函數思想在「直線與圓的方程」中的體現
函數思想滲透於高中數學的方方面面，在直線與圓的方程中，我們也不難找到它的身影．
一．求最值問題中的函數
最值問題是一種常見問題，求解往往可以轉化為求函數的最值．在直線與圓的方程中，有些最值問題可以藉助於圓的方程特徵及幾何特徵，利用函數的思想加以解決．
例１．已知實數
滿足
．
（１）求
的最大值和最小值；
（２）求
的最大值和最小值．
分析：首先，
表示的圖形是圓．（１）由已知可得
，這是一個關於
的二次函數，因此，問題轉化為求二次函數的最值問題．（２）設
，則
可以看作關於
或
的函數，轉為求函數的最值問題；（３）設
，可結合幾何意義求函數的最值．
解：
化為：
，表示圓心在
，半徑
的圓．
（１）設
，由
得，
，即
，這是一個關於
的一次函數，由於
，所以，當
時，
，當
時，
．
（２）設
，此函數的最值可以藉助於
幾何意義：圓上的點
與定點
的連線的斜率．如圖１所示，由Ａ作圓的切線，設切線的方程為
，即
，由圓心Ｃ到直線的距離等於圓的半徑，得
，解得
，所以，
的最大值為
，最小值為
．
二．含參數問題中的函數思想
含參數的問題，常常要對參數進行討論，或求參數範圍等，這時函數的思想可以發揮重要作用．
例２．已知方程
表示圓．試求圓的半徑的取值範圍．
分析：將圓的半徑用參數
表示出來，得到關於
的函數，然後利用函數的性質求範圍．
解：設圓的半徑為
，則
．
由
，得
．
所以，當
時，
；即圓半徑
的範圍是
．
三．求軌跡方程中的函數思想
求軌跡方程的方法有很多，基本上都會用到函數的思想．尤其是參數法求軌跡方程時，函數的思想體現得更為明顯．
例３．設圓的方程為
，試求圓心Ｃ的軌跡方程．
分析：圓心的橫坐標與縱坐標都可以用參數
表示出來，因此，消掉參數
即可求出圓心的軌跡方程．要注意自變數
的範圍，由於
表示為參數
的函數，所以，其範圍是與
的範圍相關的，可以理解為函數的值域．
解：設圓心Ｃ
，依題意，
．
由（１）得
，代入（２），得
．
由例２可知：
，所以，
．故圓心Ｃ的軌跡方程為
（
）．
有變數就有函數，函數思想為我們解決問題提供了方便，滲透於數學的各個知識點中．通過對各知識點中函數思想的認識，一方面可以加深我們對函數思想的理解，另一方面也可以增強我們對問題本質的理解與把握，同時還可以提高我們分析問題，解決問題的能力．
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