用流體力學推導粒子在外場中的四維動量，以及電磁場的例子

06-03

來自專欄物理雜記

本文以相對論流體力學為基礎，相對論流體力學的能量動量張量為

$T^{mu u}=( ho_0+frac{p}{c^2})u^mu u^ u-eta^{mu u}p$ （1）

其中， $ho_0$ 為流體的靜質量密度，比如一盒理想氣體或者電磁輻射，在相對於盒子靜止的參考系中，其內能密度為 $u$ ，則有 $u= ho_0c^2$ ； $p$ 為流體內部的壓強，它是洛侖茲標量； $u^ u$ 為流體的宏觀運動速度，例如一盒理想氣體或者電磁輻射，在相對於盒子靜止的參考系中，其四速度 $u^ u=(c,0,0,0)$ ，但仍然有微觀運動。

我們把流體場視為外場，當一個（與組成流體場的粒子不同的）靜質量為 $m_0$ 的點粒子在流體場中運動時，就相當於處於外場中，對於這個粒子來說，仍然有一個（1）式形式的 $T^{mu u}$ ，只不過此時 $T^{mu u}$ 不是這個粒子的能量動量張量，其第二項應當解釋為由於外場存在而對這個粒子施加的一個壓強，不應當算入這個粒子的能量動量張量之中。此時，這個粒子的能量動量張量為

$t^{mu u}=( ho_0+frac{p}{c^2})u^mu u^ u$ ，或者 $T^{mu u}=t^{mu u}-eta^{mu u}p$ （2）

這個粒子的能量動量張量滿足守恆定律

$partial_mu t^{mu u}=partial^ u p$ （3）

對此式積分（積分區域為靜系中包圍粒子的小區域）

$intpartial_mu t^{mu u}dV_0=intpartial^ u pdV_0$

由此可得到

$frac{d}{d au}int frac{1}{c}t^{0 u}dV=intpartial^ u pdV_0$ （4）

這就是這個粒子的四維的動量定理，可以看到由於存在外場，這個粒子的動量是不守恆的，（4）式的右端為外流體場對這個粒子施加的四維力。

一般情況下，這個粒子對於我們選定的慣性系是運動的，如果其位置為 $m x(t)$ ，則其靜質量密度為

$ho_0=frac{1}{gamma}m_0delta^3[m x-m x(t)]$ （5）

現在將（2）式的 $u^ u$ 寫到括弧裡邊

$t^{mu u}=( ho_0u^ u+frac{p}{c^2}u^ u)u^mu$

由於粒子為點粒子，我們假設外場對粒子的壓強也為δ函數的形式，設外場對這個粒子的壓強的表達式為

$frac{p}{c^2}u^ u=frac{1}{gamma}p_{int}^ udelta^3[m x-m x(t)]$ （6）

式中， $p_{int}^ u$ 為粒子與外場的相互作用動量，由此可以得到壓強為

$p=frac{1}{gamma}p_{int}^lambda u_lambdadelta^3[m x-m x(t)]$ （7）

於是，粒子的能量動量張量改寫為

$t^{mu u}=frac{1}{gamma}(m_0 u^ u+p_{int}^ u)u^mudelta^3[m x-m x(t)]$ （8）

將（7）和（8）代入到（4）式，得到粒子在外場中的動量定理表達式變為

$frac{d}{d au}(m_0 u^ u+p_{int}^ u)=u_lambdapartial^ u p_{int}^lambda$ （9）

這就是一個粒子處於其他粒子組成的流體場中時，這個粒子的四維動量滿足的方程，可以看到由於外場的存在，這個粒子增加了一部分動量。另外，由於相互作用的動量 $p_{int}^ u$ 一般是外場的函數，也就是時間和空間的函數，則 $frac{d}{d au}p_{int}^ u=u_lambdapartial^lambda p_{int}^ u$ ，於是（9）式變為