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易經數理結構探討(來源: 唵啊吽)

本帖被 空間 設置為精華(2008-03-22) 【易經數構】是【易經數理結構探討】的簡稱。用簡稱是為了留下標題空間加附標題，便於網路上貼。易經和其它書不同的地方，在於除了文字以外，還有卦符和數符，而這些卦符後邊跟了歷代積累的文字。現代書籍中，文字和符號並存的書是數學書或應用數學的書，於是唵啊吽猜測，這64個卦符及其之間的變化關係，可能有某些代數結構，找出這些代數結構，這易經就容易明白了。讓我們引用《說卦》中的一段來說明這個代數觀點：「乾，健也。坤，順也。震，動也。巽，入也。坎，陷也。離，麗也。艮，止也。兌，說也。主 乾為馬，坤為牛，震為龍，巽為雞，坎為豕，離為雉，艮為狗，兌為羊。乾為首，坤為腹，震為足，巽為股，坎為耳，離為目，艮為手，兌為口。」這一段講八卦的八個卦符，代入了三個不同類別的系統，一個是八種運動形式，一個是八種家畜（如果龍也定義為家畜的話），一個身體八個個部位。這和數學非常相似，如1＋1＝2，可以代入一個蘋果加一個蘋果等於兩個蘋果，也可以帶入一個行星加一個行星等於兩個行星。有一個抽象的數學結構，把這個數學結構應用到不同的問題上。自然數以及加法和乘法乘兩種運算合起來是一個代數結構，稱為「環代數」。自然數有順序，2比1大，3比2大等。但有些代數結構的元素是沒有順序的，如「群代數」的元素就往往沒有順序，八卦的八個卦符也很難說有順序，這些當然都是要探討的問題。數學的應用，就是將客觀事務影射到一個代數結構中的元素里，然後通過代數運算找出各元素之間的關係，然後把結果拿出來作為行為的依據，這和《易經》非常相似。把客觀事務影射到卦符上，然後進行推理（運算），然後決策行為。所以，《易經》無所不包並不奇怪，1＋1＝2可以用於市井交易，也可以用於計算衛星軌道，一個代數結構可以有很多用途，一個問題的解解決可以應用許多數學工具。筆者以為《易經》中有許多代數結構，古人用這些代數來解決問題（決策）。決策的「策」，就是算籌，通過運算把策算出來了，就是決策。所以，決策本意就是數學的應用，《易經》就是決策的書，有決策，當然有數理結構在其中。《易經》的數理結構主要著重於變化，而不是數量的計算。這有點像群代數，如空間群的元素就是各種變化的操作，包括旋轉、平移、鏡像等。這是網路寫作，不是有研究結果才寫的，而是有一點讀書心得就寫一點，估計不把易經讀完了，難以總結出嚴謹的代數結構，即便讀完了，或許嚴謹的代數結構也找不到。所以，讀者不要期望太高，期望太高了，案啊吽反而不敢寫下去了。而且，這是讀書筆記，寫到最後結論和觀點和最初的設想的或許風馬牛不相及，也是不奇怪的。好了，我要開始讀《易經》了……[ 此貼被kelvin在2008-05-09 07:29重新編輯 ]

讀易經，得先搞明白八卦的來歷。【易·繫辭下】記載【1】：「古者包犧氏之王天下也，仰則觀象於天，俯則觀法於地，觀鳥獸之文與地之宜，近取諸身，遠取諸物，於是始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情。」這段話說包犧氏觀察和思考這個世界，發明了八卦。劉徽在【九章算術·序】一開頭就說【2】：「昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之術以合六爻之變」。劉徽認為，八卦是用於算術的，所以我們可以推測八卦是代數符號，其卦像有如蓍草算籌的排列。【周髀算經·卷上之一】說【3】：「昔者周公問於商高曰：『竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天曆度。』」，這說明包犧把八卦應用於天象和曆法。那麼包犧氏是誰呢？包犧氏就是伏羲【4】。按照曹桂岑的考證【4】，伏羲的年代是九千年前，也就是公元七千年前。【史記·五帝本記】稱伏羲、神農和皇帝為三皇，伏羲是三皇之首，是中華第一帝【5】。九千年前，中國還處於母系氏族社會，所以，伏羲應該是女性。傳說中，伏羲人面蛇身，所以，可以推測伏羲是美女，身材窈窕，小蠻腰，或說是水蛇腰。當然，還有另一種文縐縐的說法，是說伏羲是蛇圖騰文化，後來變成中華龍圖騰文化。1951年，四川資陽縣發現人類頭骨化石，據放射性碳14測定，為七千五百年前的化石，估計考古研究，屬於舊石器時代【6】。【史記】從五帝開始，其中提到伏羲為三皇之首。這是有文字記載歷史。傳說中順序是有巢氏、燧人氏、庖犧氏、神農氏、然後到皇帝。即中國社會開始是住在樹上（有巢氏），後來進入了鑽木取火的時代（燧人氏），後來烹飪牲口的社會（庖犧氏），然後是種植莊稼的社會（神農氏）【7】。庖犧就是伏羲，其妹為女媧。讀到這，讀者會問了：咦，你一會兒說伏羲是美女，一會兒說伏羲是畜牧社會，伏羲到底是人還是一個社會時期呢？實際上都是。就像我們說華盛頓共識，實際上用華盛頓代指美國。有時候用布希代替美國來指稱美國對外政策。伏羲是人，也可以代指伏羲年代。伏羲那個年代，男人在外漁獵，伏羲經理組織籌劃部落中大大小小的事情，有很多帳目要算。那時候沒有紙和筆，也沒有文字，算帳使用結繩記事。這很麻煩，一年365天要打365個結，這帳目就變成一堆亂麻了，理也理不清。為了解決這些亂麻帳目，發明了八卦。據說伏羲發明八卦，是從河圖洛書進化出來的。我們看看河圖洛書，就一眼能看出是結繩記事的圖像，一根線就是一條繩，上邊的節點就是結。洛書擺得特別美麗。每行每列及兩個對角線的和都是十五。如果我們往宇宙空間送一個「漂流瓶」，告訴宇宙其它文明星球人類有智慧，那麼洛書是最合適了。我們一看到洛書，就可以推斷當時人類的智慧是很高的。即便是結繩記事，也能籌劃很複雜的事情，至少，加法和數大於十個手指頭。一根繩子打幾個結，就代表數字幾。打九個結，已經很長了。看看河圖，八和九的結數不是一眼能分出來的，這樣算帳很容易出錯。所以，用白黑兩色繩子分別記奇數和偶數。但算的數字大了，畢竟不方便。這結繩有點像計算機外存，可以永久保留。運算的時候，計算機不要外存，而用內存，用暫時記憶。伏羲也一樣，運籌決策，就擺蓍草，擺蓍草難以永久保存，但運算快。把蓍草中間沒有節的作為陽籌，中間有節的做為陰籌，在三個位置上擺上不同的籌碼，一共有八種擺法，這就是伏羲的八卦圖了，每個卦都是陰劃和陽劃組成的三比特位元組。從一到八都是三劃，比結繩簡潔多了。但讀起來不如結繩那麼容易理解，需要有學問才能讀。

【周易·繫辭上】【1】：「天一，地二；天三，地四；天五，地六；天七，地八；天九，地十。」易經把奇數定為天數，偶數定為地數。唵啊吽上節猜測，這是結繩記事時減少計數誤差的方法，那就是奇數用一種顏色的繩子，偶數用另一種顏色的繩子。這個猜測無法考證，因為即使繩子變成化石了，顏色也難以保留下來。但是，這天地就是陰陽，陰陽是易經解釋宇宙的核心概念。哲學中的一個命題，就是宇宙到底事什麼，這在哲學中叫做本體論，英文稱之為ontology。注意，哲學不是科學，是形而上學。到了科學時代，ontology就是窮盡地組織一個學科或專業知識的方法，這個方法一般稱為歸類。人認識世界，就是把世界的事物分類，然後根據不同類別的事物來策劃或決策。讓我們把這種ontology稱為整體論方法。讓我們舉幾個例子來說明整體論方法。比如說，世界的物體分為生物和非生物兩大類；生物分為植物和動物兩大類；動物分為脊椎動物、環節動物等等；脊椎動物分為哺乳動物和卵生動物等等；哺乳動物分為靈長目等，靈長目分為猩猩、猴子、人類等等。現代科學的發展如生物學、化學都是從這些分類。今天整體論方法是一個很大的產業。如計算機X·500協議，就是一個整體論協議。根據X·500協議開發出來的產品有Novell目錄服務系統，微軟開始把這個目錄協議應用到電子郵件的交換服務，後來用到和Novell類似的目錄服務。類似地有金融業專用整體論術語。如果我們把世界所有的事物的概念都整理組織出來，我們就「認識」了這個世界了。不過這用起來很多困難，如計算機專用人士或許不能完全了解X·500協議，即便開發出產品，也是用其中一小部分。學生物的也不見得都了解每個物種的分門別類。這是歸納法的局限性，歸納法無法窮盡無限的事物。由於歸納法的局限性，哲學家的本體論喜歡演繹法，用一些規則演繹這個宇宙。如黑格爾的【有論】，從「有」或者「存在」這個單一的概念，通過「有」「無」相生的辨證法來演繹宇宙所有事物。這個方法很方便，國人都會用，如「凡事一分為二」，事物都有兩面性。用有限的規則來推演無窮，在數學上有數學歸納法。這裡給一個例子f（n）＝f（n－1）＋1f（0）＝0。由這兩個公式遞歸，就可以窮盡所有自然數。數學歸納法可以用描述一個無窮序列，或者證明一個無窮序列中的某種關係。用上邊兩個關係比起列舉『1、2、3、4、……』要簡潔得多，而且，列舉總是有限的，無法窮盡無窮序列。好了，數學歸納法和自然數有關聯，必須是一個序列，但是，宇宙間許多事物並不是按照序列排列的，或者沒有序列關係，這就很難用數學歸納法了。不過，要超越序列的限制也是有方法的。如今計算機時尚的面向對象的語言，這種語言就有類似的方法，而且不依靠序列。那就是描述一個對象的時候，可以是這個對象本身來這個對象的性質進行描述。也就是說，你可以用一個事物本身去定義這個事物。這在邏輯上是循環證明，是邏輯學家的大忌，因為循環證明往往得出自相矛盾的結論。如只要有手拽著頭髮，就可以把你拉出沼澤，那麼，你自己的手能把自己拔出泥潭嗎？又如，世界上的人分為兩類，一類是給我理過發的人，一類是沒有給我理過發的人。這個分類一點都不含糊，每個人都是兩種必居其一而且只能居其一。好了，又了這個分類以後，我宣誓只給那些沒有為我理髮的人理髮。那麼，我要不要給自己理髮呢？我不理那麼就違反我自己的誓言，一旦我開剪給自己理髮了，我有違反了自己的誓言。這就是用了我的行為去規範我的行為而產生的矛盾，有點像上邊兩公式的第一個，用f函數去定義f函數。這種自返定義，如果不產生矛盾的話，那麼就產生無窮。就跟廟裡有個和尚講故事，講的是：「廟裡有個和尚講故事，講的是：「廟裡……」」」」」」……為了方便不會計算機語言的讀者，我們先大至介紹計算機語言中的數據型定義。例如，自然數 A；實數 B；就是告訴計算機變數A可以取自然數{1,2,3,……};變數B可以是實數{0.1, 3.14,等等}。面向對象的數據型就是一個事物，如可以定義「人」的數據型為數據型 人 {實數 體重，身高；數據型 學歷 {小學，中學，大學，研究生}}人 張三，李四，王五，胡六；這樣，我們就定義了張三，李四，王五，胡六這四個變數的數據型為人。對這些變數可以這樣賦值。張三·體重＝67；張三·學歷＝大學；張三·身＝1.7。好了，讓我們看一個可以無限迭代的類似數學歸納法的數據結構。數據型 人{人 兒子;}人 張三，李四，王五，胡六，孔子，孔德成；注意，這個數據又一個性質叫作「兒子」，「兒子」的數據型也是「人」。這樣，我們就可以有如下的表達：張三·兒子＝李四；李四·兒子＝王五；或者張三·兒子·兒子＝王五；王五·兒子＝胡六，或者張三·兒子·兒子·兒子＝胡六。孔子·兒子·……·兒子＝孔德成（孔德成是孔子第77代，所以中間一共有76個「·兒子」）。如果孔子後代無限繁衍下去，我們這個數據型一樣可以用。好，回到易經的太極陰陽。【周易·繫辭下】記載【2】：「古者包犧氏之王天下也，仰則觀象於天，俯則觀法於地，觀鳥獸之文與地之宜，近取諸身，遠取諸物，於是始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情。」這段話說包犧氏觀察和思考這個世界，發明了八卦。「以類萬物之情」說的就是宇宙的本體論，或者說要用八卦來描述宇宙。那麼，有限的八卦怎麼來描述無窮的世界呢？最好的方法就是迭代。【周易·繫辭上】【1】說：「 一陰一陽之謂道，繼之者善也，成之者性也。……是故《易》有大極，是生兩儀。兩儀生四象。四象生八卦。八卦定吉凶，吉凶生大業。」如果我們把這兩句話表示為面向對象的數據型的話，就可以寫為數據型 太極{太極 陰，陽；}這樣，我們就可以把八卦賦值給數據太極的第三級迭代：乾卦＝太極·陽·陽·陽；（乾三連）坤卦＝太極·陰·陰·陰；（坤六斷）震卦＝太極·陽·陰·陰；（震仰盂）艮卦＝太極·陰·陽·陽；（艮覆盆）離卦＝太極·陽·陰·陽；（離中虛）坎卦＝太極·陰·陽·陰；（坎中滿）兌卦＝太極·陽·陽·陰；（兌上缺）巽卦＝太極·陰·陽·陽；（巽下斷）這個整體論可以這樣描述，宇宙就是存在，稱為太極。這是零級近似。一級近似呢，就把宇宙的所有事物分為兩類，一類屬陽，一類屬陰，所謂「一陰一陽謂之道」。但是，這個陰陽的分法不唯一，量子力學中稱為表象變換。世界可以用不同的表象來表示，即同一個客觀事物，我們可以從不同的角度來完整描述它。【周易·繫辭上】【1】說：「天尊地卑，乾坤定矣。卑高以陳，貴賤位矣。動靜有常，剛柔斷矣。方以類聚，物以群分，吉凶生矣。在天成象，在地成形，變化見矣。是故剛柔相摩，八卦相盪，鼓之以雷霆，潤之以風雨；日月運行，一寒一暑。乾道成男，坤道成女。乾知大始，坤作成物」。這樣，我們有幾種表象，都是用太極數據型。太極 運動， 方位，稟性，過程；運動·陽＝動；運動·陰＝靜（動靜有常）；方位·陽＝天；方位·陰＝地（天尊地卑）；稟性·陽＝剛；稟性·陰＝柔（剛柔斷矣）。人·陽＝男；人·陰＝女。過程·陽＝開始；過程·陰＝完成（乾知大始，坤作成物）如果用太極數據型來表示周易六十四卦，而太極數據型是周易的本體論方法的話，那麼我們就有了對世界的六級近似表達。如果專業化的話，不必從太極近似到具體事物，而可以從某一結點開始做近似。學計算機的人知道，這個數據結構是一個二分樹，從任何一個結點長出來的樹都和根部長出的樹是同構的。比如中醫，把人體分陰陽，血屬陰，氣屬陽。氣運行的經絡又分陰經和陽經，等等，一般用到三級近似（八卦）就相當具體了，用到六級近似（六十四卦）就相當精確了。回憶我們上邊講的世界分為生物和非生物（一級近似），生物分為植物和動物（二級近似），動物分為脊椎動物和其它等等（三級近似）,到了五級近似，生物學就已經很細緻實用了。當然，生物學的這個分類到了三級近似以後就不是兩分了，而是多分了，所謂「一生二，二生三，三生萬物」。這幾個例子是從某一結點開始長個陰陽二分樹：太極 人，過程，天氣；人·陽＝男；人·陰＝女（乾道成男，坤道成女）。過程·陽＝開始；過程·陰＝完成（乾知大始，坤作成物）。天氣·陽＝暑；天氣·陰＝寒（一寒一暑）。【周易·說卦】【3】講到：「昔者聖人之作《易》也，將以順性命之理。是以立天之道曰陰與陽，立地之道曰柔與剛，立人之道曰仁與義。兼三才而兩之，故《易》六畫而成卦。」這句話翻譯成數據結構就是數據型 宇宙{太極 天，地，人；}即樹根分出天地人三枝，每枝都可以是一個無窮分叉的二分樹。所謂「兼三才而兩之，故《易》六畫而成卦」。

真有閑工夫.

很有見解，強烈支持繼續下去

易經數構（3）陰陽循環運動論