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連續函數的最值定理

06-03

連續函數的最值定理

來自專欄趣味數學

連續函數

設 $f:X ightarrow R$ 是定義在實數域 $R$ 的子集 $X$ 上的函數，稱函數 $f$ 在某一點 $x_{0}in X$

連續，是指：

對任意給定的 $varepsilon>0$ ，存在一個 $delta>0$ ，使得對一切 $xin X$ ，當其滿足不等式

$left| x-x_{0} ight|<delta$ 的時候，

均有

$left| fleft( x ight)-fleft( x_{0} ight) ight|<varepsilon$

對於絕大部分情況，當點 $x_{0}in X$ 不是孤立點而是集合 $X$ 的極限點時候，函數 $f$

在點 $x_{0}in X$ 處連續可以等價描述為：

$lim_{x ightarrow x_{0}}{fleft( x ight)}=fleft( x_{0} ight)$

有界

設函數 $f:X ightarrow R$ 是定義在實數域 $R$ 的子集 $X$ 上的函數.

如果存在實數 $M$ ，使得對一切 $xin X$ 都有 $fleft( x ight)leq M$ ，則說函數 $f$ 是有上界的；

如果存在實數 $M$ ，使得對一切 $xin X$ 都有 $fleft( x ight)geq -M$ ，則說函數 $f$ 是有下界的；

如果存在實數 $M$ ，使得對一切 $xin X$ 都有 $left| fleft( x ight) ight|leq M$ ，則說函數 $f$ 是有界的.

有界性定理（Weierstrass第一定理）

設實數 $a<b$ ，並設 $f:left[ a,b ight] ightarrow R$ 是在閉區間 $left[ a,b ight]$ 上連續的函數.

那麼 $f$ 是有界函數，

也即存在著有限的常數 $m$ 和 $M$ ，使得當 $xinleft[ a,b ight]$ 時

$mleq fleft( x ight)leq M$

證明：

（一）使用Bolzano-Weierstrass定理

陶哲軒《分析》，P194

菲赫金哥爾茨《微積分學教程》第一卷，P143

常庚哲、史濟懷《數學分析教程》上冊，P111

華東師範大學《數學分析》上冊，P168——169

設函數 $f$ 無界

則對於每個正實數 $A$ ，都存在一個 $xinleft[ a,b ight]$

使得 $left| fleft( x ight) ight|geq A$

所以對每個 $nin N^{*}$ ，存在 $xinleft[ a,b ight]$

使得 $left| fleft( x ight) ight|geq n$

那麼可以找到一個序列 $left{ x_{n} ight}subsetleft[ a,b ight]$ （ $nin N^{*}$ ）

使得 $left| fleft( x_{n} ight) ight|geq n$

根據Bolzano-Weierstrass定理（又稱凝聚定理、列緊性定理或緻密性定理）

這個序列 $left{ x_{n} ight}$ （ $nin N^{*}$ ）一定含有收斂子列 $left{ x_{n_{k}} ight}$ （ $kin N^{*}$ ）

設 $lim_{k ightarrow infty}{x_{n_{k}}}=x_{0}$

由於 $left{ x_{n_{k}} ight}subsetleft[ a,b ight]$ ，則它的極限 $x_{0}inleft[ a,b ight]$

又由Heine歸結原則

有 $lim_{k ightarrow infty}{fleft( x_{n_{k}} ight)} =lim_{x ightarrow x_{0}}{fleft( x ight)} =fleft( x_{0} ight)$

$left| fleft( x_{0} ight) ight|<+infty$

$lim_{k ightarrow infty}{left| fleft( x_{n_{k}} ight) ight|}<+infty$

而按照之前的假設

$left| fleft( x_{ n_{k}} ight) ight|geq n_{k}geq k$

這樣可得

$lim_{k ightarrow infty}{left| fleft( x_{n_{k}} ight) ight|}=+infty$

這與之前的假設是矛盾的

所以 $f$ 是有界函數

命題得證

（二）使用Heine-Borel-Lebesgue有限覆蓋定理

卓里奇《數學分析》第一卷，P142——143

華東師範大學《數學分析》上冊，P168——169

$f$ 是 $left[ a,b ight]$ 上的連續函數，由連續函數的局部有界性

$f$ 在任意點 $x_{0}in left[ a,b ight]$ 連續，則它在此點的某個鄰域 $U_{E}left( x_{0} ight)$ 上有界

對於任意一點 $xinleft[ a,b ight]$ ，都存在這樣的鄰域 $Uleft( x ight)$

在集合 $U_{0}left( x ight)=left[ a,b ight]cap Uleft( x ight)$ 上，存在正數 $M_{x}$ ，使得 $left| fleft( x ight) ight|leq M_{x}$

對一切點 $xinleft[ a,b ight]$ 所構造的所有這樣的鄰域 $Uleft( x ight)$ ，它們的全體組成了閉區間 $left[ a,b ight]$ 的一個開覆蓋

由Heine-Borel-Lebesgue定理（又稱有限覆蓋定理）

這個開覆蓋中一定能選出有限個開集作為 $left[ a,b ight]$ 的一個有限子覆蓋

這有限個開集 $Uleft( x_{1} ight),Uleft( x_{2} ight),cdots,Uleft( x_{k} ight)$ 覆蓋了 $left[ a,b ight]$

並且存在正數 $M_{1},M_{2},cdots,M_{k}$ ，

使得對一切 $xin U_{0}left( x_{i} ight)=left[ a,b ight]cap Uleft( x_{i} ight)$ （ $i=1,2,cdots,k$ ）

有 $left| fleft( x ight) ight|leq M_{i}$ （ $i=1,2,cdots,k$ ）

令 $M=maxleft{ M_{1},M_{2},cdots,M_{k} ight}$

對一切 $xinleft[ a,b ight]$ ， $x$ 必屬於某個 $U_{0}left( x_{i} ight)$

則 $left| fleft( x ight) ight|leq M_{i}leq M$

可得 $f$ 在 $left[ a,b ight]$ 上有界

命題得證

最值

設 $f:X ightarrow R$ 是定義在實數域 $R$ 的子集 $X$ 上的函數，並設 $x_{0}in X$ ．

如果對於一切 $xin X$ ，都有 $fleft( x_{0} ight)geq fleft( x ight)$ （ $fleft( x_{0} ight)leq fleft( x ight)$ ），

則稱函數 $f$ 在 $x_{0}$ 處達到最大值（最小值），

點 $x_{0}$ 稱為函數的最大值點（最小值點）.

最大值和最小值統稱最值，最大值點和最小值點統稱最值點.

最值定理（Weierstrass第二定理）

設實數 $a<b$ ，並設 $f:left[ a,b ight] ightarrow R$ 是在閉區間 $left[ a,b ight]$ 上連續的函數.

那麼 $f$ 在某點 $x_{max}inleft[ a,b ight]$ 處達到最大值，在某點 $x_{min}inleft[ a,b ight]$ 處達到最小值.

證明：

（一）使用確界定理

菲赫金哥爾茨《微積分學教程》第一卷，P144——145

卓里奇《數學分析》第一卷，P142——143

華東師範大學《數學分析》上冊，P169

值域 $fleft( left[ a,b ight] ight)$ 非空

由於 $f$ 在 $left[ a,b ight]$ 上有界，由確界原理， $f$ 的值域 $fleft( left[ a,b ight] ight)$ 有上確界和下確界

分別記作 $M=sup,fleft( left[ a,b ight] ight)$ ， $m=inf,fleft( left[ a,b ight] ight)$

接下來只考慮上確界

假設對一切 $xinleft[ a,b ight]$ 都有 $fleft( x ight)<M$

構造函數

$varphileft( x ight)=frac{1}{M-fleft( x ight)}$

由於 $fleft( x ight)$ 是連續的，且 $fleft( x ight)<M$

所以 $varphileft( x ight)$ 也是連續的

$varphileft( x ight)$ 是閉區間 $left[ a,b ight]$ 上的連續函數，根據有界性定理

存在有限常數 $mu$ ，使得

$0<varphileft( x ight)=frac{1}{M-fleft( x ight)}<mu$

對一切 $xinleft[ a,b ight]$ 成立

即

$fleft( x ight)<M-frac{1}{mu}$

對一切 $xinleft[ a,b ight]$ 成立

這與 $M$ 是值域 $fleft( left[ a,b ight] ight)$ 的上確界矛盾

從而必然存在 $x_{max}inleft[ a,b ight]$

使得 $fleft( x_{max} ight)=M$

同理可以構造函數 $phileft( x ight)=frac{1}{m-fleft( x ight)}$

證明必然存在 $x_{min}inleft[ a,b ight]$

使得 $fleft( x_{min} ight)=m$

命題得證

（二）使用Bolzano-Weierstrass定理

陶哲軒《分析》，P194——195

菲赫金哥爾茨《微積分學教程》第一卷，P144——145

常庚哲、史濟懷《數學分析教程》上冊，P111——112

謝惠民、惲自求、易法槐、錢定邊《數學分析習題課講義》上冊，135

值域 $fleft( left[ a,b ight] ight)$ 非空

由於 $f$ 在 $left[ a,b ight]$ 上有界，由確界原理， $f$ 的值域 $fleft( left[ a,b ight] ight)$ 有上確界和下確界

分別記作 $M=sup,fleft( left[ a,b ight] ight)$ ， $m=inf,fleft( left[ a,b ight] ight)$

接下來只考慮上確界

令 $nin N^{*}$

顯然 $M-frac{1}{n}<M$

由於 $M$ 是 $fleft( left[ a,b ight] ight)$ 的最小上界

所以存在 $yin fleft( left[ a,b ight] ight)$ ，使得 $M-frac{1}{n}<y<M$

也即存在 $xinleft[ a,b ight]$ ，使得 $M-frac{1}{n}<fleft( x ight)leq M$

那麼可以找到一個序列 $left{ x_{n} ight}subsetleft[ a,b ight]$ （ $nin N^{*}$ ）

使得 $M-frac{1}{n}<fleft( x_{n} ight)leq M$

根據Bolzano-Weierstrass定理

這個序列 $left{ x_{n} ight}$ （ $nin N^{*}$ ）一定含有收斂子列 $left{ x_{n_{k}} ight}$ （ $kin N^{*}$ ）

設 $lim_{k ightarrow infty}{x_{n_{k}}}=x_{max}$

由於 $left{ x_{n_{k}} ight}subsetleft[ a,b ight]$ ，則它的極限 $x_{max}inleft[ a,b ight]$

$M-frac{1}{n_{k}}<fleft( x_{n_{k}} ight)leq M$

又由Heine歸結原則

有 $lim_{k ightarrow infty}{fleft( x_{n_{k}} ight)} =lim_{x ightarrow x_{max}}{fleft( x ight)} =fleft( x_{max} ight)$

將 $M-frac{1}{n_{k}}<fleft( x_{n_{k}} ight)leq M$ 取極限，由夾逼定理可得

$fleft( x_{max} ight)=M$

同理可證明必然存在 $x_{min}inleft[ a,b ight]$

使得 $fleft( x_{min} ight)=m$

命題得證

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