天天都在看日曆過日子，可你知道曆法中的數學嗎？

公曆中的閏法

我們現在使用的曆法為國際通用的公曆，又稱陽曆。公曆有平年和閏年之分，平年有365天，其中二月有28天，閏年366天，其中二月有29天。公曆中的閏法對閏年是這樣規定的「四年一閏，百年少一閏，四百年加一閏」。為什麼公曆中要安排複雜的閏法呢？

其實這是由地球圍繞太陽公轉決定的。我們知道，地球繞太陽公轉一圈的時間為365天5時48分46秒，而平年僅有365天，剩餘的5時48分46秒是二者之間的誤差，需要折算成天數，通過加閏的辦法，即在二月份加一天，就可將積累的誤差吸收掉。以天為單位，用分數的形式表現這個誤差為：

a＝5/24＋48/24×60＋46/24×60×60=10463/43200≈0.2421991。

從這個分數算式可以看出，在43200年中，需要安排10463個閏年，而消除誤差最好是均勻加閏，但卻不便操作和記憶。如果我們用連分數即可提供方便記憶的閏法。

運用輾轉相除法很容易得到誤差a的連分數表示式為：a＝10463/43200＝1/4＋1/7＋1/1＋1/3＋1/5＋1/64。

由連續式可以看出，第一個漸進分數a1=1/4=0.25，說明每隔四年就應該加一天，這就是所謂的「四年加一閏」。由於它是個近似值，而不是精確值，因此還需要修正。第三個漸進分數為a3＝1/4＋1/7＋1/1＝8/33≈0.2424242……說明每隔33年就需要加8天，每隔99年需加24天就比較與實際接近。因此100年（與99近似）中應加24天，而不是加25天。這就是「百年少一閏」。如果始終按每100年加24天，那麼43200年就應加432x24=10368（天）。

由a＝10463/43200可以知道，經過43200年，就應該加10463天，這就比實際少加了95天，所以，閏法又有了「四百年加一閏」的修正。但是，按照這種規定，就可以算出43200年共加了10463天，比實際又多增加了13天，這又意味著每隔3323年就又多加了一天。而這些還需做進一步的修正。

從以上的介紹可以看出，現在使用的曆法，其精確度是相當高的，但仍需要進行隨時修正，而這一切，均與數學密不可分。

農曆中的「十九年七閏」

中國從古代一直沿用的曆法為農曆，它是由月球繞地球公轉決定的。農曆中的一個月，稱為「朔望月」，約為29.5306天。由於地球繞太陽公轉一周需要365.2422天，因此在一個公曆年中應該設置「農曆月」的個數為：

365.2422/29.5306＝12＋10.8750/29.5306

從這個算式可以看出，如果每個農曆年均設有12個月，那麼就會產生a=10.8750/29.5306=0.3682621的誤差。要想把這種積累的誤差消除掉，就必須在農曆年份中增加一個月，這個月就是閏月，這個年就稱為閏年。那麼，怎樣增插閏月呢？這就需要先求出a的連分數表示式：

a＝1/2＋1/1＋1/2＋1/1＋1/1＋1/16＋1/1＋1/5＋1/2＋1/6＋1/2＋1/2

從上面的表示式可以看出，它的前六個逐次漸近分數依次為：a1＝1/2≈0.5，a2＝1/3≈0.3333333，a3＝3/8≈0.375，a4＝4/11≈0.3636364，a5＝7/19≈0.3684211，a6＝116/315≈0.368254。由此可得，a2＜a4＜a6＜a＜a5＜a3＜a1。這表明這些漸進分數是從左、右兩個方向向a的真值逼近的。

朔望月的形成

這些漸進分數所表達的實際意思是：2年1閏太多，3年1閏太少，8年3閏太多，11年4閏太少，19年7閏太多……但是其精確度卻在逐漸提高。如果採用315年116閏的話，其精確度肯定會更高些，但具體制定起來難度非常大，因此，既能比較精確，又能方便制定的閏法當然要數「19年7閏」了。

與公曆閏年不同的是，農曆中閏年的設置不像公曆那樣有簡單的規律。它的設置與一年中的二十四節氣緊密關聯，因而就會使得農曆年份中有的年份沒有立春，有的年份卻有兩個立春。事實上，我國的農民安排農耕農種，其依據是二十四節氣，因此二十四節氣才是真正的農曆。

二十四節氣

玄妙的七色表：

可查出任一天是星期幾

如果你想知道某一天是星期幾，辦法和途徑是很多的，比如，可以查電腦、手機、手錶、萬年曆等。還有一種途徑或許你不太熟悉，它就是《七色表》，通過它你可以快速查出任意一天是星期幾。那麼，《七色表》是什麼呢?

1.《七色表》的構造和使用方法

《七色表》共有五個欄目：「星期欄目」、「月份欄目」、「日期欄目」、「公元年份欄目」及由紅、橙、黃、綠、青、藍、紫七種顏色組成的「七色欄目」。

用《七色表》査找某一天是星期幾的方法非常簡單，舉一個例子來說，你要查出1970年6月3日是星期幾，首先你在「月份欄目」內找到6月份所在的橫行，在「日期欄目」內找到3日所在的豎列，在「七色欄目」內二者的交匯處為「橙色」，記住這個顏色；再在「公元年份欄目」內找到1970年，往左在「七色欄目」內1970年所在的行中查到「橙色」，它在上面「星期欄目」對應的是星期三。

2.《七色表》的由來

《七色表》雖然用起來很簡單，但它卻似乎非常「玄不可測」，那麼它是如何編製出來的呢？

我們知道，如果知道某年的1月1日是星期幾，那麼我們很容易算出這一年中任意一天的星期數，僅需正確算出這一天與1月1日之間相隔幾天就可以了。

公元X年的元旦是星期幾稱為「年代號」，用N表示，其取值集合就是｛0，1，2，3，4，5，6｝，其中的0表示星期日。我們需要找到一個能夠求出任意一年的年代號的公式。

假設公元1年的1月1日為星期一，即它的年代號為N1=1。根據這個假設推導出來的公式，去推算每個年的年代號，如果得出的年代號都是正確的，那麼這個假設自然就是正確的。

我們知道，平年有52個星期加1天，閏年有52個星期加2天，因此有：N1＝1，N2＝2，N3＝3，N4＝4，N5＝5，N6=0，N7＝1……意思是，假如X年為平年，那麼Nx+1＝NX＋1；假如X年是閏年，那麼Nx+1＝NX＋1。根據公曆「四年一閏，百年少一閏，四百年加一閏」的潤法，即可得到Nx＝x＋〔（x－1）/4〕－﹝（x－1）/100﹞＋﹝（x－1）/400﹞。

在這個公式中，中括弧內的數值均為其中分數的整數部分，這三個中括弧的計算結果，即為公元1年至X年之間共出現的閏年個數。我們不難求出21世紀下列各年的年代號：

如果想知道X年y月z日是星期幾，就要先求出年代號Nx。再算出從1月1日到y月z日的前一天總共有多少天，用h表示（y月z日這一天除外），在前y-1月中，它就是大月的月數乘以31（或乘以3），小月的月數乘以30（或乘以2），與2月份的28天或29天（或加上0或1）相加，再與z－1相加，最後用S＝Nx＋h除以7，得到的餘數即為所要求取得星期數。

如果你認為計算總天數太複雜，那麼可用「月代號法」。我們知道，如果知道一個月的1日是星期幾，我們就不難推算出這一月的任意一天是星期幾，因此這一年中你只要知道每個月的1日是星期幾，就能推算出這一年的任意一天是星期幾。這一年中的12個月代號數字，就構成了這一年的「月代號數列」，這種數列具有顯著的規律性，是根據公曆的大小月和閏法來確定的。下圖表示的就是2010年到2014年的「月代號數列」，其中有12個粗體數字，表示的是比上年對應的同月數字多2，其他部分均多1。根據這種「月代號數列」，就可製造出《七色表》。

需要特別注意的是，公元前45年至1582年10月4日，使用的是儒略曆。而現在通用的格里曆，是從1582年10月15日開始的，這中間有10天是跳過來的。因此，運用《七色表》查找星期的方法僅適用于格里歷。

來源：科學原理一點通微平台

編輯：山寺小沙彌

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