大振幅擺的不等時性

06-03

大振幅擺的不等時性

據說在1583年，年輕的伽利略在比薩教堂 (他也曾在那邊的斜塔扔過東西，這就是另一個故事了) 祈禱時，被那盞從教堂頂上懸掛下來的大油燈的來回擺動所吸引。他發現油燈的擺動很規則，那時還沒有能準確計量時間的鐘錶，於是伽利略以他的脈搏來計算油燈擺動的時間。他發現，不論油燈的擺幅是大是小，擺動一個來回所需時間幾乎相同。發現單擺的擺動周期與振幅無關，這是伽利略對物理學的一個貢獻，稱為單擺的等時性。後來他又通過更精確的實驗得出，擺的振動周期與擺長的平方根成正比，即 $T=2pisqrt{l/g}$ .

我們寫出單擺的運動微分方程 $ml^2ddot{ heta}=-mglsin heta$ ，考慮到教堂的長命燈擺長很大，所以擺端的移動範圍不大時，擺角 $heta$ 很小，此時有 $hetaapproxsin heta$ (對於 $hetaleq5^circ$ )，從而運動微分方程變為 $heta+l/gcdotddot{ heta}=0$ ，其通解為 $heta(t)=Asin(sqrt{g/l}cdot t+varphi)$ ，所以是等時的。

事實上，當擺的振幅較大時，擺的振動周期是依賴于振幅的，它不滿足等時性，我們稱此種振動為弱非線性振動。適逢五一假期，本文就將相關證明整理如下，聊以消遣。

大振幅擺的周期依賴于振幅，且在振幅不太大時， $T=2pisqrt{l/g}+frac{A^2pi}{8}+O(A^4).$

我們寫出運動微分方程 $ddot{ heta}=-g/lcdotsin heta$ ，滿足初值條件 $heta(0)=A, dot{ heta}(0)=0.$ 由微分方程解對初值的連續依賴性，將解關於振幅做 Taylor 展開，得到

$heta=A heta_1+A^2 heta_2+A^3 heta_3+o(A^3)$ ，

此時有

$dot heta=Adot heta_1+A^2dot heta_2+A^3dot heta_3+o(A^3)$ ，

$ddot heta=Adot heta_1+A^2ddot heta_2+A^3ddot heta_3+o(A^3)$ ，

$sin heta=A heta_1+A^2 heta_2+A^3( heta_3- heta_1^3/6)+o(A^3)$ ，

帶入運動方程，比較各項，得到

$ddot heta_1=-g/lcdot heta_1, ddot heta_2=-g/lcdot heta_2, ddot heta_3=-g/lcdot ( heta_3- heta_1^3/6),$

且初值滿足

$heta_1(0)=1, heta_2(0)= heta_3(0)=0;$ $dot heta_1(0)=dot heta_2(0)=dot heta_3(0)=0.$

故 $heta_1(t)=cos(sqrt{g/l}cdot t), heta_2equiv0.$ 可以看出 $heta_3$ 滿足強迫振動微分方程

$ddot heta_3+g/lcdot heta_3=g/6lcdotcos^3(sqrt{g/l}cdot t)=g/24lcdotcos(3sqrt{g/l}cdot t)+g/8lcdotcos(sqrt{g/l}cdot t),$

它的解為： $heta_3(t)=frac{1}{192}[cos(sqrtfrac{g}{l}t)-cos(3sqrtfrac{g}{l}t)]+frac{1}{16}sqrtfrac{g}{l}tsin(sqrtfrac{g}{l}t).$

故原運動方程的解為

$heta(t)=Acos(sqrt{g/l}cdot t)+A^3{frac{1}{192}[cos(sqrtfrac{g}{l}t)-cos(3sqrtfrac{g}{l}t)]+frac{1}{16}sqrtfrac{g}{l}tsin(sqrtfrac{g}{l}t)}+o(A^3),$

其中後兩項就是對於小振幅擺運動規律的修正。當單擺經歷一個周期之後，有 $dot heta(T)=0$ ，若我們只考慮三階項，就有

$-sqrt{g/l}sin(sqrt{g/l}cdot T)+A^2{frac{1}{192}[-sqrtfrac{g}{l}sin(sqrtfrac{g}{l}T)+3sqrtfrac{g}{l}sin(3sqrtfrac{g}{l}T)]+frac{1}{16}sqrtfrac{g}{l}sin(sqrtfrac{g}{l}T)+frac{1}{16}frac{g}{l}Tcos(sqrtfrac{g}{l}T)}=0.$

另一方面，假設 $A$ 不是太大，此時周期 $T=2pisqrt{l/g}+Delta$ ，其中 $Delta$ 是小量，從而

$Delta=frac{A^2pi}{8}+o(A^2)$ ，又考慮到周期的展開式只含振幅的偶數階項，有

$T=2pisqrt{l/g}+frac{A^2pi}{8}+O(A^4).$

同時，由於擺的不等時性，系統的 Lyapunov 穩定性無法保證，但是在振幅不太大的時候，軌道穩定性依然保持。