並矢，外積與二階張量

在電動力學的教材中，常常會出現並矢與張量的概念。而物理專業的學生如果沒有額外自學數學課程，第一次接觸電動力學電磁學的時候數學往往還只有微積分和線性代數的水平，很容易被這樣的名詞給嚇住，從而拖累了學習物理的進程。然而實際上，這些概念在理解之後是非常簡單。故在這裡，簡要介紹一下我到目前為止物理中所用到的「並矢」，「兩個矢量的外積」與「二階張量」。

1. 並矢

並矢這個概念其實是物理學家懶得學太多數學而做出的一個「閹割版」張量，將矢量 和矢量 並在一起寫成 ，便稱之為「並矢」，來表示一個二階張量。對於並矢我總結了以下幾個理解方式：

1.1. 一個列向量與一個行向量相乘而得到的矩陣

在選定了坐標系的情況下，矢量 和矢量 的並矢 可以寫為

在這樣的情況下，矢量與並矢的點積 可以看為列矢量左乘上述矩陣，同理 可以視為行向量右乘上述矩陣。

則可以寫為：

可以發現，經過這些操作之後，最後得到的都是矢量。

對於物理專業的同學來說，這個理解方式是最簡單最直觀的。但是這種表示方法存在著很多的缺點：

1. 顯而易見的第一個缺點就是它寫出來太麻煩了，要是在推導計算過程中都這麼寫，那不知道要多用多少頁草稿紙。
2. 這種寫法依賴於坐標系的選取，同一個並矢在不同坐標系下的分量是不同的，如果在沒有選取坐標系的情況下，上述操作都無法進行。
3. 這種寫法無法處理兩個並矢雙點積，如

因此我們需要尋求一些其他的理解方式

1.2. 愛因斯坦求和約定

針對其第一個缺點，我們可以通過引入愛因斯坦求和約定來極大地簡化我們的表述。我們約定：當我們的表達式中出現兩個相同指標是即代表對這個指標進行求和，即

在引入了愛因斯坦求和約定之後，我們就有：

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• 
• 
• 
• （定義）

前四個式子無非就是將原來的矩陣表達的方式寫成的分量的形式。但是顯然，在這樣的情況下，表述方式簡潔了許多。在進行推導計算時，用這樣的表述方式也會極大地減少麻煩。

同時，在這種形式下，我們還很容易從第2、3、5式中看出他們不依賴與坐標的形式：

2. 外積

其實從數學的角度看，物理教材中的兩個矢量的並矢其實就是指兩個矢量的外積。只不過在談論並矢時，我們往往默認我們的兩個矢量都是三維歐式空間中的矢量，並且兩個矢量選擇的基都是相同，並且都是標準基。下面我們簡單討論一下更加普遍的情況。

假設v，w分別是是n維向量空間 和m維空間 中的向量， ， 分別是 ， 的一組基。並且有：

則v和w的外積

其中 為常數， 是 的基，共有 個。並且在上述表達中用到了愛因斯坦求和約定。

可以看出，兩個分別為n,m維的向量的外積得到了一個 維的向量（其實是張量，不過從線性代數的角度看，張量也可以組成線性空間，故也可以稱為向量）。

關於外積的更多描述，可以參考維基百科Outer product - Wikipedia

這裡簡單提一句，在量子力學中，外積被廣泛的運用。狄拉克把內積 劈成兩半，變成左矢 和右式 ，來進行計算。在這樣的情況下 表示內積，而 則表示兩矢量外積。

3. 張量

其實上述的東西，在張量的語言下能更好的描述。但是如果要說清楚張量到底是個什麼東西，要從對偶矢量開始講起，還要分什麼逆變協變，比較麻煩，並非一兩句話就能講清楚的。好在目前我們考慮的是三維歐式空間在歐式度規下的二階張量。歐式空間是性質最簡單的空間。而歐式度規下，向量空間與其對偶空間有自然的對應關係，可以不做區分。而二階張量又是除了矢量外最簡單的張量。故我們還能用不是那麼嚴格的語言來簡單提兩句。

二階張量，簡單地說就是從兩個矢量到標量的雙重線性映射。也就是說，向一個張量中扔進入兩個矢量，最後得到的就是一個標量。

用數學的語言來描述就是，如果 是一個張量，v和w是矢量，那麼 就是一個數。

並且，由於它是一個雙重線性映射，它還必須滿足：

其中 是任意常數。

一個很有意思的問題是：向一個張量里扔兩個矢量得到標量，那如果只扔一個矢量會得到什麼？

答案是會得到一個矢量。因為如果只扔一個矢量，那麼再往裡扔一個矢量不就是標量了嗎？你對一個矢量，在扔一個矢量去和它點乘，他不就正好就得到了一個標量嗎？

其實這一點在我們之前對並矢的討論中也有體現：

一個並矢和矢量的點乘，最後得到的還是一個矢量。如果你再找一個矢量去與之點乘，就得到了一個標量。這正相當於向張量中扔一個矢量得到一個矢量，再扔一個矢量，就得到了一個標量。

那張量的散度又是什麼呢？我們知道，一個矢量的散度就是一個標量。而我們對照張量的定義和我們剛剛的討論，我們不難發現其實矢量就是一個一階張量，而標量可以看做零階張量。那麼求散度，相當於對張量降了一階。所以對二階張量求散度得到的就是一階張量，也就是矢量。

同樣的道理，對張量求梯度（其實是求導數），會使張量升階，也就是說會讓二階張量變為三階張量。這裡面還會有很多有趣的東西，在這裡就不細談了。

4.結語

就像之前所說，以上對張量的描述是非常不嚴謹的。比如為什麼矢量是一階張量，也就是矢量到標量的線性映射，說得含糊不清。只能說是對張量進行了一個科普性的介紹。這是因為並沒引入對偶空間來談論張量，而對偶空間在對張量的描述中又起著重要的作用。

不過就單從學習電動力學來說，以上的東西完全夠用了。並且，如果有希望對張量有更深入了解的物理專業同學，強烈推薦讀一讀梁燦彬先生的《微分幾何入門與廣義相對論》。