[原創]意譯法

意譯法——解題的重要方法

撰文/大罕

雖然直譯法是數學解題中最直接的最基本的方法，但它並不能「包打天下」.意譯法，也稱為轉化法或化歸法，它指將題設的條件或結論加以轉化從而獲解.這是一種間接的方法，迂迴包抄，起伏跌宕，出奇制勝，也是一種常用的重要的方法.

轉化可以從各種方向考慮，為達目的而不擇手段.

一、從幾何方向考慮，有圖像法：轉化為幾何意義，利用圖形的直觀性.

例1如果2x+5y≥1，求函數f(x,y)=x²+y²+4x-2y的最小值.

分析:不等式2x+5y≥1的幾何意義是平面直角坐標系中位於直線2x+5y=1右上方的半平面區域（包含邊界），

f(x,y)=(x+2)²+(y-1)²表示此區域內的點(x,y)到定點(-2,1)的距離，

要求函數f(x,y)的最小值，就是要求定點(-2,1)到邊界直線2x+5y=1的距離.

二、從代數方向考慮，有變換命題法:通過轉變視角，使問題清沏見底.

例2已知函數y=lg(1+2^x+a.4^x)/7在(-∞,1]上有意義，求a的範圍.

分析：將問題轉化為1+2^x+a.4^x>0在(-∞,1]上恆成立，即a>-[(1/2)^x+(1/4)^x]對(-∞,1]恆成立，

此式的右邊視是關於x的函數，可設g(x)= -[(1/2)^x+(1/4)^x]，

問題又轉化為求函數g(x)的最大值，a只需大於g(x)的最大值即可，

而g(x)在(-∞,1]上是增函數，所以g(x)_max= g(1)=-3/4

∴ a>-3/4為所求.

例3 對於任意的a∈[-1,1]，函數f(x)=x²+(a-4)x+4-2a恆大於零，求x的範圍.

分析：本題已知參變數a的範圍，求自變數x的範圍，一反常態，令人頗為棘手.不妨反客為主，將函數以a為線索重新整理，有f(x)=x²+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+(x²-4x+4),

即g(a)= (x-2)a+(x²-4x+4) a[-1，1],

函數g(a)（a∈[-1,1]）表示一條線段，

要求g(a)在區間[-1,1]恆大於0，只需g(-1)>0,g(1)>0,

∴ (x-2)(-1)+( x²-4x+4))>0, 且(x-2)+(x²-4x+4))>0,

∴解得x<1，或x>3.

三、從三角方向考慮，有換元法:通過三角換元簡捷地解決問題.

例4已知x,y滿足(x-2)²/4+(y-1)²=1，則(x+1)/y的最小值是.

分析：本題條件形如cos²α+sin²α=1，因此可考慮換元，

令x=2+2cosα ，y=1+sinα , 則(x+1)/y=(3+2cosα)/ (1+sinα) ，

第二次換元，令m=(3+2cosα)/ (1+sinα),

則m(1+sinα)=3+2cosα,

∴√(m²+4)sin(α-θ)= 3-m（θ是輔助角）,

∴sin(α-θ)= (3-m)/√(m²+4),

∴|(3-m)/√(m²+4)| ≤1,

解得m≥5/6，所以(x+1)/y的最小值是5/6.

此可謂：

直譯失效轉意譯，

巧妙化歸顯神力．

命題等價形式變，

一旦突破皆雙喜．

以下題目可供練習:

1.已知x,y滿足(x-1)²+(y+2)²=20，則x²+y²的取範圍是．

2.若點P(x,y)滿足x²+y²=4，則a+b最大值是．

3.若3x+4y=5，則(x-2)²+(y-1)²最小值為．

4.在直線2x-y-5=0上求一點M,使它到點A(-7,1), B(-5,5)的距離之和最小，求點的坐標．

5.已知a,b,c為直角三角形三邊邊長，c為斜邊，點(m,n)在直線ax+by+2c=0上，則m²+n²的最小值是．

推薦閱讀：