麻省理工線性代數筆記（九）-向量空間基與維度

來自專欄劉梳子數學

本講主要內容：

• 線性無關與相關
• 向量空間的基（basis）
• 向量空間的維數（dimension）

1. 線性無關與相關

假設一個A是m行n列的矩陣，其中m<n（未知數個數大於方程的個數）,求Ax=0的解。

複習：回憶上一講的內容，肯定有非零解，因為肯定有自由列（n-m個）。

舉例：三維空間三個向量，第一幅圖3個向量線性無關；第二幅圖3個向量線性相關。

回到矩陣Ax=0，我們對A的列向量是否相關感興趣，比如，

再來考慮：若A（m行n列）的列向量線性無關，則秩為多少呢？秩的定義是主元的個數，列向量線性無關，意味著Ax=0僅有非零解，即各列都是主元列，無自由列，推導出秩r=n（列數）;

若A 的列向量線性相關，有自由列，則秩r<n。

2.向量空間的基

向量張成空間：Vectors v1,v2,…,vl，span a space means：the space consists of all combinations of the vectors.

但沒有要求向量組一定是線性無關。

向量空間的基：我們想找一組向量是線性無關，且所有空間的向量可以由這組向量唯一表示，即向量數目不多不少。

定義：空間的每一個向量都可以由基向量唯一線性表示。

所以說討論一個空間，你要先找到一組基，這是討論向量空間的基礎。

舉例：三維空間的基，最簡單的如下：

當然三維空間的基不止一組，3個線性無關的向量組都可以組成基。注意必須是3個，因為向量數目必須「恰好」。若僅取2個線性無關的向量，所有的組合是三維空間的一個平面，不能充滿整個空間，不是三維空間的基，所以基中含有向量的數目必須是3！

向量空間的維度：儘管組成基的向量組不變，但是所有基的含有向量的個數是一致的，比如三維空間基中向量組的個數必須是3，這個數目就是向量空間的維度。當然，這裡我們按照慣例提前使用了3維空間，這裡說的就是維度（dimension）。

舉例：