一位數學家的自我修養

在那個科學的春天，陳景潤的出現適逢其時。1977年10月，新華社首次對陳景潤在1973年完成的對哥德巴赫猜想１+２的證明進行報道；1978年2月17日，《人民日報》發表徐遲的報告文學《哥德巴赫猜想》，全國傳唱。

而王元一直是華羅庚的學生，陳景潤的同事。並在1956年證明了3+4、3+3、2+3；另一位數學家潘承洞在1962年又將之推進一步，證明了1+5和1+4。但這些不懈的努力的光芒則在報告文學《哥德巴赫猜想》發表後，都被忽略了。

突然讀到王元的故事，是因為最近關於「1+1」還是「1X1」的熱議。本文來自於《中華讀書報》2008年的一篇報道。我對小標題做了改動。

如果你已讀過，不妨再讀一遍。

（原標題）

王元：一個數學家的榮辱觀

文/楊虛傑

來源/《中華讀書報》　

時間/2008-07-23

「人們對數學家有某些怪異的看法，例如有人列出了當數學家的如下理由：從樓上砸下一個西瓜，會有九個經理被砸著，而一個數學家都不會有；當利息或稅率調整時，數學家是算得最清楚的一個；數學這個職業是投資回報率最高的職業之一，因為它的投入只有一支筆加幾張紙；數學家永遠不會像發明家那樣被專利困擾，他不怕有假冒偽劣產品出現；當數學家犯了常識性錯誤時（比如走路撞牆、洗衣服用味精），人們給予的往往是表揚而不是批評……」，

這是張九慶所著《自牛頓以來的科學家》的一段話，當他說明他為什麼將數學家作為單獨一章來介紹時，他認為「在一般人看來，數學家是比科學家更加令人難以琢磨的一個群體」。

無疑，發表於30年前的徐遲的那篇著名的報告文學《哥德巴赫猜想》，加深了人們對數學家的這種認識。時過境遷，當我們今天走近中國哥德巴赫猜想研究重要當事人之一，為哥德巴赫猜想證明做出重要工作的中國科學院院士、數學家王元先生時幾乎顛覆了我們心目中既有的數學家的印象。他說，「數學家不怪才正常」。

數學王國的故事與現實總是格格不入，因為演繹著很多神童與天才的故事；數學王國又有著江湖征途的色彩，英雄們用孤獨與決絕智慧進行著一個人的戰鬥。它離我們那麼近，每個人都從小時習之並享受著他的成果；它離我們又那麼遠，當代純粹數學的最前沿研究全世界沒有幾個人看得懂。

王元院士，50多年前由著名數學家華羅庚先生引領開始解析數論研究，並以證明哥德巴赫猜想中的「2+3」奠定了中國研究的基礎。也成為王元先生自己數學研究的起點。半個多世紀過去了，老師華先生已經做古，因哥德巴赫猜想而共同榮獲國家自然科學一等獎的兩位同仁陳景潤與潘承洞先生也已告別。漫漫征程，今天，令人激情澎湃的數論研究還在吸引著王元。只不過，他不再廝殺，而是指點後生如何欣賞它的精妙。

在最新（2008）出版的德國期刊《數學評論》中，在列舉了王元先生50年代、六七十年代以及80年代等每個階段有意義的工作後，寫到：王元先生是現代中國在數學發展中有影響力的重要人士。並評價王元先生的部分論文有重大的特殊的貢獻。王元先生在給記者的留言中寫到，此評價與我生前的榮辱無關。還記得，王元先生在《華羅庚》一書的最後曾經寫過這樣一段話：「對於一個百年之後的數學家，人們只需要知道他數學的貢獻是什麼，不會再有人管他的出身、愛好、經歷與榮辱了。除了學問外，一切的一切都是無足輕重的。」

這，真有數學江湖的悲壯意味。

高考時他並沒有考上一所最好的學校

如果以現在的教育觀點看，王元先生至少在上大學之前還是個平平的學生。他於1930年出生，上小學的時候正趕上兵荒馬亂的日本侵華戰爭，在逃難中讀了並不完整的小學，初中時考上了較好的四川的國立第二中學，表現仍舊沒有可圈可點之處。高中一年級時抗戰勝利，王元回到南京，這個五光十色的城市一下子吸引了這個十五六歲的少年。「高中兩年光顧著玩了」，王元先生說，所以，高考時他並沒有考上一所最好的學校。

1948年，王元在浙江英士大學數學系讀了一年書後，該校併入浙江大學。這時，家人都離開南京去了台灣，也許是世事變化，使他一下長大了，而浙大的氛圍卻喚醒了他內心沉睡著的對數學的興趣，從此他開始認真學習。很快他發現浙大數學教學的特點―――考試絕不僅局限書本和筆記的內容。發現這個竅門後他自學教材，不僅成績上來了而且培養了自學的能力，為他今後在數學領域不斷攀登做了準備。

有報道說，「浙大是我國老一輩數學家陳建功、蘇步青多年執教的地方，數學教育卓有傳統。二位教授自30年代起就堅持辦高年級學生讀書討論班，對於培養學生獨立科學研究的能力極有幫助。浙大的教學環境激發了王元對數學真正的興趣。大學四年級時他在讀書討論班上報告了A?E?英哈姆的《素數分布論》。」

1952年，王元大學畢業了，被分配到中國科學院新成立的數學研究所，在這裡他遇到華羅庚，並成為他數學生涯中重要的轉折。當時，華羅庚建立的數學所成立了微分方程與數論兩個組，華先生在數論方面成績卓著，有優先發展的考慮。與王元先生同期分配來的有4個人。華先生則採用美國「Inter鄄view」的方式來考他們。一天，在華先生主講的「數論導引」討論班上，他給出一道題的一般證明，並給出了上界，讓他們幾個回去以後給出下界報告，一個星期以後交卷。

王元說，這種美國式考試很不簡單，他印象中只有兩個人交了卷。他是花了3天時間完成的，並且比華先生的上界證明方法更簡便。幾天以後，華羅庚要王元到他的數論組去。王元說，與華先生做數論並不是他的初衷，在上大學時，他對數論有些許了解，他最想做的是泛函方程。考慮幾天之後又加上其他老師的勸說，他才同意去做數論研究。

多少年以後，王元與潘承洞等人創建了中國的數論學派。回顧跟隨華先生共同經歷30多年的風雨歷程，他說，「現在看來，當時我做了一個正確和幸運的選擇。」

後來的經歷雖然眾所周知，但是也有鮮為人知的一面。下面是王元先生的自述：

當時（1952年）我是一個22歲的青年，研究這樣難的問題，能行嗎？弄不出成果怎麼辦？但強烈的愛國心使我把個人得失放在一邊，毅然地向這一難題進攻了。從1920年以來的有關文獻，不管是英文，俄文，德文，義大利文，能找到的，我都查了出來。然後，認真分析其中的思路及可能存在的欠缺之處。義大利文我不懂，就從數學式子去猜測文字的含義。為了工作，我忘了星期天。累了，就伏在桌子上休息一下，有時工作到東方發白才去休息。記得有幾次，一直工作到病倒了，才強迫自己休息幾天。

就這樣，一連苦幹了兩年，但是什麼成果也沒有取得。我動搖了，自卑了，懷疑自己沒有研究哥德巴赫猜想的天分，還不如做點力所能及的工作。正在這時，我偶然用篩法取得了一些別的成果，並獲得好評。於是，我放棄了對哥德巴赫猜想問題的研究。這時，華羅庚先生嚴肅地批評了我：「你要有速度，還要有加速度。」所謂速度，就是要出成果，加速度就是成果的質量要不斷提高。「你不要再做這些小問題了，你要堅持搞哥德巴赫猜想。」

我為自己的動搖而慚愧，決心重新振作精神幹下去。終於在1955年證明了「3+4」，這就第一次打破了布赫夕塔布在1940年的記錄「4+4」。以後，我把我用的方法加以改進，證明了更強的「3+3」與「2+3」。

1957年，王元先生髮表論文的時候僅27歲，作為當時新中國成立以後的重要科學成果，《中國青年報》做了整版的報道。1960年，王元先生看到新出版的原蘇聯數學家布赫夕塔布寫的教科書《數論》第358頁上寫道：

「王元在1958年成功地證明了定理347。每一個充分大的偶數2N都可以表成n+n』，其中n的素因子個數不超過2,而n』的素因子個數不超過3（即「2+3」）。」

他，激動得熱淚盈眶，浮想聯翩。「總算為國家做出了一點貢獻」。

我們看過太多數學界天才的故事：高斯、彭加勒等等，那麼王元怎麼看待數學研究的天賦問題呢？華羅庚是天才么？陳景潤是天才么？他自己是天才么？王元先生答曰，天才不是自封的，而是有公論的。他認為自己絕不是天才，而陳景潤對哥德巴赫猜想1+2的證明曾被稱為「天才的證明」，而華先生，「在正式出版物中沒有表述他是天才的印象。」烏拉姆曾經說：數學上的天才和智者很難定量地確定……很大程度上不僅僅取決於腦。肯定有我所稱的「內分泌因素」或品格特徵，或者有些人叫做「激情」的東西。

所以，在這種激情下面任何辛勤和艱苦都是一種享受吧。

做科學是極端殘酷的，80%的人一輩子默默無聞

很多人談到過數學這個學科與其他自然科學的研究方法的不同：數學和其他自然科學的研究方法也不一樣。數學是在某種公理基礎上進行邏輯推理的學科。自然科學，像物理、化學、生物等，通過一系列的實驗，進而歸納得出結論。而數學研究還有兩個特性：一是很少團體工作，雖然「數學的交流很頻繁，很重要，這種交流包括面對面地交流和看別人的東西」，但是在具體問題的解決過程中，一定更多依賴個人的智力和思考，二是像純粹數學研究都是數學家們在很年輕的時候作出的成果，那麼，在未來的漫長歲月里，不能再出成果的可能會像陰影一樣籠罩著這些數學家。

王元在解析數論研究獲得成就後，50年代後期與華羅庚合作開始研究數論在多重積分近似計算方面的應用，1973年證明了用分圓域的獨立單位系構造高維單位立方體的一致分布點貫的一般定理，此方法在理論上和實用上都獲得了很大成功，被國際學術界譽為「華-王方法」；同時於1981年出版了英譯本《數論在近似分析中的應用》專著，對此領域的工作作了系統總結，產生了廣泛的國際影響。1980年以後開拓了代數數域上的堆壘數論的新的探索領域（此系涉及解析代數數論中極為困難和基礎性問題的精深領域），同時證明當代數數域K為全虛域時定理對偶數次型仍成立；此後又在代數數域上型（即齊次多項式）的丟番圖不等式組的研究等方面做出了先進的工作，並將這一領域的工作總結成專著《代數數域上的丟番圖方程與不等式》。用英文在國外出版。

談到另闢新的學科，王元先生說道：

　　1958年，我們注意到蘇聯科學院1957年工作總結中提到數論在多重積分的近似計算中的應用。華羅庚先生提出了用代數數論來研究多重積分的近似計算。這一問題有重要的理論與實際意義。他要我跟他一起去嘗試。

對華羅庚先生來說，開闢一個新的研究方向是經常的，他總是不滿足現有的理論和方法，總有很多超前的高瞻遠矚的思想。但對我來說，則意味著過去熟悉的知識和經驗基本上都用不上了，許多東西要從頭學起，一切都要另起爐灶了。當時，我連最簡單的連分數也不掌握，如何當好他的助手呢？

怎麼辦？是沿著已經熟悉的老路走，還是趁自己年輕的時候，另闢新路，在另一個領域也做出貢獻呢？我毅然選擇了後面這條更為艱難曲折的道路。這個課題，除需要很多數學知識外，還需要電子計算機。不懂，就從頭一點點地學，一點點地將問題的研究逐步深入下去。當時計算機還很少，我們就盡量用筆算。完全不能用筆算時，才用計算機算。

這就是他們後來做出成就的「華―王方法」。

王元先生說，做科學是極端殘酷的，80%的人一輩子默默無聞沒有做出來。其中很多人都要經歷一個漫長的「苦悶關」，做出來就好了，做不出來時人會有要瘋掉的感受。做完哥德巴赫猜想「2+3」的證明後，王元很清晰地意識到沒有大的方法上的突破，在這一問題上很難再有進展，於是，他想好了退路：這個成果夠我「用」五年時間的，五年以後，我做不出來，就去大學教書了，哪怕是一所外地的三流大學。

1980年，王元先生當選為年輕的中國科學院院士，那一年他50歲，也許，對於其他學科的科學家來說，這個年齡還可以有很多突破，但是王元深知，他必須有所選擇地分配自己的時間，他認為再發那些無聊的論文和文章已經不合算。所以，他開始通過數學研究，進一步關注到數學的本質，數學和數學家在教育、社會和人類發展中的影響，將數學這門科學通俗解析，讓大眾感受數學中的樂趣。他將關於這方面的思考部分彙集在論文集《王元論哥德巴赫猜想》、《華羅庚》傳記、《王元文集》和《華羅庚的數學生涯》等書中。《華羅庚》可以說是王元科普創作的代表作，他花費八、九年，寫了這本數學家的傳記。一位著名的數學家來寫另一位著名數學家的傳記，這在國內外是不多見的。

但是，就是到現在王元先生依舊保持著對數學研究的關注，而且是對最前沿領域的關注，這裡不得不講講2006年獲得菲爾茨獎的數學家澳大利亞籍的華人陶哲軒的故事和45歲的華人數學家、哥倫比亞大學教授張壽武的故事。

原來，早在陶哲軒獲獎之前，在兩次中國數學界的集會上，王元都講到陶哲軒有一篇很好的、可能得到菲爾茨獎的論文。他告訴大家這篇論文引用了陳景潤的論文，可以認為中國與世界上最重要、最尖端的成就有關係，這是真正非常重要的。可惜，他的話當時未引起多大的關注，待陶哲軒真的獲獎後，大家才驚訝於王元先生的「先知先覺」，原來早在1年多前，王元就注意到了貼在網站上的陶哲軒的這篇文章，「我根本想不到還能證明這個偉大的問題」，王元說，並不止一次地鼓勵優秀的年輕人去讀這篇文章。他說，「無論如何，陶今天已經是一個明星了，在國內大家都知道他獲得了菲爾茨獎，但絕大多數人包括數論學家在內，極少有人知道他的這項偉大證明究竟講的是什麼，以及這項工作與中國數學家的關係。」

去年，美國哥倫比亞大學數學家張壽武教授應邀在中國科學院晨興數學中心作了首場「丘鎮英學術講座」。對於張壽武來說，這裡並不陌生，20多年前，他作為王元先生的碩士生從這裡畢業，遠赴美國讀博士學位，現在已經是國際數學界炙手可熱的人物，是下一代的領袖數學家。可是，他每次報告後都要感謝王元先生，原來，王元老師做他的導師時，並沒有要求他跟著老師的方向做，而是告訴他該怎樣做研究，讓他自己搞。王元說，「跟著我搞可能就沒出息了」。「其實後來他是我的老師，我不願意吃老本，希望知道很多新的東西，所以，我後來總是向他請教。」

王元先生說，「我到現在仍然有憂患意識」，就是做了心臟手術以後，依然沒有停下對數學前沿的關注，這使得他現在還能夠與學生們一起探討費馬大定理，一起討論世界上最好的數學是什麼樣的。「如果這些都不懂了，名氣再大，一錢不值，今天的數學家就沒有什麼必要與你再來往了」。

數學的評價標準和藝術一樣，主要是美學標準

很多人都對王元有這樣的疑問：為什麼王元有這麼大的成就，但在國內的名氣卻沒有那麼大，是不是因為他的老師是華羅庚，他的同事是陳景潤，他們的光環遮住了王元？

1978年２月17日，《人民日報》發表徐遲的報告文學：《哥德巴赫猜想》

王元卻不這樣想，在後來的日子裡，王元先生作為見證人在任何場合都不遺餘力地講述華先生的偉大和陳景潤的貢獻。在接受記者採訪時他說：「（陶哲軒）他們的論文中引用了陳景潤的文章，這表明認為中國與世界上最重要、最尖端的成就有關係是有真憑實據的。」「陶哲軒是最好的數學家之一，這個全世界都知道，他的論文中引用了陳景潤40年前所做的工作。陳景潤偉大在什麼地方呢？這麼偉大的工作都引用了他的文章，怎麼不重要？這可比徐遲的《哥德巴赫猜想》不知要重要多少倍。」

這就是王元先生。絲毫沒有公眾心目中數學家的「怪」，王元曾經翻譯過一本寫數學家愛多士的傳記《我的大腦敞開了》，被稱為數學怪才的愛多士在王元看來也不怪，而且頗近人情。「那一年他來北京的時候，要去家裡看望中國的數學家柯召先生，得知柯先生有一個孫女時，就請我代買了一塊巧克力糖，然後又自己送去」，王元說，「陳景潤的怪與當時的政治氣候有關，現在不是怪的人越來越少了么？數學家不怪才是正常的。」

的確，就像我們經常被某些外在的東西迷惑一樣，我們怎麼也看不出王元先生年輕時的一個愛好，就是1945年在南京讀高中的兩年間看了大量的經典電影：《翠堤春曉》、《戰地鐘聲》和《王子復仇記》等。同時，王元非常喜歡閱讀文學作品，看了大量屠格涅夫和契訶夫等人的東西。他非常看重這段經歷的寶貴，「它們的力量很大，一個人搞科學研究特別是搞數學，你怎麼知道什麼是好的什麼是壞的，對好的數學的判斷都是從這個地方得來的」。王元曾有關於數學的美的論述：「數學的評價標準和藝術一樣，主要是美學標準。美學標準對物理科學也很重要，但對數學，它是第一標準。」

據說，王元先生從小愛好廣泛，無論音樂書法繪畫都有興趣，後來為了搞數學，「把他們像戒煙一樣戒掉了」。65歲那年，他開始撿起書法這一放了很多年的愛好。以數學家的風範學習任何東西大概都不難吧，現在，王元先生的書法已成氣候，據說某機構曾經為他的作品定價，以「不賣字」為原則的王元先生已經給很多學校的數學院題寫牌匾。

王元先生說，是不是一個真正的科學家並不是看你是不是一個院士，懂一點數學史的人都知道，在數學界評價一個人，是根據你的工作做出的，你生前有再多的桂冠，死後可能人家早就忘掉了，而不到27歲就病逝的挪威天才數學家阿貝爾，在他死後依然在數學界有崇高位置。不要在乎眼前的榮譽，關鍵是你做了什麼。