重整化和有效場論：科普和一個例子

06-03

重整化和有效場論：科普和一個例子

來自專欄檐語

我在大一大二的時候還是個中二少年，不懂重整化但是每天夢想著推翻它。如果當時有人來給我科普重整化的概念，我也許就能早點走出那個中二的泥潭。我覺得現在的物理系大學生中依然有很多人可能有像我一樣的這樣或那樣的中二想法，所以我想寫一篇文章科普一下這個概念。但是重整化和有效場論又如此重要，我不想只寫到科普的水平，所以我打算先寫一段科普，在科普結束之後再寫一段乾貨。乾貨部分希望能讓學過量子場論、但是沒學過有效場論的人看懂，並且對有效場論在做什麼有一個初步的認識。

部分內容帶著括弧，導致語法結構可能不是很清晰。如果一下子跟不上的話，建議先忽略掉括弧中的內容讀一遍，緊接著再帶上括弧中的內容讀一遍。

現代物理的一個信念是，"physics laws at different scales never talk to each other" （不同尺度的物理規律之間幾乎毫無關係）。它還可以從另一個角度進行解讀：每一個尺度上的物理可以只用這個尺度上的有限多個（可以通過實驗確定的）參數進行描述，而完全不必依賴於更高的能標上可能出現的新物理的細節。（「尺度」的劃分有點任意。「幾米」和「幾百米」可以看成是一個尺度上的東西，但是「幾米」和「幾納米」就不是一個尺度上的東西了；幾十個GeV和一個TeV也可以看成是一個尺度上的東西，但是電弱能標和普朗克能標也不是一個尺度上的事情。我們實在沒有辦法很好的定義這個東西如何劃分，只能通過下面一些例子來說明。）這種例子比比皆是：在考慮小滑塊沿斜坡向的運動的時候，我們完全不用考慮滑塊內的電子和原子的相互作用，也不用考慮相對論效應的修正；在考慮經典電磁學和電動力學的時候，我們只需要關注一些宏觀量——電流、電位移矢量等就可以很好的處理問題，不需要去考慮每個電子的運動細節；在學習統計物理中的經典和量子氣體的時候，各位也都知道，我們不需要計算原子核中夸克、膠子等自由度的影響。這些例子也支撐著我們具有一開始提到的那種信念。

那些來自更高能量尺度（更高能標）上的物理規律的影響/修正去哪裡了呢？事實上，隨著能標的降低，這些影響越來越小，而低能標上的物理規律開始佔據主導地位。這些影響一部分被包含進了所謂的「低能有效參數」中（在小滑塊的例子中，滑塊的質量就是低能有效參數；在電動力學的例子中，電流和電位移矢量也是低能有效參數；夸克和膠子的影響也被吸收到原子核的質量、自旋等低能有效參數中。），另一部分則隨著能標的降低，小到超出我們的觀測精度。我們在觀測的時候，只能觀測到低能有效參數，而完全觀測不到更高能標上的物理規律的影響——除非我們真的達到那個物理規律開始起作用的能標（一般是那個物理規律的特徵能標附近）。

如果一個物理理論「能通過某個尺度上的有限多個低能有效參數來描述這個尺度的物理」，那這個理論就稱為「可重整的」。我們目前為止的物理理論幾乎都是可重整的，少數不可重整的理論基本都是由一個更高能標上的可重整的理論「約化」下來的。為什麼我們的世界會是「可重整的」？我們只能說這是Mother Nature的仁慈。事實上，世界完全可以是這樣的：即便我們處理牛頓力學尺度上的問題，也需要引入無窮多個參數，才能精確地（在可以接受的誤差範圍內）描述我們的世界。比如，一個非常可怕的牛頓第二定律

$vec{F}=mvec{a}+sum_{n=1}^{infty}A_{i_1i_2...i_n}v_{i_1}v_{i2}...v_{i_n}vec{v}$

在速度 $vec{v}$ 不是很小的時候，就需要我們測量無窮多個參數 ${A_{i_1...i_n}}$ 。（當然，我們在測量之前完全無法知道，這些參數是不是都是 $mathcal{O}(1)$ 的。如果它們的量級逐個遞減，那我們在一定誤差範圍內，還可以測量有限多個參數進行預言。最壞的情況是它們都是 $mathcal{O}(1)$ 的，那我們就不得不測量無窮多個參數。）感謝Mother Nature讓我們的世界（至少是「目前我們了解到的世界」這個「新手教程」）是可重整的！

最後多說一句。北大的鄭漢青老師有一句名言，「可重整性是一個物理後果，它表明低能物理不受高能物理細節的影響；它也不是建立一個基本理論的必要條件。」深以為然。

科普結束。現在我們開始講講場論中的可重整性和有效場論。

我的理解中，一個「有效場論」，就是一個「通過經驗的或者嚴格的辦法，忽略掉完整的拉氏量/哈密頓量中的部分在低能時不關鍵的信息，得到的在低能時能和實驗符合得很好的拉氏量的場論」。

得到有效場論及其拉氏量的辦法有很多。最簡單的一種就是通過路徑積分「積掉」拉氏量中的（在低能時無法產生自由態的）重粒子，得到的關於（低能時可以觀測到自由態的）輕粒子的拉氏量。然而事實上，我們並不會處理非高斯型的路徑積分，所以我們並不能真的直接通過路徑積分「積掉」重粒子。如何處理這種情況是這篇文章的重點，後面會在介紹完其他幾種方法後開始講例子。

還有一些其他的構造有效場論的辦法。比如，QCD這種理論，低能情況下夸克和膠子之間的耦合常數非常大，我們已經不能直接再對夸克做微擾。低能QCD的有效理論中，我們也不以夸克和膠子作為自由度，而以介子和重子作為「低能有效自由度」進行微擾。這種有效場論中，低能自由度完全是「基本理論」的拉氏量中沒有出現的；而上面提到的那種方法中，低能有效理論中的自由度是「基本理論」中就出現過的。我不是做強子和粒子物理的，對這部分內容不熟悉，只能就此打住。

除了這兩種辦法，還有別的構造有效場論的辦法。[1410.1892] Introduction to Soft-Collinear Effective Theory 中比較詳細地給出了一種辦法。我也不是這個領域的專家，也不能說得更多。不過我得在這裡預警，這篇文章里的數學可能會顛覆你的三觀，讓你報警。畢竟我原來聽同學講的時候，也差點報警，並且深深地覺得，那些說「弦論是在數學上硬湊結果」的人，都應該看看這篇文章。

現在我們開始講例子。約定度規為(+1, -1, -1, -1). 這個例子是關於電子和muon的QED，拉氏量中只有電子和muon。

$mathcal{L}=ar{psi}_e(igamma^{ u}partial_{ u}-m_e)psi_e-ear{psi}_egamma^{ u}psi A_{ u}+ar{psi}_{mu}(igamma^{ u}partial_{ u}-m_{mu})psi_{mu}-ear{psi}_{mu}gamma^{ u}psi A_{ u}$

這裡的下標 $e$ 表示電子，下標 $mu$ 表示muon。我們將這個拉氏量稱為「基本理論」。我們只考慮電子對電子對和正負電子對到正負電子對的散射。水平有限，只算到單圈。（事實上連完整的振幅都沒算，真的只算了圈。）

所謂的「積掉」過程，有一個從費曼圖上來看非常直觀的對應——積掉某個粒子，就是把這個粒子對應的內線收縮成一點；得到的新的圖就是對應過程在低能有效理論中的圖。這個過程的物理意義是：中間傳播的有質量粒子是有「自由程」的（我們可以用 $Delta EDelta tsimhbar/2$ 估計這個粒子傳播的時間，然後用光速近似為它的速度，算出來的長度就近似它能傳播的距離），而低能極限下，入射粒子的動量小，波長大，看不清那麼小的尺度上的結構，於是一個有力程的相互作用就近似成了一個點相互作用。

對於電子對到電子對的散射或者正負電子對到正負電子對的散射，樹圖水平上，中間傳播的是一個光子，沒有muon的貢獻。所以樹圖水平上「積掉」muon，得到的描述這兩種散射的低能有效拉氏量就是只有電子的QED。

$mathcal{L}=ar{psi}_e(igamma^{ u}partial_{ u}-m)psi_e-ear{psi}_egamma^{ u}psi A_{ u}$

但是，這裡還有兩個參數需要確定——我們尚且不知道低能有效理論中，電子的質量和電量和基本理論中的質量和電量是不是一致。這個可以匹配樹圖水平上，低能有效理論和基本理論的散射振幅來確定。顯然，在樹圖水平上， $m=m_e$ ， $e=e$ .

在單圈水平上，將兩個拉氏量中的電子對到電子對/正負電子對到正負電子對的單圈水平上的振幅寫出來，會發現，在這個例子中，振幅相等就等價於光子自能在 $mathcal{O}(e^2)$ 上相等。（光子自能的結果可以查Peskin第7章，我們這裡使用維數正規化和modified MS重整化方案進行計算）。在低能有效理論中，光子自能的圈中只能跑正負電子對，但是基本理論的光子自能單圈中可以跑正負電子對和正負muon對。這會帶來一個對低能耦合常數的non-trivial修正——基本理論中跑muon對的那個圈，在收縮成一個點之後，變成了一個 $mathcal{O}(e^2)$ 的光子兩點頂角。而且由於Ward恆等式的限制，這一項應該正比於 $(q^2g^{mu u}-q^{mu}q^{ u})$ 所以有效理論的 $mathcal{O}(e^2)$ 的光子自能中含有兩部分，一個是跑一對正負電子的圈，另一個是一個光子的兩點頂角。

這個兩點頂角可以直接在拉氏量中寫出。在拉氏量中加入一項修正項

$deltamathcal{L}=-frac{1}{4}d_1e^2F^{mu u}F_{mu u}$

（這個修正項的形式和counter term的形式一樣啊！）我們還需要將耦合常數換成樹圖水平上的 $e$ 表達的形式，這樣才能體現「高能物理的細節可以被低能物理的參數描述」嘛。

$deltamathcal{L}=-frac{1}{4}d_1e^2F^{mu u}F_{mu u}$

只考慮到 $mathcal{O}(e^2)$ 的光子自能（ $mathcal{O}(e^4)$ 的振幅）時，這一項可以直接展開。誤差只會是 $e$ 的更高階項，但是那相當於是更高圈的修正，我們不考慮了。這一項的Feynman規則是

$-id_1e^2(q^2g^{mu u}-q^{mu}q^{ u})$

將低能的光子自能和高能的光子自能進行匹配（低能的光子自能用 $e$ 進行計算，高能的光子自能用 $e$ 進行計算，但是它們其實相等的）。所謂的匹配，就是選取一個重整化的標度，要求有效理論和基本理論計算的振幅在這個標度上相等。我們這裡為了一般性的討論，就不把這個重整化標度 $mu$ 定下來了。一般的匹配過程中，為了方便，都是取重整化標度等於重的粒子的質量。除此之外，在匹配的過程中，由於我們考慮的是低能物理，所以入射的粒子之間發生的是比較「軟」的散射，即粒子散射前後動量改變不大，這導致光子內腿上會有 $q^2 ightarrow0$ .

低能有效拉氏量畫出的費曼圖為

費曼圖真難畫：低能有效理論中的光子自能費曼圖。右側兩點頂角來自於muon線的收縮。

給出的光子自能為

$left{-ifrac{e^2}{2pi^2}left(int_0^1dx x(1-x)lnfrac{mu^2}{m_e^2} ight)-id_1e^2 ight}(q^2g^{mu u}-q^{mu}q^{ u}),$

而基本理論畫出的費曼圖為

畫到重影：基本理論的光子自能單圈圖。

給出的光子自能為

$left{-ifrac{e^2}{2pi^2}int_0^1dx x(1-x)left(lnfrac{mu^2}{m_e^2}+lnfrac{mu^2}{m_{mu}^2} ight) ight}(q^2g^{mu u}-q^{mu}q^{ u}),$

於是匹配過程可以定出

$d_1=frac{1}{12pi^2}lnleft(frac{mu^2}{m_{mu}^2} ight).$

但是到這裡還沒完。我們到目前得到的有效拉氏量中，涉及到光子的部分為

$mathcal{L}=-frac{1}{4}(1+d_1e^2)F^{mu u}F_{mu u}-ear{psi}_egamma^{ u}psi _e A_{ u}$ ，

算出來的傳播子並不滿足極點的留數為 $-ig^{mu u}$ . 我們需要重新定義場，讓它滿足這個條件：

$ilde{A}_{mu}=(1+d_1e^2)^{1/2}A_{mu}$ ，

這導致低能耦合常數有一個新的變化

$e_{eff}=frac{e}{(1+d_1e^2)^{1/2}}=frac{e}{(1+d_1e^2)^{1/2}}=e(1-frac{1}{2}d_1e^2)+mathcal{O}(e^4)=e-frac{e^3}{24pi^2}lnleft(frac{mu^2}{m_{mu}^2} ight)+mathcal{O}(e^4)$ .

muon對光子在自能的影響就被吸收到低能有效參數 $e_{eff}$ 中去了。

低能有效理論的耦合常數 $e_{eff}$ 是 $e, mu, m_{mu}$ 的函數。其 $eta$ 函數為

$egin{aligned} eta(e_{eff})&=mufrac{de_{eff}}{dmu}\ &=mufrac{partial e_{eff}}{partialmu}+mufrac{partial m_{mu}}{partial mu}frac{partial e_{eff}}{partial m_{mu}}+mufrac{partial e}{partial_mu}frac{partial e_{eff}}{partial e}\ &=mufrac{partial e_{eff}}{partialmu}+m_{mu}gamma(m_mu)frac{partial e_{eff}}{partial m_{mu}}+eta(e)frac{partial e_{eff}}{partial e}\ &=-frac{e^3}{12pi^2}+eta(e)+mathcal{O}(e^5) end{aligned}$

基本理論中，單圈水平上， $eta(e)=2 imes(frac{e^3}{12pi^2})$ , 所以有效理論 $eta(e_{eff})=frac{e^3}{12pi^2}+mathcal{O}(e^5)$ .

（ $eta(e):=mufrac{d e}{d mu}, gamma(m):=frac{mu}{m}frac{d m}{d mu}=frac{dln m}{d ln mu},$

做重整化的時候，我們會有一些諸如 $Z_2Z_3^{1/2}e_0=Z_1emu^{epsilon/2}$ 之類的聯繫裸量和物理量的等式。兩側求導數，就可以解出這些函數。更詳細的解釋可以參考Ryder的Quantum Field Theory的9.4節。）

當基本理論中有 $n_L$ 個輕粒子和 $n_H$ 個重粒子時，基本理論中

$eta(e)=(n_H+n_L)frac{e^3}{12pi^2}$

低能有效理論中

$e_{eff}=e-sum_{i=1}^{n_H}frac{e^3}{24pi^2}lnleft(frac{mu^2}{m_{i}^2} ight)+mathcal{O}(e^4)$

從而

$egin{aligned} eta(e_{eff})&=mufrac{partial e_{eff}}{partialmu}+m_{mu}gamma(m_mu)frac{partial e_{eff}}{partial m_{mu}}+eta(e)frac{partial e_{eff}}{partial e}\ &=mufrac{partial e_{eff}}{partialmu}+eta(e)+mathcal{O}(e^5)\ &=-n_Hfrac{e^3}{12pi^2}+(n_H+n_L)frac{e^3}{12pi^2}+mathcal{O}(e^5)\ &=n_Lfrac{e^3}{12pi^2}+mathcal{O}(e^5) end{aligned}$

從這個例子中，我們可以看到，在領頭階，來自高能重粒子的貢獻都消掉了，從而低能情況下，對低能的耦合常數有影響的，只有那些低能標上能觀測到的輕粒子。在耦合常數保留到 $mathcal{O}(e^2)$ 時（從而 $e_{eff}approx e$ ），我們的有效理論彷彿是一個含有 $n_L$ 個粒子的基本理論一樣。這就是所謂的「可重整性表明低能物理不受高能物理細節的影響」。

不過這種美好只在單圈成立。注意到在基本理論中，單圈水平上存在光子對到光子對的散射過程（ $mathcal{O}(e^4)$ ）：一個費米子環，外面長出來四條光子外腿。

滿臉寫著開心：光子對到光子對的散射。

這個費米子環可以是個電子的環，也可以是個 muon的環。如果是muon環，muon的內線收縮之後，會在低能有效理論中產生一個四光子點相互作用的頂角。而Ward恆等式要求，這個圈一定是正比於 $((q_icdot q_j )g^{mu u}-q_i^{mu}q_j^{ u})$ 的（這樣外動量 $q_i^{ u}$ 點乘上去就為0）（ $i,j$ 取值為1到4，標記四條光子外腿）。這表明，四光子的相互作用頂角是四個 $partial_mu A_{ u}$ 的耦合。這個頂角當然是不可重整的。在 $mathcal{O}(e^4)$ 的光子自能圈圖中，就會出現由四光子頂角構造的單圈。

畫到虛脫：四光子頂角構造的光子自能。這個圖被電荷e的四次方和muon質量的四次方壓低。

不過，四光子頂角和其他可能存在的不可重整的頂角都是被muon的質量的四次方壓低的。當我們距離muon的質量對應的能標很遠時，這些不可重整的項都觀測不到。於是低能有效理論又是可重整的。

這件事情在暗示著，標準模型是可重整的，很有可能是因為新的粒子出現在比現在觀測能達到的能標高得多的地方。

最後再念叨一遍：可重整性是一個物理後果，它表明低能物理不受高能物理細節的影響；它也不是建立一個基本理論的必要條件。

再補充一個例子吧。

$mathcal{L}=frac{1}{2}(partial_{mu}phi)^2-frac{1}{2}m^2phi^2+frac{1}{2}(partial_{mu}varphi)^2-frac{1}{2}M^2varphi^2-frac{1}{2}kappavarphiphi^2$ 其中質量為 $M$ 的是重粒子。其單圈水平（重整化標度選為重粒子質量，取低能極限）上的低能有效拉氏量為

$mathcal{L}_{eff}=frac{1}{2}(1+a_1frac{kappa^2}{16pi^2M^2})(partial_{mu}phi)^2-frac{1}{2}(m^2+b_1frac{kappa^2}{16pi^2M^2})phi^2-frac{1}{4!}(-3frac{kappa^2}{M^2}+c_1frac{kappa^4}{16pi^2M^4})phi^4+...$

這裡只顯寫出了可重整的部分。其中

$a_1=frac{1}{2}, b_1=-M^2(1+frac{m^2}{M^2}), c_1=18.$

將低能有效拉氏量中的場重新定義以保證傳播子的留數為 $+i$ 之後，可以發現， $phi$ 的質量有一個shift—— $varphi$ 對自能的影響有一部分被吸收到 $phi$ 的有效質量中。當然，耦合常數也包含了來自高能的影響。

「這個例子留給感興趣的讀者自己驗證」( ? ?ω?? )?

（這個例子在Victor Ilisie的Concepts in Quantum Field Theory的11.3節，不過那裡只算了一部分。Springer網站上提供了免費下載： Concepts in Quantum Field Theory）