Note 0 經典場論對應的拉格朗日力學

來自專欄量子場論筆記

1、力學基礎

在物理學中，最基本的經典力學量是作用量 S。作用量的定義是拉格朗日函數對時間的積分。

拉格朗日函數 是一個力學系統的特性函數，包含了一個力學系統的全部信息，對於連續的情況，拉格朗日函數可以寫成以場為宗量的函數。這樣拉格朗日可以寫成拉格朗日密度函數對空間部分的積分，作用量可以寫成

根據最小作用量原理，位形空間的路徑對應於最小的作用量 S .這樣有：

對第二項應用一遍分部積分，很容易得到

第二項根據Stokes公式可以轉化成表面積分，而在位形空間中點場的變分為 .

這樣就得到了經典場的拉格朗日方程：

比較於經典力學離散體系的拉格朗日方程：

場論里實質上是把場看成廣義坐標，實際上在經典電動力學裡我們就已經這樣處理了（參考Jackson的電動力學狹義相對論部分）。很顯然場在空間中是連續分布的，每一種場構型都對應著一個作用量，但是只有滿足拉格朗日方程的場才能保證最小作用量。這也是經典力學所需要保證的。根據費曼路徑積分公式:

這個phase實際上就是作用量 。

顯然如果作用量 不是極小值，那麼對於非最小作用量的路徑來說，相位變化會劇烈變化以至於相互之間發生抵消。也就是說必須要有 ，由此我們可以推導出拉格朗日方程，這就回到了本文剛開始。

對於給定的拉格朗日函數 ,很自然我們可以定義正則動量

這裡 叫做共軛正則動量密度。再根據勒讓德變換帶入拉格朗日方程 ，很快我們可得：

這樣我們就得到了一個力學體系的另一個重要的特性函數——哈密頓函數

2、諾特原理

我們考慮一個空間連續分布的場 ，其中它的無窮小變換形式為：

這裡 是無窮小變換參數， 是場構型的「畸變」。力學裡所謂的對稱變換是指保持動力學方程形式不變的變換，這裡我們的動力學方程是指拉格朗日方程。也就是說以上這種無窮小變換是保證了拉格朗日方程始終不變。

對於拉格朗日密度 ，我們考慮對應於 場 的無窮小畸變的導致的拉格朗日變化，近似到一階。因為拉格朗日密度函數是洛倫茲不變的，也就是 。這就要求拉格朗日密度的一階項必須是一個四散度。

對 全微分展開，可以得到：

這樣比較 和上式，由 可知：

其中

.

由 的形式我們可以知道 是對應於變換 的守恆流。這就是我們所求得的諾特流局域守恆方程

我們可以定義守恆荷 :

如局域的連續性方程或者守恆流方程向全空間積分一樣，利用無窮邊界收斂於 . 顯然守恆荷是一個不隨時間變化的常量。

舉個例子，我們考慮一個洛倫茲無窮小變換 ，顯然場構型的變化為：

因為拉格朗日是洛倫茲不變的標量，所以拉格朗日也要有如下變換：

後面 的出是由於更換坐標導致的雅克比係數。

帶守恆流公式 里，很快我們能得到守恆流是能量動量張量：

同樣的，對應於洛倫茲變換的守恆流 ，我們也可以求出守恆荷，正是這個體系的哈密頓：

與電動力學一樣的，能量動量坐標分量是與總動量的坐標分量緊密聯繫的。

這也是物理上對應的動量，而不是正則動量。