量子力學如何退化為牛頓力學？

在經典力學中，通過求解牛頓第二定律（F=ma）我們可以得到粒子的軌跡。在量子力學中由於不確定原理的存在，我們無法同時確定粒子的位置和粒子的動量，所以在量子力學中沒有軌跡。

根據不確定原理，我們猜測，當普朗克常數?→0時，量子力學會退化為牛頓力學。換句話說量子力學的本質就是普朗克常數不為0。

為了進一步說明這個觀點，讓我們來考慮一個雙縫。假設粒子由左側的點O出發，我們想知道粒子落在P點的幾率幅是多少。

由於是雙縫，粒子可能走兩個路徑到達P，最終的幾率幅應當是粒子分別通過這兩個路徑的幾率幅的迭加。

根據量子力學的費曼路徑積分表示，可表示為：

這裡S1表示粒子沿路徑1走的作用量，S2表示粒子沿路徑2走的作用量。在經典力學中，作用量S被定義為拉格朗日量L對時間t的積分：

假設我們讓粒子由O出發穿過三縫，粒子落在P的幾率幅可表示為：

假設中間的「障礙物」上開滿了縫（相當於沒有「障礙」），粒子由O出發落在P的幾率幅是：

換句話說就是要把粒子沿所有路徑的幾率幅都加起來才行。量子力學的路徑積分表示與薛定諤的波動力學是等價的，比如我們可以證明用以上方案求出的幾率幅滿足薛定諤方程。

根據經典力學，粒子最終走過的路徑（經典路徑），對應使作用量S取極值的路徑：δS=0，對自由運動的粒子而言，就是粒子由O出發沿直線走到P。這裡δS表示的是對S的變分，即考慮粒子的路徑變化了一點點時S的變化。

由δS=0，我們可以求出粒子的運動方程：

這個方程實際上就是牛頓第二定律。

現在我們來論證當?→0時，我們將得到使δS=0的路徑。此時量子力學退化為牛頓力學。

假設經典路徑對應的相位因子是1，它臨近路徑的相位因子是：

對靠近經典路徑（C）的臨近路徑，δS=0，?雖然也趨於0但不是0，此時臨近路徑的相位因子趨於1，它和經典路徑就構成了相長干涉，換句話說經典路徑就會加強凸顯出來。

對一般路徑（δS≠0），這意味著它和它附近路徑的相位差是δS/?，這裡δS≠0，而?→0，δS/?就是個很大的不確定的數，反映在相位上就是任意相位，這樣對一般路徑而言，它附近的那些路徑與它的相位差是任意取值的，因此會互相抵消掉。這樣在?→0時，非經典路徑的貢獻就消失了。

小結：在經典力學中，我們研究的是軌跡，即粒子位置隨時間的變化。粒子的軌跡可以通過求解δS=0得到。在量子力學中我們研究的是幾率幅，幾率幅是對「所有路徑」的求和，這意味著粒子會「同時」沿所有的路徑走一遍，這樣求解出來的幾率幅滿足薛定諤方程。

當普朗克常數?→0時，量子力學退化為經典力學。