量子力學雜談——譜族

06-03

量子力學雜談——譜族

一、一些打算

主要是想對這些年對量子力學的一些思考做個記錄，畢竟現在遠離物理已經2年了，純粹是作為興趣偶爾還翻翻Peskin之類的，偶爾還翻翻自己以前的筆記，有很多錯誤和naive的地方，還是想做個總結和回顧吧。

首先不得不感慨隔行如隔山，雖然我自認為對數學是非常感興趣的人了，但畢竟是業餘愛好，連專業數學的邊都沒摸到。加上自己英語水平太差，當年讀書的時候就吃虧在這裡，沒法子啊，最前沿的東西肯定都是英文的，英語不好學習新知識太困難，就容易停頓在老的地方，即中文書還能hold得住的部分。

我也不指望像以前做筆記那樣寫得多系統了，主要還是寫幾點當年幫助我解開很多疑惑的一些量子力學的嚴格化的數學表述，有能幫到大家的就好。

二、投影運算元、正交投影運算元

從常規的物理理解，所謂投影是對一個向量做分解，比如分解到3個坐標軸上，也可以分解到一個平面和一條與它相交的直線上。但這種理解過於幾何化，不便於做推廣，一種新思路是，找到投影的代數特性，推廣到高維乃至無窮維的空間。

這個代數特徵就是 $P^2=P$ （取projection的首字母），也就是說對投影的結果再做投影結果不變，這個還是比較好理解的。

對於內積空間，投影還有正交投影和斜投影的區別，在通常的幾何直觀理解下，正交投影要求投影的軸或者平面（推廣為子空間）是相互正交的，正交的好處就是，找到一個投影的子空間，那麼它有唯一的正交補，對全空間可做正交分解 $V=V_1+V_1^ot$ 。當然對無窮維空間，事情還要麻煩點，我們需要空間的完備性做保證，也就是說不但得是內積空間，還得是希爾伯特空間。

這個總結起來就希爾伯特空間的正交分解定理，對於希爾伯特空間 $mathscr{H}$ 及其閉子空間 $V$ ， $forall xin mathscr{H}$ ， $exists!x_1in V,x_2in V^ot$ 滿足 $x=x_1+x_2$ 。

考慮投影運算元 $Px=x_1$ ，對於 $forall yin mathscr{H}$ 也有 $y=y_1+y_2=Py+y_2$ ，於是 $langle y,Px angle=langle y,x_1 angle=langle y_1,x_1 angle=langle y_1,x angle=langle Py,x angle$

從而 $Psubset P^dagger$ ，而 $P$ 的定義域是全空間，不可能比 $P^dagger$ 小，必然有 $P=P^dag$ 。

所以我們可以得出定義：一個定義在內積空間上的線性運算元 $P$ ，如果滿足

① $P^2=P$ ② $P^dag=P$ ，就可以稱為一個正交投影運算元。

正交投影運算元的代數特性

1.若 $P_1P_2=P_2P_1$ ，那麼 $P_1P_2$ 是正交投影運算元;

2.若 $P_1P_2=P_2P_1=O$ （零運算元），那麼 $P_1+P_2$ 是正交投影運算元;

3.若 $mathscr{R}(P_1)$ （ $P_1$ 的值域） $subsetmathscr{R}(P_2)$ ，那麼 $P_2-P_1$ 是正交投影運算元。

此外若 $P eq O$ ， $|P|=1$ 。

考慮 $mathscr{H}$ 的子空間簇 ${V_alpha}$ 它們兩兩正交且 $oplus_{alpha}V_alpha=mathscr{H}$ ，那麼所有可以寫成它們直和的子空間就就構成了一個布爾代數，這些子空間對應的正交投影運算元，也構成一個布爾代數，其中運算元乘積為 $wedge$ ，運算元加法為 $vee$ ，正交補為 $eg$ ，零運算元為 $0$ ，恆等運算元為 $1$ 。

三、譜族，取值為正交投影運算元的測度

實際上在有限維空間，一個可對角化矩陣 $A$ 總可以寫成（矩陣的譜分解）

$A=sum_{i=1}^na_iE_i$

其中 $a_i$ 是 $A$ 的特徵值， $E_i$ 是秩為1的投影矩陣，採用物理上的狄拉克符號就是

$A=sum_{i=1}^na_i|a_i anglelangle a_i|$ ，其中 $|a_i angle$ 是 $a_i$ 對應的特徵向量，左向量bra視作右向量ket的共軛轉置。

在無窮維空間，比較麻煩的是存在連續譜問題，也就是說作為特徵值的推廣，譜不一定對應著特徵向量，於是物理書的做法是引入希爾伯特空間之外的元素 $|x angle,|p angle$ 滿足

$langle x,y angle=delta(x-y),langle p,k angle=delta(p-k)$ ，這不是個值得認可的方案，因為廣義函數並非真的函數，我們不能認為 $x eq0Rightarrowdelta(x)=0$ ，實際上，這個「內積」沒有任何意義。

回到矩陣的譜分解，當一個運算元只有點譜（即特徵值）的時候，譜分解仍可定義為

$A=sum_{i=1}^{+infty}a_iE_i$

對於連續譜，我們考慮把這個式子寫成積分

$A=int_{sigma(A)}adE(a)$

其中 $sigma(A)$ 是運算元 $A$ 的譜集， $E$ 是一個取值為正交投影運算元的「測度」，即所謂譜族。

設希爾伯特空間 $mathscr{H}$ 上的全體正交投影運算元是 $mathscr{P(H)}$ ， $(X,Sigma)$ 是可測空間，那麼映射 $E:Sigma ightarrowmathscr{P(H)}$ 稱為一個譜族，若：

① $E(varnothing)=O$ ；② $E(X)=I$ （恆等運算元）；③設 ${X_i}$ 為可數個兩兩不相交的可測集合列，那麼 $E(igcup_{i=1}^{+infty}X_i)=sum_{i=1}^{+infty}E(X_i)$ 。

四、譜分解定理

一般來說譜分解定理有3個程度：1.有界正規運算元的譜分解；2.無界自伴運算元的譜分解；3.無界正規運算元的譜分解，而馮諾依曼證明的是第二個。

首先需要說明一下正規運算元，它是指滿足 $NN^dag=N^{dag}N$ 的運算元，我們之前提到的矩陣的譜分解中， $E_i$ 只要求是投影矩陣而不是正交投影矩陣，即不要求是厄米矩陣，如果我們要求它們是正交投影矩陣，就必須要求 $A$ 是正規矩陣，即要求它與自己的厄米共軛對易。

事實上一個矩陣可以酉對角化，即存在酉矩陣（物理上一般叫幺正矩陣，英文都是unitary） $U$ 使得 $UAU^dag$ 是對角矩陣的充要條件就是 $A$ 是正規矩陣。

對於無界運算元也一樣，一個稠定閉的正規運算元，也存在唯一的譜族 $E_A$ 使得任意 $x,yinmathscr{H}$ ，都有：

$langle y,Ax angle=int_{sigma(A)}adlangle y,E_Ax angle(a)$

這個可以簡單寫成：

$A=int_{sigma(A)}adE_A(a)$

但需要依照上上式理解，因為我們只定義了對測度的積分，沒有直接關於譜族的積分，甚至連複數值測度的積分也要若爾當分解成4個正測度的積分，這完全是因為勒貝格積分是簡單函數的積分的上確界造成的，我們無法在非全序空間中直接定義積分。

五、譜族的物理意義

雖然譜族這個東西，物理學家基本沒怎麼用過，但實際上這個東西的物理意義非常明顯，它就是概率的量子化。

對比一下概率，它是一個歸一化的測度， $(X,Sigma)$ 是可測空間，那麼映射 $P:Sigma ightarrow[0,1]$ 稱為一個概率測度，若：

① $P(varnothing)=0$ ；② $P(X)=1$ ；③設 ${X_i}$ 為可數個兩兩不相交的可測集合列，那麼 $P(igcup_{i=1}^{+infty}X_i)=sum_{i=1}^{+infty}P(X_i)$ 。

除了一個是真正的測度，一個是投影運算元值的「測度」，概率和譜族的定義是基本一致的。

實際上考慮一個態 $xinmathscr{H}$ 且 $|x|=1$ ，那麼 $P(Omega)=langle x,E(Omega)x angle$ 就是一個概率測度，對於物理量 $A$ 我們假設它可以用自伴運算元表述，那麼由譜分解定理，我們可以找到一個對應的譜族 $E_A$ ，對於歸一化態 $x$ ，概率測度 $P(Omega)=langle x,E_A(Omega)x angle$ 就是我們觀測一個處於向量 $x$ 描述的系統時，物理量 $A$ 的取值範圍在集合 $Omega$ 中的概率。