圍棋里也有數學模型？

圍棋，一種中國古代發明、兩人進行智力遊戲性很強的棋類，有黑白、手談等諸多名字，為琴棋書畫的四藝之一。圍棋流行於亞太，覆蓋世界範圍，是一種非常流行的棋類，被認為是世界上一種最複雜的棋類遊戲。對圍棋曾有《棋定天下》一詩讚道：

　　無聲無息起硝煙，黑白參差雲雨顛。

　　凝目搜囊巧謀略，全神貫注暗周旋。

　　山窮水盡無舟舸，路轉峰迴別樣天。

　　方寸之間人世夢，三思落子亦欣然。

　　圍棋使用方形格狀棋盤及黑白二色圓形棋子進行對弈，棋盤上有縱橫各19條直線將棋盤分成361個交叉點，棋子走在交叉點上，雙方交替行棋，落子後不能移動，以圍地多者為勝。由於它將科學、藝術和競技三者融為一體，有著發展智力、培養意志和機動靈活的戰略戰術思想意識的特點，因而，幾千年來長盛不衰，並逐漸地發展成了一種國際性的文化競技活動。

　　自圍棋問世以來，隨著人們對其認識的不斷深入，棋盤和下棋規則也在不斷的變化中走向完善。現在的圍棋棋盤由縱橫交錯的十九條直線組成的361個方形交叉點組成。如上圖「圍棋棋盤之二」所示，棋盤有上、下、左、右四條邊，標著八星和中天元九個點，分為邊、角和中腹等不同的區域。我們把四條邊界線稱為一線，與邊界線相鄰的四條線稱為二線，並依次根據它們與邊界的距離遠近分別稱為三線、四線等等。各線上的點由於距離邊界相同，使它們具有比較一致的特性。

　　下圍棋時，先手可率先搶佔有利點，造成下棋的不公平。圍棋棋盤要多大，先手應該為後手貼多少目棋，是影響下棋公平的主要因素。經過近4000年左右的多次變化，圍棋棋盤由古時每邊十一道增至現在的十九道，勝負貼目也已基本定論並被廣泛接受，但至今仍還缺乏一個令人信服的證明，說明其合理性。現在要問，能否對圍棋構造一個數學模型，證明其合理性呢？結合當今圍棋規則，用數學建模的方法觀察，分析，計算出相關數據，看其是否合理、可用，目的是為了儘可能的使弈棋的公平，使棋手的水平充分發揮。

　　在圍棋中，人們比較看重的問題有兩個：① 圍棋棋盤經歷了多次變化，圍棋的棋盤道數多少才最為合理？② 在最為合理的道數下，先手應該貼後手多少目，有沒有可能使貼目接近於0？下面談談如何構建數學模型來解決這些問題。限於篇幅，這裡只討論第一個問題。

　　為對圍棋構建可用的數學模型並解決上述問題，作如下假設：① 對弈雙方棋力相當；② 棋盤連續，棋手可在棋盤任意點線的空白處布子；③ 棋類比賽，有攻有守，攻守成敗以最後成活與佔地多少為準；④ 對於一塊含兩個以上眼位的成活棋塊，以其棋子數除以這些棋子所包含的目數得到的商值稱為此棋塊的「目效率」，記為PE。

　　弈棋的不公平主要來自於先手，如果改掉規則，讓兩人同時落子，便不存在不公平的問題。但現實是總有先後手之分，自然先手會用第一步佔據棋盤上最有利的點，圍棋棋盤除天元外，所有的點都四點對稱。所以，只要天元不是最有利的點，那麼最有利的點就有4個，成對出現，後手的損失就不會太大。所以問題就轉化為在什麼情況下，天元不會成為最有利的位置。

　　當棋盤過小時，天元的位置極其重要，對於總道數少的小棋盤甚至第一步走在天元位置上就可以贏得全局，但隨著棋盤道數的不斷增加，棋盤增大，天元的優勢就不明顯了，原因是天元對邊角的控制不足，導致邊角的利益大於天元的利益，問題轉化為當道數為多少時，邊角可擺脫天元對邊角的控制。為使圍棋對弈時先、後手差異不太大，我們不妨取中腹和邊域目效率相差不大為目標和依據，看看圍棋的道數取多少為好。

　　假設棋盤每邊的邊數為x道（顯然，x應為正整數），現在棋盤的道數x=19。為實戰需要，圍棋棋盤的道數不能太大，也不能太小，不妨假設11≤x≤23。將第四邊上的八星連線，所圍之地稱為中腹，佔有目數（x-80）2，記其目效率為PE4；將第3邊連線，1-2邊組成邊域， 佔有目數8x-16，記其目效率為PE3。由於對x的限制，三線外的邊域及四線圍成的中腹區域都已成為實空，對手無法再做活。這時，邊和中腹區域的目效率分別為：

　　基於E（x）為一單調增函數，且E（18）= -0.18881和E（19）= 0.09222，故0解應在開區間（18，19）之中，其有效解道數應取為正整數，由│E（19）│<│E（18）│，說明圍棋棋盤道數x應為取為19，取19×19的圍棋棋盤是最佳的，因而說明現在的圍棋棋盤取19道有其一定的合理性。

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