一道奧數題，揭開魔術師的小秘密（18年5月26日）

來自專欄每天來道奧數題

家長是孩子最好的老師。

這是奧數君第509天給出奧數題講解。

今天的題目是整除問題，

所用知識不超過小學5年級。

題目（5星難度）：

6和8都是很吉利的數字。桌子上有編號為1-2018的2018張卡片，魔術師從裡邊取出一些卡片，並宣稱手中任意6張卡片的編號之和都是6的整數倍，任意8張卡片的編號之和都是8的整數倍。請問魔術師最多取出多少張卡片？

答案：85張。

輔導辦法:

題目寫給小朋友，讓他自行思考解答，若20分鐘還不能解答，由家長進行講解。

講解思路：

本題的著眼點在任意兩字，

就是要尋找任意背後的規律。

步驟1：

先思考第一個問題，

任意6張卡片的編號之和是6的整數倍，

能說明什麼？

取出兩組6張卡片，

第一組編號a,b,c,d,e,f,

第二組編號a,b,c,d,e,g,

則a+b+c+d+e+f=6m,

a+b+c+d+e+g=6n,

不妨設m>n,

兩個等式相減得到，

f-g=6(m-n),

故這2張卡片編號除以6的餘數相同，

注意到這個結論可以推廣，

因此任意兩張卡片編號除以6的餘數相同。

步驟2：

再思考第二個問題，

任意8張卡片的編號之和是8的整數倍，

能說明什麼？

類似於步驟1的方法可知，

任意兩張卡片編號除以8的餘數相同。

步驟3：

綜合上述兩個問題，

結合步驟1和步驟2的結論，

由於6和8的最小公倍數是24，

要使卡片最多，

只需任意兩張卡片編號除以24的餘數相同。

即取出的卡片編號是24k+b的形式，

其中k是自然數，

b是0到23之間的自然數。

又因為2018=84*24+2，

所以最多取出85=84+1張卡片，

一種可能的取法是編號為

1、25、49、……、2017。

註：本文由微信公眾號「每天3道奧數題」原創首發，如需轉載，必須說明來源。

思考題：

6和8都是很吉利的數字。桌子上有編號為1-2018的2018張卡片，魔術師從裡邊取出一些卡片，並宣稱手中任意4張卡片的編號之和都是6的整數倍，任意8張卡片的編號之和都是8的整數倍。請問魔術師最多取出多少張卡片？

獲得思考題答案方法：

關注微信公眾號「每天3道奧數題」（tiantianaoshu)

微信回復「20180526」可獲得思考題答案。

註：過4個月之後，關鍵詞回復可能失效。

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