心算?速算?巧算（一）

心算·速算·巧算

人的一生離不開數學，學生時期要計算題目，踏入社會

生活中要買賣、計算收入，時時刻刻都需要數學。計算是數

學的基礎，小學生要學好數學，必須具有過硬的計算本領。

準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，

既能提高計算效率、節省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提

高分析、判斷能力，促進思維和智力的發展。

一、加減法

加法中的巧算

一、湊十法　　

例1 計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

二、湊整法

1.什麼叫「補數」？

兩個數相加，若能恰好湊成整十、整百、整千、整萬…，

就把其中的一個數叫做另一個數的「補數」。

　　如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。

又如：11+89=100，33＋67=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，

在上面算式中，1叫9的「補數」；89叫11的「補數」，11也叫89的「補數」.也就是說兩個數互為「補數」。

　 對於一個較大的數，如何能很快地算出它的「補數」來呢？一般來說，可以這樣「湊」數：從最高位湊起，使各位數字相加得9，到最後個位數字相加得10。

　如： 87655→12345， 46802→53198，　　87362→12638，…

　下面講利用「補數」巧算加法，通常稱為「湊整法」。

　　2.互補數先加。

「湊整」先算

例1.計算：（1）24+44+56 （2）53+36+47

　　解：（1）24+44+56=24+（44+56）　=24+100=124

　　　　（2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136

　　例2.計算：（1）96+15　　　　（2）52+69

　　解：（1）96+15=96+（4+11）=（96+4）+11=100+11=111

　　 這樣想：把15分拆成15=4+11，這是因為96+4=100，

可湊整先算.

　　（2）52+69=（21+31）+69=21+（31+69）=21+100=121

　這樣想：因為69+31=100，所以把52分拆成21與31之和，

再把31+69=100湊整先算.

　例3.計算：（1）63+18+19　　　　　（2）28+28+28

　　解：（1）63+18+19　

=60+2+1+18+19

=60+（2+18）+（1+19）

=60+20+20

=100

這樣想：將63分拆成63=60+2+1就是因為2+18和1+19

可以湊整先算.

　　（2）28+28+28

　　=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6

=30+30+30-6=90-6=84

這樣想：因為28+2=30可湊整，但最後要把多加的三個2

減去.

例4. 巧算下面各題：

　①36+87+64 ②99+136＋101　③ 1361＋972＋639＋28

　　解：①式=（36＋64）＋87　　=100＋87=187

　　②式=（99＋101）＋136　　=200+136=336

　　③式=（1361＋639）＋（972＋28）=2000+1000=3000

　　3.拆出補數來先加。

例5. ①188＋873 ②548＋996 ③9898＋203

解：①式=（188+12）+（873-12）（熟練之後，此步可略）

　　＝200+861=1061

　　②式=（548-4）＋（996＋4）　　=544+1000=1544

　　③式=（9898＋102）＋（203-102）　　=10000+101=10101

　　豎式運算中互補數先加。如：

有些數相加之和是整十、整百的數，如：

1+19=20 11+9=30 2+18=20 12+28=40　　3+17=20 13+37=50 4+16=20 14+46=60 5+15=20 15+55=70　　6+14=20 16+64=80 7+13=20 17+73=90　 8+12=20 18+82=100　　9+11=20

又如：15+85=100 14+86=100　　25+75=100 24+76=100

35+65=100 34+66=100　　45+55=100 44+56=100等等巧用這

些結果，可以使那些較大的數相加又快又准。像10、20、 30、

40、50、60、70、80、90、100等等這些整十、整百的數就是

湊整的目標。

例6. 計算　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

例7. 計算　　2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解：這是求2到

20共10個雙數之和，用湊整法做：

例8. 計算　　2+13+25+44+18+37+56+75

解：用湊整法：

例9. 計算9＋99＋999＋9999＋99999

　　解：在涉及所有數字都是9的計算中，常使用湊整法.

例如將999化成1000—1去計算.這是小學數學中常用

的一種技巧.

　　 9＋99＋999＋9999＋99999

　　＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）

　　＋（100000-1）

　　＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5

　　＝111110-5　　＝111105.

例10. 計算199999＋19999＋1999＋199＋19

　　解：此題各數字中，除最高位是1外，其餘都是9，仍使用湊整法.不過這裡是加1湊整.（如 199＋1＝200）

　　 199999＋19999＋1999＋199＋19

　　＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）

　　＋（19＋1）－5

　　＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.

例11. 計算（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988）

解法2：先把兩個括弧內的數分別相加，再相減.第一個括弧

內的數相加的結果是：

從1到1989共有995個奇數，湊成497個1990，還剩下

995，第二個括弧內的數相加的結果是：

從2到1988共有994個偶數，湊成497個1990.

1990×497＋995—1990×497＝995.

例12. 計算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388

解法1：認真觀察每個加數，發現它們都和整數390接近，

所以選390為基準數.

　　 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388

　　＝390×7—1—3—7—5—6—4—2

　　＝2730—28　　＝2702.

解法2：也可以選380為基準數，則有

　　 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388

　　＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8

　　＝2660＋42　　＝2702.

例13. 計算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6

　　解：認真觀察可知此題關鍵是求括弧中6個相接近的數之和，故可選4940為基準數.

　　（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6

　　＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6

　　＝（4940×6＋6）÷6（這裡沒有把4940×6先算出來，而是運運用了除法中的巧算方法）

　　＝4940×6÷6＋6÷6　　＝4940＋1　　＝4941.

三、用已知求未知

利用已經獲得較簡單的知識來解決面臨的更複雜的難題這是

人們認識事物的一般過程，湊十法、湊整法的實質就是這個

道理，可見把這種認識規律用於計算方面，可使計算更快更

准。下面再舉兩個例子。

例1. 計算　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20

解：由例2和例3，已經知道從1開始的前10個單數之和以及從2開始的前10個雙數之和，巧用這些結果計算這道題就容易了。　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20

=（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）　　

=100+110（這步利用了例2和例3的結果）=210

例2. 計算 5+6+7+8+9+10

解：可以利用前10個自然數之和等於55這一結果。

5+6+7+8+9+10=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4）

（熟練後，此步驟可省略）　　=55-10=45

四、帶符號「搬家」，改變運算順序：在只有加減運算的混

合算式中，運算順序可改變，有時改變加、減的運算順序可使

計算顯得十分巧妙！

例1.計算：（1）45-18+19　（2）45+18-19

解：（1）45-18+19=45+19-18　=45+（19-18）=45+1=46

這樣想：把+19帶著符號搬家，搬到-18的前面.然後先

19-18=1.

（2）45+18-19=45+（18-19）=45-1=44

這樣想：加18減19的結果就等於減1.

例2. 計算 10-9+8-7+6-5+4-3+2-1

解：這題如果從左到右按順序進行加減運算，是能夠得出

正確結果的。但因為算式較長，多次加減又繁又慢且容易出錯。如果改變一下運算順序，先減後加，就使運算顯得非常「漂亮」。下式括弧中的算式表示先算，

10-9+8-7+6-5+4-3+2-1

=（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）　

=1+1+1+1+1=5

　例3. 計算 325＋46-125＋54

　　解：原式=325-125＋46+54　　＝（325-125）+（46＋54）

　　=200+100＝300

　注意：每個數前面的運算符號是這個數的符號.如+46，-125，+54.而325前面雖然沒有符號，應看作是+325。

　　兩個數相同而符號相反的數可以直接「抵消」掉

例4. 計算9+2-9＋3　　

解：原式=9-9＋2+3=5

例5. 計算 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11

解：這題只有加減運算，而且1-2不夠減。我們可以採用帶著

加減號搬家的方法解決。要注意每個數自己的符號就是這個數

前面的那個「+」號或「-」號，搬家時要帶著符號一起搬。

1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11　=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10

=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）[先減後加]

=1+1+1+1+1+1　=6

在這道題的運算中，把「+3」搬到「-2」的前面，把「+5」

搬到了「-4」的前面，……把「+11」搬到了「-10」的前面，

這就叫帶著符號搬家。巧妙利用這種搬法，可以使計算簡便。

五、結合法：就是運用加法交換律和結合律。

例1： 26+53+75+47+174

=（26+174）+（53+47）+75

=200+100+75

=375

例2： 182+19+45+18+81+55

=（182+18）+（19+81）+（45+55）

=200+100+100

=400

例3： 235+525+375+165

=（235+165）+（5258+375）

=400+900

=1300

例4： 546+78+22

=546+（78+22）

=546+100

=646

例5：354-68-32

=354-（68+32）

=354-100

=254

例6： 3252+3748-499

=（3252+3748）-500+1

=7000-500+1

=6501

例7： 85.7-7.8+403-12.2

=（85.7+4.3）-（7.8+12.2）

=90-20=70

六、加整去零法：幾個數相加，如果有接近整十、整百、整千、整萬的數，可以先加上這些整十、整百、整千、整萬數，然後再加、減去多（少）加的零頭。

例1：533+388

=500+400+33-12

=900+21

=921

例2： 895+495

=900+500-5-5

=1400-10

=1390

例3：988+3425+9998

=10000+1000+3425-12-2

=14425-14

=14411

七、減法中的巧算

1.把幾個互為「補數」的減數先加起來，再從被減數中減去。

例 3① 300-73-27　　② 1000-90-80-20-10

解：①式= 300-（73＋ 27）　　＝300-100=200

②式=1000-（90＋80＋20＋10）　　＝1000-200＝800

2.先減去那些與被減數有相同尾數的減數。

例4① 4723-（723＋189）　　② 2356-159-256

解：①式=4723-723-189　　＝4000-189=3811

②式=2356-256-159　　＝2100-159　　=1941

3.利用「補數」把接近整十、整百、整千…的數先變整，

再運算（注意把多加的數再減去，把多減的數再加上）。

例 5 ①506-397　②323-189　

③467＋997　④987-178-222-390

解：①式=500＋6-400+3（把多減的 3再加上）=109

②式=323-200+11（把多減的11再加上）=123+11＝134

③式=467＋1000-3（把多加的3再減去）　　＝1464

　④式=987-（178＋222）-390　　＝987-400-400+10=197

八、減整加零法：在做減法過程中，如果減數有接近整十、

整百、整千、整萬的數，可以先減去這些整十、整百、整

千、整萬數，然後再加上多減的零頭。

例1：315-289

=315-200+11

=15+11

=26

例2：6890-4192

=7000-4200-110+8

=2698

例3：7.01-0.99

=7.01-1+0.01

=6.02

例4：103+105+98+102+96

=100+100+100+100+100+3+5-2+2-4

=500+4

=504

九、計算等差連續數的和

　　相鄰的兩個數的差都相等的一串數就叫等差連續數，又叫等差數列，如：

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9

　　1，3，5，7，9

　　2，4，6，8，10

　　3，6，9，12，15

　　4，8，12，16，20等等都是等差連續數.

　　1. 等差連續數的個數是奇數時，它們的和等於中間數乘以個數，簡記：

例1. 12++13+14+15+16+17+18+19+20

=16×9

=144

註：每兩個數之間的距離相等也用此法。

例2. 1+3+5+7+9+11+13+15+17

=9×9

=81

例3. 1+2+3+4+5+6+7+8+9

　　=5×9 中間數是5

　　=45 共9個數

例4. 1+3+5+7+9

　　=5×5 中間數是5

　　=25 共有5個數

　　例5.計算：2+4+6+8+10

　　 =6×5 中間數是6

　　=30 共有5個數

例6.計算：3+6+9+12+15

　　=9×5 中間數是9

　　=45 共有5個數

例7.計算：4+8+12+16+20

　　=12×5 中間數是12

　　=60 共有5個數

2. 等差連續數的個數是偶數時，它們的和等於首數

與末數之和乘以個數的一半，簡記成：

或（首項+末項）×（項數÷2）

　　例1.計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10　

=（1+10）×5

=11×5

=55

　　共10個數，個數的一半是5，首數是1，末數是10.

　　例2.計算：3+5+7+9+11+13+15+17　

=（3+17）×4

=20×4

=80

　　共8個數，個數的一半是4，首數s是3，末數是17.

　例3.計算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20　　

=（2+20）×5=110

　　共10個數，個數的一半是5，首數是2，末數是20.

例4. 1+2+3+……+35+36

=（1+36）×（36÷2）

=37×18

=666

例5.1+2+3+……+99+100

=（1+100）×（100÷2）

=101×50

=5050

十、加減混合式的巧算

　 1.去括弧和添括弧的法則

　在只有加減運算的算式里，如果括弧前面是「＋」號，則

不論去掉括弧或添上括弧，括弧裡面的運算符號都不變；如

果括弧前面是「-」號，則不論去掉括弧或添上括弧，括弧

裡面的運算符號都要改變，「+」變「-」，「-」變「+」，

即：

　　a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d

　　a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d

　　a-（b-c）＝a-b+c

例6. ①100＋（10＋20＋30）② 100-（10＋20+3O）

③ 100-（30-10）

　　解：①式=100＋10＋20＋30　　=160

　　②式=100-10-20-30　　=40

　　③式=100-30＋10　　＝80

例7. 計算下面各題：

① 100＋10＋20＋30　② 100-10-20-30　

② ③ 100-30＋10

　　解：①式=100＋（10+20+30）　　=100＋60=160

　　②式=100-（10＋20+30）　　＝100-60=40

　　③式=100-（30-10）　　=100-20=80

十一、同分母的所有真分數（或最簡分數）相加，只要用

這些分數的個數除以2就可以得到結果。

例1： 1/15+2/15+3/15+……+14/15

=14÷2

=7

例2：1/14+3/14+5/14+9/14+11/14+13/14

=6÷2

=3

註：所有分子為奇數，分母為偶數的同分母真分數相加，也用此法。

例3： 1/14+3/14+5/14+7/14+9/14+11/14+13/14

=7÷2

=3.5

十二、分子都為1，分母2、4、8……的分數相加，就用1減去末項就得到結果。

例： 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64

=1-1/64

=63/64

十三、前項都是後項的2倍，且各項分子都是1的分數連減，其末項就是它們的差。

例：1-1/2-1/4-1/8-1/16-1/32-1/64-1/128

=1/128

十四、從1開始的連續數相加，加到某數又反向加到1，其和就是某數的平方。

例1：1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1

=92=81

例2：1+2+3+4+5+……+99+100+99+98+……+5+4+3+2+1

=1002=10000

十五、互為補數的兩數相減，將被減數減50再乘以2，即為

其差。

例1： 62-38

=12×2

=24

例2： 842-158

=342×2

=684

或者將被減數乘以2，再減去兩數之和也得其差。

例3： 87-13

=87×2-100

=154-100

=54

例4： 812-188

=812×2-1000

=1624-1000 =624

十六、被減數是由相同的數字組成的兩位數，減數也是兩位

數，它的數字之和等於被減數的一個數字時，兩數之差正好

是減數的兩個數字交換位置。

例1： 44-13=31 66-24=42

例2： 8.8-2.6=6.2 7.7-3.4=4.3

十七、從1開始的n個連續奇數的和等於n的平方。

例1： 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

=102=100

例2：1+3+5+7+……+（2n-1）=n2

十八、從2開始的n個連續偶數的和等於n（n+1）。

例1： 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20

=10×（10+1）

=110

例2： 2+4+6+……2n= n（n+1）

十九、退模加補法。減去一個數，等於減去一個數的模再加

上它的補數。

例1： 125-63

=125-100+27

=25+37

=62

例2： 8754-825

=8754-1000+175

=7754+175

=7929

二十、首項是1，後項是前項的倍數，總和是末項的2倍減1.

例1： 1+2+4+8+16

=16×2-1=31

例2： 1+2+4+8+……+n=2×n-1

二十一、加法的基準數法

例1： 四年級一班第一小組有10名同學，某次數學測驗的成績（分數）如下：

86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

求這10名同學的總分。

分析：通常的做法是將這10個數直接相加，但這些數雜亂無章，直接相加既繁且易錯。觀察這些數不難發現，這些數雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個適當的數作「基準」，比如以「80」作基準，這10個數與80的差如下：

6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中「-」號表示

這個數比80小。於是得到

總和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-6+12-11+4-5）

＝800＋9＝809。

實際計算時只需口算，將這些數與80的差逐一累加。為

了清楚起見，將這一過程表示如下：

通過口算，得到差數累加為9，再加上80×10，就可口算

出結果為809。

例1所用的方法叫做加法的基準數法。這種方法適用於加數

較多，而且所有的加數相差不大的情況。作為「基準」的數

（如例1的80）叫做基準數，各數與基準數的差的和叫做累

計差。由例1得到：

總和數=基準數×加數的個數+累計差，

平均數=基準數+累計差÷加數的個數。

在使用基準數法時，應選取與各數的差較小的數作為基準數，

這樣才容易計算累計差。同時考慮到基準數與加數個數的乘

法能夠方便地計算出來，所以基準數應盡量選取整十、整百

的數。

例2 某農場有10塊麥田，每塊的產量如下（單位：千克）：

462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。

求平均每塊麥田的產量。

解：選基準數為450，則

累計差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，

平均每塊產量=450＋50÷10＝455（千克）。

答：平均每塊麥田的產量為455千克。

例3.計算：23+20+19+22+18+21

解：仔細觀察，各個加數的大小都接近20，所以可以把每

個加數先按20相加，然後再把少算的加上，把多算的減去.

23+20+19+22+18+21　　

=20×6+3+0-1+2-2+1　

=120+3

=123

6個加數都按20相加，其和=20×6=120.23按20計算就少加了「3」，所以再加上「3」；19按20計算多加了「1」，所 以再減去「1」，以此類推.

例4.計算：102+100+99+101+98

解：方法1：仔細觀察，可知各個加數都接近100，所以選

100為基準數，採用基準數法進行巧算.

　　102+100+99+101+98　　=100×5+2+0-1+1-2=500

方法2：仔細觀察，可將5個數重新排列如下：（實際上就是

把有的加數帶有符號搬家）

102+100+99+101+98　　=98+99+100+101+102=100×5=500

可發現這是一個等差連續數的求和問題，中間數是100，個數

是5.　

例5. 計算 78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85＝640