易學數論

1、 大衍之數五十其用四十九，分而為二以象兩掛一以象三，揲之以四以象四時，歸奇於扐以象閏，五歲再閏，故再扐而後掛。天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十，天數五地數五，五位相得而各有所合，天數二十五地數三十，凡天地之數五十有五，此之所以成變化而行鬼神也。乾之策216，坤之策144，凡360當期之日，二篇之策11520，當萬物之數也。2、 天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十。天數五，地數五，五位相得而各有合。天數二十五，地數三十，凡天地之數五十有五，此所以成變化而行鬼神也。附一：易經數理英國思想家羅素曾確定哲學（包括邏輯學）最根本的目標是採用最簡單的表達方式，把人類知識上的虛榮和矯飾減少到最低限度，再建立邏輯與數學的聯繫，然後是分析假設從語言可以推論它所描述的世界。他讚歎道：「數學也是一種美，她雖然沒有繪畫或音樂的華麗裝飾，但她可純凈到崇高的地步，能夠達到只有偉大的藝術才能顯示的那種完美的境地。」數學研究宇宙的對稱美，訓練我們的思維的縝密性。中國的《易經》是最早系統研究數理的不朽著作。數字是一種自然符號系統，傳載著宇宙的全息信息。她用最簡單的數字元號系統就概括了宇宙的複雜性，使人類徹底更新了自己的生存手段與生存能力。美籍華裔數學家丘成桐就是運用微分幾何學的方法破解了署名的「卡拉比猜想」，證明了著名數學家卡拉比提出的高維空間曲率的一個猜想，而獲得1993年諾貝爾數學獎。包括多維次空間存在的證明和多變函數與廣義相對論方面的兩個猜想的破解，都被丘成桐用微分幾何學徹底解決了，這就是數學的偉大。中國的傳統數理和科技研究幾乎一直由道家擔負。道家的學說，從內容到形式無不體現著對數理的認識，煉丹術，五行說，天文，堪輿，醫卜星相，不一而足。自然科學偏重研究物質的「相」。例如現代金屬材料科學中的金相學就是一個典型。相是看得見、摸得著的物質的結構和表徵。而支持著這個相的是什麼呢？是什麼讓我們人類有如此的生命力呢？答案是：數的變化，是數在支配著相。再深入下去，又是誰在製造和控制數呢？是理。理是某種規律性的東西，是某種無形的力量，是宇宙本體的表現，也就是道。《易經》建立的方法論模型就是理數相三層模式，用計算機為例證來說明最好理解。文字處理、圖象、音樂這些功能都是計算機具體的相用，而支持計算機這些相用的又是什麼呢？還是程序語言裡面編排的數字程序，是二進位數字的加加減減。而操縱這些數字加減的是理。軟體工程師按照計算機的理路設計某種程序，程序員則根據設計將數字固化到軟體中去，變成計算機的操作指令系統，這是一個由理到數再到相的完整過程。《易經》中提出了多種不同的數理邏輯系統，其中當然包括大家熟知的十進位和二進位。研究宇宙運動的規律要用二進位，就是陰陽之數的數理邏輯系統。《易經》中卦爻卦象的演算所用的主要就是二進位系統，這是宇宙的奧秘。在西方，萊布尼茲是微積分和二進位數學的創始人，也是計算機科學的先驅。研究萊布尼茲的專家、英國人李約瑟博士根據大量史料追溯現代一系列的有影響和西方科學家的歐洲思想淵源，都通向萊布尼茲。萊布尼茲的思想又源於何處？李約瑟的深入研究結果表明：萊布尼茲自20歲起直至逝世為止，都是中國學術思想的愛好者與研究者，特別對《易經》圖象數理情有獨鍾。萊布尼茲有一個好朋友鮑威特，曾在中國耶酥會傳教，發現了《易經》並成為研究《易經》的專家。他把《易經》介紹給正在研究二進位系統的萊布尼茲，這一下一拍即合。1701年，鮑威特又將自己珍藏的兩個「易圖」贈送給了萊布尼茲，萊布尼茲旋即從六十四挂圖中驚奇的發現了63到0的二進位數學。1703年，萊布尼茲發表「談二進位算術」的論文，正式確認《易經》卦爻與二進位數學的同一性。此文後收於英國皇家科學院論文集中。我們知道，所謂二進位的數理結構中，只有1和0兩個數，0是個圓圈沒有數，卻代表了無限的數和無量的數，宇宙中到底有多少個數呢？只有一個數，就是1，永遠都是1，1加1就是2，加0就是10，過了10又是1，過了100又是1，沒有窮盡。道家學說認為：宇宙的開端就是「道生一」，道是無極，一是太極。宇宙大爆炸一開始，就是太極生兩儀（陰陽），二進位由是而生。二進位的原理就是「相對論」，有天就有地，有陽就有陰，有南就有北。此即老子所說的天地相生、長短相形、高下相傾、聲音相合，我們這個世界就是相對的世界。在相對的世界裡要找到絕對的東西是不可能的，除非你能超越相對、超越這個對立的物質世界。那是另外一個目前難以想像的話題。《易經》是研究天道的學問。其道貫穿於後世一切學問，包括自然科學與社會科學。易學中的說理工具就是數理邏輯體系，換言之，《易經》就是依靠數理以及數的變化來認知世界、破解難題和預測未來。先後天之卦象都是一數理變化中產生的，理生出數，再由數生出相。自然界的萬物都是具體的相（物相或事相），萬物均生乎數。文字處理、聲音、圖像等都是具體的電腦相用，而支持電腦產生相用的正是數，是一系列數字編排的控制程序。沒有數也就沒有相用。而數受控於理，即宇宙中某種規律性的東西。我們電腦的操作系統就是按照某種即定程序設計的。一種計算機程序語言，有它自己的理，理生數，數生相。天地之道亦然，即為自然之理，通過天地之數（程序系統）控制自然界一切物相。《易經》研究天地之數，即通過天地間既定的符號系統，從而解讀出其中表達的程序與信息，易學研究的根本目的就在於此。《易經》之數來自何方？來自河圖、洛書。河圖、洛書在中國傳統學術思想中屬於神秘文化，來源不詳，奇奧難懂，據說出現於伏義氏時代。伏義氏姓風，號太昊，曾見黃河一馬頭龍身之物，捲毛，有斑點與花紋。伏義氏頓受啟發，以結繩記事的長短線條搭配組合，畫出八卦符號，又據其花紋發明漁網，人類文明自此進入到漁獵時代。後人就神化為黃河出龍馬，背上有圖案，其名為「河圖」。大禹治水中，大為方案設計問題苦惱，忽見洛水之中一烏龜，背紋圈圈點點，大禹茅塞頓開，既獲治水大法，治理中國水患。神龜背紋圖案即為洛書，這在中國歷史上久傳不衰。河圖、洛書應是古老的天文地理圖，即以簡單的幾組數來揭示其深奧之理。二者之區別在於：河圖所示為先天之數，洛書所示為後天之數。《易經﹒系傳》載：「天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十。天數五，地數五，五位相得而各有合。天數二十五，地數三十，凡天地之數五十有五，此所以成變化而行鬼神也。」這是河圖之數，其中單數為陽、為天，有五個（一三五七九），其合數（和）是二十五；偶數為陰、為地，也有五個（二四六八十），其合數（和）是三十。這就是天數五、地數五，天地之數五十有五。五組數皆由一陰一陽組成，分列五方，一生一成，奇偶數之差皆為五（6-1；7-2；8-3；9-4；10-5）。為五即河圖的中心五點，中而不偏，動而能和，為天地之中心。五組數就生出無行（水火木金土），每一行又分陰陽。從一到十，是十進位的根本，也是天地宇宙生成的本數。水火木金土五行的出現就是：「天一生水，地六成之；地二生火，天七成之；天三生木，地八成之；地四生金，天九成之；天五生土，地十成之。」從方位上看：一六在北，二七居南，三八居東，四九居西，五十居中。一為元精屬水，為壬水；三為元性屬木，為甲木；五為元氣屬土，為戊土；七為元神屬火，為丙火；九為元精屬金，為庚金。是為天數所生陽五行，地數所生陰五行為之相對，二四六八十偶數而已，這就與命運講座中的陰五行與陽五行聯繫起來了。河圖既為先天之數，我們後天的一切數理，包括《易經》之數均源於河圖，其為數的加減之元。中國古代的算具有九種，都是根據河圖之數理設計而成。珠算即為其中之一，上檔一珠代表五，下檔四珠各代表一。加法是滿五加，即一下五去四；破五進十即一去九進一；減法是破五即一上四去五，退十減要補五即一退一還九。這看來複雜，其是簡單至極，均由生與成二個數的加減變化而來。由此可知，河圖是先天，是天道之理，以天地化合生成五行分在四方。洛書則以五行生剋制化而變為九宮，後天的一切變化都是由此而生，故洛書是後天，是地道之理。所謂九宮就是四方，四角加中央，一共九方位。具體到數就是「戴九履一，左三右七，二四與肩，六八為足，五在中央」。洛書以五居於中，取一二三四六七八九居於四周。其對角線三數之和與縱橫線三數之和均為十五。其中：一六生成水居於北與西北，二七生成火居於西和西南，三八生成木居於東和東北，四九生成金居於南和東南，五居於中土統乎四方。從對恃而言：一六之水生於四九之金，三八之木生於二九之火。這表明陽生於北，長於東，盛於南，消於西；陰生於西南，長於東南，極於東北，方於西北。《易經》的八卦方點陣圖，與現代地圖方位正好相反，即上南下北，左東右西。東方甲乙寅卯木，應正月、二月，居震宮。南方甲丁巳午火，應四月、五月，居離宮。西方庚辛申酉金，應七月、八月，居兌宮。北方壬癸亥子水，應十月、十一月，居坎宮。中央戊己辰戌丑未土，應三月、六月、九月、十二月，居中宮。中國屬土，居全球之中。中嶽嵩山為中國之中。嵩山之中在少林，少林之中在大雄寶殿釋迦牟尼佛的蓮花寶座之下，達摩老祖所以要在嵩山面壁九年絕非偶然。帝都北京的中心在紫禁城，紫禁城的中心在太和殿，太和殿的中心在皇帝的蟠龍寶座之下。京城呈對稱格局，四上四偶方位有廟堂八座，東南西北有四壇（天地日月），再加社稷壇。這個五壇八廟的格局，就是明成祖時姚廣孝依《易經》之理設計的。《尚書》：「人心惟危，道心惟危，惟精惟一，允執厥中。」是為教育之中心，為政之中心，中國文化之中心。允即誠信、公平，把握這兩點不動搖不放棄就是執中，就能天下太平。水平則不流，物平則不動，不動即正，就定了。以日照強度（陽）來看：一為冬至，三為春分，九為夏至，七為秋分。以月球引力（陰）來看：二為朔，四為上弦，八為滿月，六為下弦。河洛之數理自古運用於天文、曆法、算術、堪輿（地質）等各傳統科技領域，由此形成了道教的數術之學，從丹道兵法、醫卜星相，直至棋牌娛樂無所不及。綜上所述，我們可見《易經》數理的無窮魅力與應用價值於一斑。但這僅為《周易》，即請康熙年間御篡、內閣大學士李光地總裁、四十九名翰林進士參與撰注的《周易折中》所述部分。而夏之連山易、商之歸藏易，遠未可言及。《易經》是關於科學的哲學，她訓練出來的首先是數學家的頭腦，教給我們的是系統論的思想，看問題要敏銳，細緻，要做個有心人；觀察問題要有邏輯性，要全面；分析問題要有條理，有層次；處理問題要果決；因為一切都在變，解決問題的條件轉瞬即逝，必須當斷立斷；也要注意給自己留退路，因為變數太多，環境隨時都在變，只要有一個環節疏忽了，就可能造成被動。龍師伏羲氏觀龍馬之圖始作八卦，一橫為陽數之始，為法太極之道立於一；二橫為陰數之始，即《易經》的九六之數，陰陽交變而有萬物。天地宇宙都是相對而生，互存共榮。在天為陰與陽，在地為柔與剛，在人為女與男。《易經》潔凈精微，其中八卦的推演，其實就是解決一系列繁雜問題的方程式和方案而已，並不神秘，而這方程式和方案中時時處處凸顯出潔凈的一種數學美。附二：也談大衍數理也談大衍之數作者：彭業生　　校對：鄧興寧前言大衍之數一直被人們稱之是迷，單單「大衍之數五十其用四十九」一句，有的用五十去太極，有的用天地數減六爻，有的勾股弦，有的乾脆說「只用四十九」。各有解法不同，沒準繩。在此本人只是也談大衍之數。一、周易中大衍之數原文大衍之數五十其用四十九，分而為二以象兩掛一以象三，揲之以四以象四時，歸奇於扐以象閏，五歲再閏，故再扐而後掛。天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十，天數五地數五，五位相得而各有所合，天數二十五地數三十，凡天地之數五十有五，此之所以成變化而行鬼神也。乾之策216，坤之策144，凡360當期之日，二篇之策11520，當萬物之數也。是故四營而成易十有八變而成卦，八卦而小成，引而伸之，觸類而長之，天下之能事畢矣。……二、七數我們如果用最先進的儀器對物質進行可分性的觀測，物質的最後必然出現一個點（今是想像）這個點不能再分，如果再分則是無，無即是光也。那麼就從這一點稱為光點開始，可想它的任何值都是1，任何值都是1的物體必定是一個正園球體，那麼我們就從光點構成物質開始，我們用一些正園球珠來做個實驗，用周易中「易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦」的變化方式進行組合，見圖：圖1從實驗的主體圖可以見到，第一個園球它的外表能與十二個等園球體相連著，共有十三個等園球中，任一個等園球自己要具有十三個等園單位的獨立體，與原獨立體相互對立，形成八卦體，只需增加七個等園球就可以了。可見七數在物質結構中有著輕重的作用。三、七數與大衍數的關係已知： ＝0.142857142857……=0.285714285714……=0.428571428571……=0.571428571428……=0.714258714258……=0.857142857142……大衍之數五十，其用四十九：先看 的豎式運算，當商是5位數時，餘數是50，當商是6位數時其所用之數是49，餘數是1，儘管怎麼樣除下去都是一個個142857的數團，將這個數團按順序變換，可得：圖2分而為二以象兩：將0.142857乘之以二，0.142857×2=0.285714，這個數正是 ＝0.285714之數，可見象兩即是自然數之2。掛一以象三：將0.142857前面的1掛回數團的後面成為0.428571，這個數正是 =0.428571的數，所以象三即是自然數之3。揲之以四以象象四時：將0.142857乘之以四或疊加四次都得0.571428，這個數正是＝0.571824的數。所以象四時，即是自然數的4。歸奇於扐以象閏：將四時之數0.571824加上一個0.142857，即：0.571824＋0.142857=0.714285，這個數正是＝0.714285的數，象閏即是自然數之5。五歲再閏：將象閏之數即五歲再之數0.714285，再加上一個0.142857，即0.714285+0.142857=0.857142,這個數正是＝0.857142，所以再閏之數即是自然數之6。再扐而後掛：＝1　　　 ＝1.142857 　　 =1.285714 　　 =1.428571凡天地之數五十有五：天數（自然數的奇數）1+3+5+7+9=25地數（自然數的偶數）2+4+6+8+10=30天地數之和25+30=55四、成變化而行鬼神以天地之數55來衡量一個八卦自然場，那麼這個場的所有數都是55，如果以64卦384爻來分配天地之數，即55÷384，等於0.142857，再餘下一個0.142857，實際是55÷385=0.142857為完整之數。這樣以384爻來衡量天地數55，多了一個0.142857，怎麼辦？在周易中乾和坤這兩卦分別加上用九用六各一爻，其實二者合起來才一爻，這一爻可以說是這個場的核心所在。如此算來可以肯定了64卦384爻對比天地之數55的平均爻值是0.142857，之所以能成變化而行鬼神，也就是確定了每爻的平均爻值。可想而知，對任何事物的判斷和權衡，沒有一個標準的數值是無法進行的，所以有了數值，各卦爻的吉凶悔亡吝咎等現象的判斷就有了依據。也就是是鬼是神由此而可分辨出來，故0.142857是大衍之數之始數。五、用六用九我們知道八卦到64卦的卦象（即符號）是沒有任何數表示的，如果要確定64卦這個自然場任一方面的值，就必須配之以數。洛書數陣是天地數最完整無缺的一個數陣，將它配上八卦，便 是八卦數陣。見圖將上圖數陣分成陰陽兩邊，即1、6、7、2為坤陰一邊，8、3、4、9為乾陽一邊，各自相加：陰1＋6＋7＋2＝16陽8＋3＋4＋9＝24這樣看來16對24，兩邊很不平衡，但這個陣是實實在在的平衡統一的自然場。圖3如果：16÷6＝2.6666……24÷9＝2.6666……所以6和9是這個場陰陽各自的平衡軸，因此，周易中以陰爻用6，陽爻用九來表達各卦中陰陽爻的一種方式。六、六爻64卦是一個園被六次等分出現的64個等份，用符號表示64卦每卦是六畫，即六爻，亦是周易64卦的範圍是在一個園被六次等分之內，三次等分的八卦符號已經重複出現，三畫卦亦被稱為八經卦或父母卦。如果再將一個園等分下去，出現的父母卦將不再是三畫卦，到時卦的爻畫亦不止六爻，因推算範圍而定，如「焦氏易林」以十二爻4096卦論。西漢楊雄以四爻分中、周、養論。但一個正園的半徑是該園內切線的六份之一，所以六爻是可以表示一個園內各等份的關係，用引而伸之，觸類而長之就可以了。七、乾之策216，坤之策144，凡360，當期之日。二篇之策11520以陰用6，陽用9，一個園的三次等分的八卦，所出現的象數結構是（下起初爻）－27 - -18 － 27 - -18 － 27 - -18 － 27 - -18－18 － 18 - -12 - -12 － 18 － 18 - -12 - -12－９ － ９ － ９　－ ９ - - 6 - - 6 - - 6 - - 6乾　 　兌　　離　　　震　　巽　 　坎　　艮　　坤以上八卦的陰陽爻各自總數是：乾陽　9+18+27+9+18+9+27+9+18+27+18+27= 216坤陰　18+12+12+18+6+6+18+6+12+6+12+18= 144所以用八卦作為父母卦，以用六用九方式，乾是216，坤是144。以360為一個完整的統一場，64卦的陰陽二篇就有32個場，這樣32×360=11520因此64卦的統一場就有11520策，是萬物之數也。依理而推：天地數55÷385=0.142857（實384爻，多一爻以用六用九說明之）64卦384爻的實際值：384×0.142857=54.857142如果54.857142÷11520=0.0047619總之，在天地數55的範圍內，大衍數可推出384爻的平均爻值是0.142857，11520策的平均策值是0.0047619。八、大衍數應用周易中卦的爻用數的表示陽爻用９，陰爻用６，自下而表示的。如乾上九 9×6 = 54九五 9×5 = 45九四 9×4 = 36九三 9×3 = 27九二 9×2 = 18初九 9×1 =　9坤上六 6×6 = 36六五 6×5 = 30六四 6×4 = 24六三 6×3 = 18六二 6×2 = 12初六 6×1 =　6189126以陰爻用6，陽爻用9的計算方法，可得乾189，坤126，二者相加為315。以360為一個完整的統一場，64卦可有32個場，對立兩卦必須是360，才能到達11520這個萬物之數。乾189對比216差27，坤126對比144差18，為了避免這種誤差，則應用到大衍之數，如：189×0.142857=26.999973126×0.142857=17.999982因為在推算大衍數時，取值是0.142857，其小數點後六位數之後的尾數捨去不用，所以189×0.142857的實際值是27，126×0.142857的實際值是18，這樣再加上原來的基數，乾189＋27=216，坤126+18=144，如此辦法，它的實際值就可以正確地表示出來了。實質上大衍之數是用六用九計演算法的一種補充數。如：乾上九 54+54×0.142857九五 45+45×0.142857九四 36+36×0.142857九三 27+27×0.142857九二 18+18×0.142857初九 　9+9×0.142857坤上六 36+36×0.142857六五 30+30×0.142857六四 24+24×0.142857六三 18+18×0.142857六二 12+12×0.142857初六 　6+6×0.142857189+27 = 216126+18 = 144以上乾坤　兩卦的實際值是乾216，坤144，但在數的運算中所得的數值，並不表達出卦實際值，大衍數的最小值亦不能顯示，如：乾 坤上九 ＝61.714278九五 ＝51.428565九四 ＝41.142852九三 ＝30.857139九二 ＝20.571426初九 ＝10.285713乾 坤上六 ＝41.142852六五 ＝34.285710六四 ＝ 27.428568六三 ＝20.571426六二 ＝13.714284初六 ＝6.857142215.999973143.999982上式的數算值與實際值對比，乾差：0.000027，坤差：0.000018，這種與實際誤差的原因上已說明，為了使這種誤差降到最小最小，周易大衍數中又增加了幾項：分而為二以象兩 =0.285714，掛一以象三 =0.428571，揲之以四以象四時 =0.571428，歸奇於扐以象閏， =0.714285，五歲再閏， =0.857142，再看：乾上九九五九四九三九二初九數算值61.71427851.42856541.14285230.85713920.57142610.285713大衍值61.71428551.42857141.14285730.85714220.57142810.285714坤上六六五六四六三六二初六數算值41.14285234.28571027.42856820.57142613.7142846.857142大衍值41.14285734.28571427.42857120.57142813.7142856.857142215.999973215.999997143.999982143.999997從上兩例看出，數算值小數點後四位數象那一項大衍數的頭四位數，就可直接寫上那一項大衍數的數團，這樣就可以使數算值與實際值的誤差大大減小，這就是大衍數的精華所在，是一種智能現象。下面是64卦384爻各卦爻的實際值，例：夬卦上六 41.142857九五 51.428571九四 41.142857九三 30.857142九二 20.571428初九 10.285714剝卦上九 61.714285六五 34.285714六四 27.428571六三 20.571428六二 13.714285初六 6.857142195.428571164.571428對立兩卦相加：195.428571＋164.571428＝359.999999大有卦上九 61.714285六五 34.285714九四 41.142857九三 30.857142九二 20.571428初九 10.285714比卦上六 41.142857九五 51.428571六四 27.428571六三 20.571428六二 13.714285初六 6.857142198.857142161.142857對立兩卦相加：198.857142＋161.142857＝359.999999依理而推，64卦384爻，各卦　爻的值就可以計算出來了。推導一個園四正十字線每條線兩邊的差值相等地無限小，就應用了大衍之數。
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