圍棋中的數學

1987年2月28號，馬曉春獲得中國第一位圍棋「天元」稱號。

圍棋，是一種策略性兩人棋類遊戲，起源於中國，古時稱「弈」。

圍棋使用方形格狀棋盤及黑白二色圓形棋子進行對弈，棋盤上有縱橫各19條直線將棋盤分成361個交叉點，其中有九個交叉點用大黑點標識，以方便定位，這九個黑點稱之為「星」（或「星位」）。

棋盤正中央的星位便被稱為「天元」。棋子走在交叉點上，雙方交替行棋，落子後不能移動，以圍地多者為勝。

圍棋是一門藝術。和很多棋牌類遊戲一樣，下圍棋涉及到邏輯學、運籌學、博弈論、心理學甚至哲學的知識，另外還涉及到計算和記憶。另外圍棋背後有著很多的數學和計算機知識，包括尚未解決的千禧年數學猜想「NP=P?」、人工智慧等。

一、棋子位置、形狀中的數學

棋盤上的不同位置價值是不一樣的。另外，棋子的形狀（比如緊密程度）也會帶來不同的價值。這裡涉及到，下面我們通過幾個圍棋術語來說明。

1.「金角銀邊草肚皮」：這是說一個子下在盤上價值是不等的，下在角上最高，邊上其次，腹中最低。為什麼呢？仔細一想不難明白，黑方在角上用兩個子可以吃住一個白子，在邊上要用三個子，在中腹必須用四個子才能吃一個。

2. 「七子延邊活也輸」：七指的是在二路連成直線的棋子數，是說這種下法效率低下。這就涉及到另一個圍棋術語了——七死八活：如果在周圍被圍死的情況下，七子後手必死，八子後手可以活。（如果是先手都可以活）

3. 「實地」與「外勢」：「實地」常指在圍棋盤角部或邊部所圍成的地域。「外勢」指由外圍棋子所組成的陣線，其特點是能形成一定的勢力範圍。有人認為圍棋發展成19路的模式，一個原因便是如果棋盤太小，取地略佔優勢；棋盤太大，取勢略佔優勢。從數學角度可以證明19路棋盤取地與取勢沒有明顯優勢，雙方的效率基本一致，這大大地拓寬了圍棋的戰術。

4.「多子圍空方勝扁」：是指多顆棋子圍空的時候，棋形應該盡量走成方形，這樣才能圍成大空，提升棋子效率。這是因為在數學上有「周長一定的矩形，正方形的面積最大。」的結論。

二、棋子死活中的數學

一個棋子在棋盤上，與它直線緊鄰的空點是這個棋子的「氣」。直線緊鄰的點上如果有同色棋子存在，這些棋子就相互連接成一個不可分割的整體。直線緊鄰的點上如果有異色棋子存在，此處的氣便不存在。棋子如失去所有的氣，就不能在棋盤上存在。如果下子後，對方棋子無氣或雙方棋子都呈無氣狀態，應立即提取對方無氣之子，叫做「提子」。

由多個棋子圍住的一個或兩個以上的空交叉點叫做「眼」。如果這幾個棋子完全連接在一起，就叫「真眼」，否則是「假眼」。一塊棋如果有了兩個真眼，便是「活棋」，也就是俗稱的「兩眼可活」（有時候只有一個真眼甚至沒有眼也能活，叫「雙活」）。「活棋」是永遠不可能被提掉的棋。

我們怎麼知道一塊棋是否能走成「活棋」呢？每次都需要把每種走法都枚舉一遍嗎？其實不然——圍棋手們總結出了一些常見棋形的規律（這裡是化歸的思想，即將一個問題由複雜化簡單的過程）。

1.下圖中白棋的眼形分別稱為「直三」、「曲三」，白棋下在A位可活，被黑棋先下則死。

2.下圖中白棋的眼形分別稱為「直四」、「曲四」。

對於上述兩種情況，白棋不先下也是活棋。黑棋點在A位白棋就應在B位，而黑棋點在B位白棋就應在A位。（特別地，如果是在角上的「盤角曲四」，一般是死棋。）

3.下面兩種情況分別稱為「丁四」、「方四」，前者黑棋先下在A位就可以殺死白棋，白棋先下A就可活；後者因為白棋無論下在哪一點都將成為曲三，黑棋點在中間就可以殺死白棋。

4. 下面兩種情況分別稱為「梅花五」、「刀把五」。前者黑棋先下就點在A位，白棋如果在裡面下子只會縮小自己的眼位，最終變成丁四。黑棋再下A位即可點死白棋。白棋先補A則可活；後者白棋先下A位可活，黑棋先下A位則可殺死白棋。

5. 下面兩種情況分別稱為「葡萄六」、「板六」，前者黑棋點A則白棋死，白棋補A則可活；後者白棋不補也是活棋。

三、行棋中的數學

在圍棋的行棋過程中，也涉及到數學。下面從幾個圍棋術語來談談。

1. 「流派」：根據布局風格的不同，圍棋分成了若干的流派，其中比較著名的有中國流、宇宙流、秀策流等等。中國流重視布局速度，並且兼顧外勢與實地；宇宙流以棋盤為宇宙，行棋天馬行空；秀策流順水推舟，重視全局的平衡和諧。

2. 「征子」：征子是一種利用對方棋子只有一口氣，通過不斷扭拐叫吃的吃子方法。

有些征子棋下出來非常的美麗，比如上圖的「心形征子」。但其實征子棋的計算量異常的大，可能會因為一顆棋算錯而滿盤皆輸。

3. 「打劫」：打劫又稱「劫爭」，是指兩顆棋出現可以互相提取一子的現象，因為可以互相提取那就永遠下不完了。所以圍棋規則規定碰到劫爭時，當一方提掉另一方的子，被提一方要在其它地方走一步，待對方應之後再提回來。「打劫」的材料叫做「劫材」，一般直到有一方沒有劫材了劫爭便結束了。

打劫涉及到找劫材及消劫的價值判斷，雖是比較複雜的技術（並有循環劫、萬年劫等複雜形式），但非常有趣——圍棋之所以吸引了眾多愛好者，「打劫」可能是吸引人的緣故之一。

另外，筆者認為圍棋中的打劫和尼姆遊戲之間或許有某種聯繫。

4.「模仿棋」：模仿棋是一方隨著另一方在棋盤的對稱處下棋，最後形成一盤黑白方完全對稱的棋局。

模仿棋也稱「東坡棋」，其由來是這樣的：蘇軾的小兒子蘇過愛下棋，而且下得好。蘇軾無論怎樣都輸給蘇過。

一次，蘇軾跟兒子下棋，蘇軾第一手下天元，隨後模仿兒子在棋盤對稱處下棋。

蘇過驚問道：「這是什麼棋？」

蘇軾笑曰︰「這是東坡棋。」

那如果按照這種方式下棋，先手不是必勝嗎？

正因為如此，圍棋中規定黑棋應該「貼目」，即由於黑方先手，在布局上佔有一定的優勢，為了公平起見，在最後計算雙方所佔地的多少時，黑棋必須扣減一定的目數或子數。

根據人們的大量實戰經驗，常見的是貼3又3/4顆子即七目半（一子等於兩目）。之所以會出現半目，是為了避免出現和棋。

模仿棋在比賽中也出現過。在2010年亞運圍棋賽中韓之戰的一盤棋中，執黑的周睿羊每下一手，朴廷桓就在棋盤對稱的相應位置下一手，完全模仿黑棋的下法，直到29手朴廷桓才停止模仿。最終朴廷桓取得了勝利。

筆者對於圍棋只知毫末，本文斗膽談一談圍棋中的一些數學問題，同時普及一些圍棋基礎知識，還請行家指正。

參考文獻：

1. 死活棋基本形.陳晨.搜狐博客

2. 圍棋棋形總結.百度文庫

3. 一向被譽為人類大腦智慧專利的圍棋中又蘊含著怎樣的數學原理？微信號「好玩的數學」

4. 百度百科

5. 歷史上的今天

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