，只有21個系統會存在水星軌道離心率的激發[11]。

4 生存還是毀滅？

所以，在太陽演變為紅巨星開始吞噬內部行星並將外部行星焚燒成灰前，這（約）八十億年間，地球到底將生存還是毀滅？

就如同混沌先驅龐加萊預言的一樣，至今我們仍不能給出完全肯定或否定的答案。只能說，目前大多數的計算結果傾向於相信太陽系各行星將長期保持相對穩定的狀態，直至太陽主序星階段的終結，從這個角度講，太陽系是穩定的。但是，如果更仔細的研究行星軌道的演化歷史，將發現實際情況太過複雜，混沌效應的存在使我們的太陽系看起來前途未卜。

幸運的是，大多數行星軌道的不可預測性主要體現在其軌道相位，而非軌道大小和軌道形狀，所以太陽系的混沌本性並不會一定導致行星間的相互碰撞[4]。但是，混沌的存在暗示我們，只能從統計的層面推測太陽系的命運。因此，關於太陽系穩定性的答案，確切的說，在太陽主序期終結之前，有1%的可能性，水星的軌道將變得特別橢，以至於在50億年間就撞上金星。在這1%的概率內，地球的前景將不容樂觀。最糟糕的情形，將如同封面動畫描述般，由水星引發的不穩定狀態，或將造成地球與火星（或金星）產生毀滅性的直接碰撞。即使直接碰撞未發生，火星也將很有可能從地球表面近距離（幾百千米）掠過，其巨大的潮汐作用將會融化地球的地殼和地幔，使得地球淪為一個不可能有生命倖存的岩漿星球。

這裡還有兩個有趣的事實值得玩味。第一，在1%的概率中，太陽系失去水星所需要的時間大概與其誕生至今的時間相當；第二，太陽系目前接近滿員卻並未達到極限，理論上講，我們完全可以找到某個合適位置用於安放一顆額外的行星而不會影響整個系統的穩定。基於這些事實，我們不難推測，也許太陽系誕生之初擁有比現在更多的行星，當然整個系統的穩定時標也更短。隨著時間的流逝，太陽系失去越來越多的行星，並逐步自我重組進入新的穩定狀態。在此過程中，失去下個行星的時標與其系統年齡相當。地球可能正是因此已經失去了它的其它幾個兄弟姐妹[4]。

5 結束語

總而言之，對於太陽系穩定性這一困擾科學家數百年之久的問題，目前為止，我們所能提供的依然只是一個概率解。在接下來50億年里太陽系仍可保持穩定，但在漫漫80億年間，在迎來主星末日之前，太陽系的命運、地球的命運依然莫測，地球必須生活在1%可能被毀滅的陰影之中。不過，人類文明是否真能延續到那樣久遠的時日，或者說在此之前，人類文明早已遷移到其它宜居星球，這又是另一個有趣的話題了。

參考文獻

[1] Laughlin, G. 2010, 科學松鼠會 Shea 譯,《太陽系是穩定的嗎?》 http://songshuhui.net/archives/46014

[2] Lasker, J. 2012, 「Is the solar system stable?」 https://arxiv.org/pdf/1209.5996.pdf

[3] Lasker, J. 2016,「The Stability of the Solar System」 http://www.scholarpedia.org/article/Stability_of_the_solar_system

[4] Tremaine, S. 2011,「Is the Solar System Stable?」 https://www.ias.edu/ideas/2011/tremaine-solar-system

[5] http://baike.baidu.com/subview/2156818/11261783.htm?fromtitle=拉普拉斯的惡魔&fromid=1415028&type=syn

[6]《走近混沌》-15-超越時代的龐加萊 http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-613480.html

[7]《走近混沌》-16-三體問題及趣聞 http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-614567.html

[8] Laskar, J. 1994, 「Large scale chaos in the Solar System」. Astronomy and Astrophysics, 287, L9–L12

[9] Bouvier, A., Wadhwa, M. 2010,「The age of the solar system redefined by the oldest Pb-Pb age of a meteoritic inclusion」. Nature Geoscience, 3:637–641

[10] Standish, E. M. 「Kepler elements for approximate positions of the major planets」 http://www.rschr.de/PRPDF/aprx_pos_planets.pdf

[11] Laskar, J., Gastineau, M. 2009,「Existence of collisional trajectories of Mercury, Mars and Venus with the Earth」. Nature, 459, 817－819

作者簡介
鄭曉晨：2010年畢業於華中師範大學，2010-2016就讀於北京大學天文系攻讀博士學位，現於清華大學天體物理中心工作。主要研究方向為行星形成和動力學演化。
毛淑德：清華大學教授、國家天文台研究員，主要研究領域為星系動力學、引力透鏡和系外行星搜尋。

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