《術數》與傳統數學

內蒙古師範大學數學系 羅見今

中國傳統數學在歐洲文藝復興前的相當長的歷史時期中創造了領先世界的光輝成就，但是，在隨後的幾個世紀，這樣的狀態卻逐步發生了變化，到近代已明顯超脫與所謂主流之外了。探討數學史上這一重大問題時，不能不涉及到對傳統數學的發展有重大影響的「術數」及其哲學思想背景。

萬物皆有數

術數又稱數術（數為命運、氣數，術為方法），指用種種方術觀察自然或社會的現象，來推測國家或個人的氣數和命運。《四庫全書》說：「術數之興，多在泰漢以後，其要旨不出於陰陽五行、生尅制化，實皆易之支派，傅以雜說耳。」早期術數包括天文、歷譜、五行、蕃龜、雜占、形法；後世術數泛指特定應用技術，如星占、卜籃、六壬、奇門遁甲、命相、拆字、起課、堪輿、占候等，包含卻超越數學所研究的範疇。南宋秦九韶在《數書九章》序中給數術下了一定義，包括了不少數學內容，也提到蕃占、河圖、洛書、八卦、九疇、太乙、六壬、奇門遁甲等；本文就其中幾點多少與數學相關的問題略抒淺見。

《左傳》說：「龜，象也；筮，數也；物生而後有象，象而後有滋，滋而後有數。」殷商前原始的前兆預測發展到較完備階段，形成了周代《易經》八卦六十四卦體系，它是我國最古老的一部占筮用書，為象數之宗，也是術數之鼻祖。《易經》記錄了我們祖先對各種客觀情況所作出的兆象和吉凶判斷，反映了古人在同社會和自然界的鬥爭中，為了掌握其發展變化的規律而求助於卦象預示的主觀思想；同時也直接或曲折反映了他們對客觀事物的觀察和認識，記載了他們實踐活動的經驗、感受和評價，表現了他們對周圍世界進行抽象和概括的願望，其中也包含了相當多的樸素唯物主義和歷史辯證觀點，更包含的古智者對宇宙根本規律的終極探討。

《易經》是中國道學史哲學史上第一部經典著作，位居六經之首。從科學史的角度來看，它的內容含有古代天文、數學、音律、醫理、生物等方面的知識；它的哲學體系對科學思想發展影響很大，所以在科學思想發展史上佔有重要地位。

在中國數學史上，不少數學家都受到《易經》及玄學的熏淘，如三世紀大數學家劉徽說：『『古者包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情；作九九術，以合六交爻之變……於是建曆紀、協律呂，用稽道原，然後兩儀四象精微之氣，可得而效焉」。

又如十三世紀大數學家秦九韶說：「爰自河圖、洛書，圃發秘奧，八卦、九疇，錯綜精微，極而至於大衍、皇極之用，而人事之變無不該，鬼神之情莫能隱矣。」提到術數的正史不乏其例。注意到上邊引用的兩段都是在一書的序言里作為總綱或指導思想提出的，因而在研究數學思想史時，周易術數是難以輕易帶過的問題。

動態的自然，適於用易數表達。

中國算術史上不少學者博通經史，對易學、數術普遍有研究。（舊題）漢徐岳撰的《數術記遺》，主要是數術著作。北周甄孿撰、唐李淳風注《五經算術》，以數理講解經義，其中有《易策數法》的名目。宋沈括《夢溪筆談》中討論過揲蓍之法。由於程朱理學的推重，象數內容在宋以後數學書中俯拾皆是。清屈曾發《九數通考》十三卷卷首就指出：「(河)圖（洛）書為數學之源」，……凡此種種，科學史研究無法迴避，應予正視。

術數與象數神秘主義不是科學，其根源在於「伏羲黃帝老莊」數千年的修道實踐造就的道文化土壤。在研究領域裡術數與西方的數學有明顯區別，但在歷史上，它確曾處於舉足輕重的地位，與天文、曆法、數學相提並論。可以說，昔日之術數，猶今日之科學。

「數術者，皆明堂義和史卜之職也。」漢代除三公外最髙級別的官員祿兩千石，其中就有「二千石博問術士」，遇到地震等災變時，以備皇帝諮詢。《史記》記載：「孝武帝時聚會佔家問之：某日可取婦乎？五行家曰可，堪輿（按即風水）家曰不可。」看來他們有權在皇帝面前展開自由爭論。光武帝更重用術士，提拔擅長圖讖的王梁、孫咸作大司空、大司馬的高官。魏晉以來，形成了等級森嚴的「九品中正制」，隋唐時代國子寺設研究純數學的算學博士，品秩最低，為從九品；而在太常寺中卻有太卜署，太醫、太卜等術數家皆設博士。元代集賢院除管國子監外，還管道教陰陽術數，有陰陽教授之設。在不少封建帝王的眼中，操占卜、星相一類方術之士的地位，一般高於持籌的算家。

由於這些原因，術數著作在古籍中占相當比例。據《中國叢書總錄》、《四庫全書》及《販書偶記》的記載，我國現有傳本古書共63853種，其中易類1514種佔2.3%，歷算類657種佔1.03%。在圖書分類中術數類與易類分開，數量亦相當可觀。李約瑟說：「如果有一個漢學家兼通數學，那末，通過對隱晦難解的中國中世紀占卜術著作的探索，他在這方面是會大有收穫的。」鑒於有關研究尚未展開，這番預言令人鼓舞。當然，這種工作帶有披沙淘金的性質，要從浩如煙海的材料中匯總有價值的內容並非易舉。

傳統數學思想深深植根於古代文化之中，成為不可分割的組成部分，應當從古代思想文化的源流中去搞清它的來龍去脈；術數作為易學的支派，與傳統數學並行，貫穿於整個古代文化史，它產生的影響不可忽視。恩格斯說：「我們必須重新進行艱苦的研究，才可以知道基督教最初是什麼樣子。」對術數的研究也應取這種態度。占星術之於天文，鍊金術之於化學，數術之於數學，在人類歷史上道學與科學相伴而生，甚至很大程度可以指導科學——這類現象值得深入研究，不能採取簡單否定的態度。

那麼，很自然地會產生這樣的問題：數術對類西方的純數學發展是否有促進作用？數術之中有無純數學內容或類西方的數學思想的萌芽？

讓我們先回顧古希臘時期。數學家們篤信宗教，認為天神掌管世上一切事務。畢達哥拉斯派宣稱「萬物皆數也」，把10看作理想的數，從而推論出移動的天體必定有10個。他們特別重視1，2，3，4這四個數，叫作tetractys(譯作「四象」），而且1+2+3+4=10，似乎正滿足了一種神學上審美的需要。他們創立了土、氣、火、水四元素說，認為萬物由四元素構成。柏拉圖說：「祌永遠按幾何規律辦事」，顯然受到神學影響。

古希臘學者的數字神秘主義導致的一個結果，是使他們注意分析隱含干數本身的性質，從而發展起研究素數為中心的整數論；而在中國，易學象數系統卻沿著另一條路線，把學者們引向分析數學(或元素）在空間（平面）上的相對位置關係，它們的排列、組合、對應、對稱、旋轉、反射等關係，從中尋找種種特殊的聯繫，給出合理的解釋。

術數家的手段姑且不論，就純數學而言，這確乎導向了組合論的領域，即令是原始的思想萌芽也罷。例如，現代組合學一本有影響的著作中把這門學科的起源歸於一個古老記載：公元前2200年大禹路過洛水時，觀察到水中浮出的烏龜背上的數字表——宋人稱之為洛書。

在古希臘，柏拉圖的學生亞里士多德將四元素說發展成一完整的體系，一如中國的五行說。他研究了土氣火水四元素冷與熱、干與濕、浮與重等性質，分析一般物體所含這四元素的比例，從而確定該物體的固體性、硬度、溫度、粗糙性以及運動方式（浮沉等）。這樣看來，四元素說側重性質分析，五行說側重位置所包含的意義。這種植根於哲學思想背景上的位置模式對於傳統數學中的位值制、「方程」術、開方術、賈憲三角形、天元術、四元術等在平面上用算籌布算有何影響？這是值得進一步探討的課題。

神奇的九宮圖

在道學的、數術的著作中，我們確實可以發現古人在位置模式支配下所進行的配置的努力，它同樣也可以得出很多數學成果。宋司馬光（1039年進士）《潛虛》中十字形的「氣圖」，大體就是天地生成數圖，或河圖。他的「體圖」、「性圖」、「名圖」分別呈三角形、方形與圓形。「體圖」數字分十層，依次標明王、牧、公、岳、牧、率、侯、卿、大夫、士、庶人十等級。它的數字編碼方式是我們在代數學裡常遇到的，這種複式編碼大概是世界上最早的記錄。

我們再以洛書為例。現在它被稱作3階幻方，每行、每列和每條主對角線都有同樣的和15，n階幻方和為N/2（N²+1）。洛書「在整個歷史上，對許多人將發揮強有力的魅惑：連最簡單的算術都成了一件令人驚異的事情」。

幻方從一開始就被同超前和神奇的事物聯繫在一起，阿拉伯人al-Buni(？-1225)和歐洲人H.C.Agrippa(1533)的幻方著作都是如此，後者把幻方同占星術聯繫起來。在我國先秦文獻《周易乾鑿度》中說：「太乙取其數以行九宮，四正四維皆合於十五」，據此並參照鄭玄注可以畫成九宮圖，其中七條虛線表示太乙神巡行九宮所依次序，八條實線表示「四正四維皆合於十五」。先秦兩漢著作中關於河圖、洛書、九宮、明堂、洪範九疇（劉歆以為洪範即洛書）的傳說有不少記載，如果從「比較神話學」的角度進行分析，可以作出一種假設：古代巫人在龜甲或（龍）骨板上用火灼出窩槽，爆見吉祥之兆，有時這種窩槽的排列具有某種特殊的意義，令人驚異，於是成為世代相傳的故事和神話。換而言之，河圖洛書可能是原始時代骨卜的形象化、藝術化的名稱。當然，「河洛」是中國文化史上一大問題，討論很多。

《尚書·洪範》九疇的中心即為洛書，兩漢盛行的圖讖之學以河洛作占卜的依據，奇門遁甲也與九宮相關，這些易學所以流傳千百年，筆者以為其中一個原因，是利用了九宮數令人驚異的數學性質。在歷史上洛書進而變成了純數學問題，宋楊輝（1275)即給出了3—10階幻方，現代它仍然是組合學研究的課題，廣義幻方、幻體、雙隨機矩陣等都由它推廣而來，確乎是「易道廣大，無所不包」了。