根據公曆日期計算當日干支（詳解）

一、口訣：乘五除四九加日，雙月間隔三十天。一二自加整少一，三五七八十尾前。二、舉例說明：例一：1996年1月16日（96×5＋96÷4＋9＋16）÷60＝8餘49，49即為六十甲子序數。9對應天干壬，49除12餘1對應地支子，對應干支為「壬子」。例二：1997年2月16日（97×5＋97÷4＋9＋16＋30＋2）÷60＝9餘26，26即為六十甲子序數。6對應天干己，26除12餘2對應地支丑，對應干支為「己丑」。例三：1998年3月16日（98×5＋98÷4＋9＋16）÷60＝8餘59，對應干支為「壬戌」。例四：1999年4月16日（99×5＋99÷4＋9＋16＋30＋1）÷60＝9餘35，對應干支為「戊戌」。例五：2000年7月16日（100×5＋100÷4＋9＋16＋2）÷60＝9餘12，對應干支為「乙亥」。例六：20001年10月16日（101×5＋101÷4＋9＋16＋4＋30）÷60＝9餘49，對應干支為「壬子」。三：註解：第二句逢雙月外加30。第三句中的「整少一」，為能被4整除之年一二月份比其他三年都要少加一；第四句反映的是大月規律，3月不加，4、5月加1，6、7月加2，8月加3，9、10月加4，11、12月加5。在介紹求年干支和日干支的公式前，先把干支的特點介紹一下。干支是天乾和地支的組合。天干有十個，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二個，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。天乾和地支從「甲子」開始，按順序逐一相配，各用到最後一個時，再從第一個開始繼續相配，就形成了六十個干支，也稱「六十花甲子」。為什麼是六十個干支呢？這個從數學上很容易回答。根據干支的構成條件，其循環周期必然是天干數和地干數的最小公倍數。而60正是10和12的最小公倍數。　　如果我們把「甲子」編為1號，「乙丑」編為2號，這樣編下去，就可以得到一個干支和序號的對照表，如下：1.甲子2.乙丑3.丙寅4.丁卯5.戊辰6.己巳7.庚午8.辛未9.壬申10.癸酉11.甲戌12.乙亥13.丙子14.丁丑15.戊寅16.己卯17.庚辰18.辛巳19.壬午20.癸未21.甲申22.乙酉23.丙戌24.丁亥25.戊子26.己丑27.庚寅28.辛卯29.壬辰30.癸巳31.甲午32.乙未33.丙申34.丁酉35.戊戌36.己亥37.庚子38.辛丑39.壬寅40.癸卯41.甲辰42.乙巳43.丙午44.丁未45.戊申46.己酉47.庚戌48.辛亥49.壬子50.癸丑51.甲寅52.乙卯53.丙辰54.丁巳55.戊午56.己未57.庚申58.辛酉59.壬戌60.癸亥　　細心觀察這張表，不難發現，由序號得到對應干支是很容易的，序號除以10的餘數就是天乾的序數（如果餘數是0，則為最後一個天干癸），序號除以12的餘數就是地支的序數（如果餘數是0，則為最後一個地支亥）。比如37號干支，因為37mod10=7（mod表示取餘數），對應的天干是庚，37mod12=1，對應的地支是子，所以37號干支就是庚子。顯然，一個整數除以10的餘數就是它的個位數，這就使求天干更方便了。　　而由干支推它的序號，也不困難。這其實就是一個同餘方程組的求解問題，我們用初等數論中的中國剩餘定理就可以解決。比如要算戊午的序號是多少，根據上面由序號得到對應干支的原理，很容易得到如下方程組：{xmod10=5{xmod12=7．其中x是待求的干支序號。根據中國剩餘定理，有：x≡6*5-5*7(mod60)=55，即戊午的序號是55．這和上面的對照表的是一致的。一般地，若天乾的序號為m，地支的序號為n，則干支的序號為：x≡6m-5n(mod60)(1)簡單點說，如果6m-5n的結果是正數，這個數就是干支的序號；如果是負數，把它加上60就是干支的序號。　　了解了干支及其序號的相互推算，下面我們先來介紹年干支的求算。需要說明的是，干支紀年紀的是農曆年，而不是公曆年。但因為農曆年的歲首和公曆年的歲首相隔較近，使農曆年總是和某一公曆年的大部分重合，因此，通常也用公曆年的年份表示和它大部分重合的農曆年。這樣我們就很容易給出農曆年的干支序號為：x=(Y-3)mod60，(2)其中Y是年份。得到了干支序號x，就可以求出相應的干支來。比如2004年的干支序號：x=(2004-3)mod60=2001mod60=21，21mod10=1，天干為甲，21mod12=9，地支為申，因此，2004年是甲申年。　　細心觀察，我們可以發現，其實用Y-3直接除以10，就可以得到天干，用Y-3直接除以12，就可以得到地支。這是因為x=(Y-3)mod60等價於Y-3=60*n+x，其中n是Y-3除以60的商數。等式兩邊同時除以10，餘數也必然相等。而右邊第一項是60的倍數，自然也是10的倍數，能夠被10整數，於是Y-3除以10的餘數就必然等於x除以10的餘數。因此，其實我們完全用不著先求干支的序號，而可以分別求天乾和地支，合起來就是干支，這樣就減少了一步運算。而對於年份的天干，同樣只須看末尾一位。末尾為4的年份的天干總是甲，末尾為5的年份的天干總是乙……依次類推。　　再來看日干支的求算。我們可以仿照星期的求算，得到一個比較直觀的計算日干支的公式如下：G=(Y-1)*5+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]+D+15，(3)其中Y是年份，D是累積天數，[...]表示取商數，也就是只取計算結果的整數部分。把G除以60，餘數就是干支的序號。或者把G除以10或12，可以直接得到日天乾和日地支。不過，和形式相似的求星期的公式一樣，這個公式還不夠簡煉，特別是第一項(Y-1)*5，在Y為四位數年份時，計算出來的結果是一個較大的四位數或五位數，口算很不方便。　　我們用推導蔡勒公式的辦法，可以改進這個公式。先來看和年份有關的部分的改進。我們知道，按公曆的置閏規則，一個世紀的總天數可能是36524天，或36525天。如果這個世紀中末尾為00的年份是閏年，這個世紀就只有36525天；否則就只有36524天。我們不妨稱有36524天的世紀為「平世紀」，有36525天的世紀為「閏世紀」。對於平世紀，因為36524mod60=44，所以，每過一個平世紀，同一天的干支就向後推進44個序號。同樣，每過一個閏世紀，同一天的干支就向後推進45個序號。這就使我們很容易得到一個計算每個世紀第一年（年份末尾為01）3月1日的公式：G=44C+[C/4]+15，(4)其中C是世紀數減一。而計算任一年3月1日的干支的公式也可以很快得到：G=44C+[C/4]+5(y-1)+[y/4]+15，即G=44C+[C/4]+5y+[y/4]+10，(5)其中y是年份後兩位數字。　　下面我們再列出每月天數：月　　份　1月　2月　3月　4月　5月　6月　7月　8月　9月　10月　11月　12月---------------------------------------------------------------------------天　　數　3128(29)31303130313130313031減30後的剩餘天數1-2(-1)1010110101如果把1月和2月看成是上一年的13月和14月，同樣可以得到下面的式子：D』≡[3*(M+1)/5]+d-2(mod10)(6)及D』≡[3*(M+1)/5]+d-2+i(mod12)(奇數月i=0，偶數月i=6)，(7)其中，D』是從3月1日開始算起的累積天數，M是月份，d是日數。把(6)(7)兩式和(5)式合起來，再進行適當的化簡，就得到了計算公曆任意一天的天乾和地支的公式：g=4C+[C/4]+5y+[y/4]+[3*(M+1)/5]+d-3；(8)z=8C+[C/4]+5y+[y/4]+[3*(M+1)/5]+d+7+i(奇數月i=0，偶數月i=6)(9)如果先求得了g，那麼z=g+4C+10+i(奇數月i=0，偶數月i=6)．(10)g的個位數就是天干序號，z除以12的餘數就是地支序號。這裡需要再次強調：1月和2月是當做上一年的13月和14月來算的，因此C和y也要按上一年的年份來取值。　　我們可以把(8)(9)兩式和蔡勒公式對比一下：W=-2C+[C/4]+y+[y/4]+[13*(M+1)/5]+d-1，可以看出它們的形式非常相似，區別僅僅是幾個常數的不同。　　儘管現在中國已經不用干支紀日了，但有時還是需要計算日干支的。比如，曆法有所謂「三伏」和「入梅」「出梅」，都和日干支有關。三伏包括初伏、中伏和末伏，是指夏天最熱的一段時間，入梅和出梅是指江南一帶梅雨季節的開始和結束，本來是和氣候有關的用語。但因為古代沒有準確的天氣預報，無法準確預測三伏和入出梅的時間，所以就在曆書上硬性規定幾個日子作為三伏開始和入出梅的日子，這樣確定一個大致的日期以備參考。現在雖然有了比較準確的天氣預報，但三伏和入出梅作為一種傳統曆法，仍然流傳下來。　　曆法規定夏至之後的第三個庚日為初伏開始，共十天；第四個庚日為中伏開始，十天或二十天；立秋之後的第一個庚日為末伏開始，共十天。中伏的長度之所以不固定，是因為夏至、立秋的日期和庚日的日期是逐年浮動的，立秋之後的第一個庚日可能是夏至之後的第五個庚日，也可能是第六個庚日。如果是前者，中伏就只有十天；如果是後者，中伏就長達二十天。注意如果夏至當天是庚日，夏至之後第一個庚日是指夏至之後第十天，而不是夏至當天，這時初伏第一天就是夏至之後第三十天。同樣，如果立秋當天是庚日，末伏第一天就是立秋之後第十天，而不是立秋當天。入梅則是指芒種之後的第一個丙日，出梅是指小暑之後的第一個未日，也有同樣的規定。　　知道了這些，我們可以算一下2004年的初伏、中伏和末伏都是什麼日子。這需要先知道夏至和立秋的日子。如果知道夏至是6月21日，立秋是8月7日，那麼運用公式(8)，夏至這天的g為：g=4*20+[20/4]+5*4+[4/4]+[3*(6+1)/5]+21-3=80+5+20+1+4+21-3=128，個位數是8，天干是辛。夏至之後第三個庚日就是夏至之後第29天，也就是7月20日，這天也就是初伏第一天。中伏第一天則是7月30日。同樣可算出立秋這天的g為：g=4*20+[20/4]+5*4+[4/4]+[3*(8+1)/5]+7-3=80+5+20+1+5+7-3=115，是個戊日。立秋之後第一個庚日就是立秋之後第2天，也即8月9日，這天就是末伏第一天。由此也可知，2004年的中伏只有十天。同樣可以由芒種和小暑兩節氣的日期，算出2004年的入梅日和出梅日分別是6月6日和7月15日。　　反過來，知道了年干支和日干支，求相應的年份和日期就相對麻煩一點了。因為干支是循環使用的，所以必須先知道欲求對應年份和日期的干支是屬於哪一次循環。比如我們預先用公式(2)算出來1864、1924、1984年都是甲子年，如果要知道戊戌變法是哪一年，首先要確定它是十九世紀末的事情，也即是屬於1864年開始的這一個循環里。那麼，我們用公式(1)可以算出來戊戌的序號是35，於是戊戌年就是(1864-1)+35=1898年。之所以要先減一，是因為甲子的序號為1，需要把這個序號先減去。　　至於日干支，因為古書里的日干支總是和年、月配合使用的，所以不難確定它屬於哪個循環。比如《明史·庄烈帝本紀》記載明崇禎皇帝朱由檢在煤山自縊的日子是崇禎十六年三月丁未。崇禎十六年就是公元1644年。三月雖然是農曆的三月，但我們知道農曆的日期在公曆里雖然是浮動的，但也不出一定的範圍，比如農曆三月初一，總是在公曆3月22日到4月19日之間浮動。因此，先來算1644年3月22日的干支。我們有：g=4*16+[16/4]+5*44+[44/4]+[3*(3+1)/5]+22-3=64+4+220+11+2+22-3=320，個位數是0，z=g+4C+10=320+64+10=394，除以12餘10，所以這一天的干支是癸酉，其序號為6*0-5*10+60=10。而丁未的序號是6*4-5*8+60=44，在癸未之後34天，因此三月丁未肯定是3月22日之後34天，即4月25日。這就是說，崇禎自縊的日子是1644年4月25日，這和查萬年曆的結果是一致的。
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