【數學文化】數學與音樂

06-03

如今人們記錄音樂最常用的方法是簡譜和五線譜,它們都與數學有密切的聯繫. 簡譜不正是用阿拉伯數字 1、2、3、4、5、6、7 來表示do、Re、Mi、Fa、Sol 、La 、Si 的嗎 ?難怪有人開玩笑說 , 學音樂要上達到8. 為什麼呢 ?

因為阿拉伯數字 8 在五線譜中也發揮著重要的作用,它常常在器樂譜中以

或

的面目出現,這就是移動八度記號.如果

標記在五線譜的上方,那麼虛線內的音符要移高一個八度演奏,而標記在五線譜的下方,顯然虛線內的音符要移低一個八度演奏. 另外還要下達到0,因為在簡譜中 0 表示休止符. 再看簡譜和五線譜上,一般都會出現

這樣的標記 ,這種標記就是用來表示音樂進行的快慢的,即音樂的速度. 比如,

132 就表示以四分音符為單位拍, 每分鐘132 拍.

此外,在每一首樂曲的開頭部分, 我們總能看到一個分數,比如,2/ 4、3/ 4、3/ 8、6/ 8 等,這些分數是用來表示不同拍子的符號, 即是音樂中的拍號(the TimeSignature) ,其中分數的分子表示每小節單位拍的數目,分母表示單位拍的音符時值, 即表示以幾分音符為一拍. 拍號一旦確定, 那麼每小節內的音符就要遵循由拍號所確定的拍數,這可以通過數學中的分數加法法則來檢驗.比如,

和

就符合由拍號4/ 4和3/ 4分別所確定的拍數,因為1/ 2 +1/ 4 +1/ 4 = 4/ 4,1/ 2 +1/ 8 + 1/ 8 = 3/ 4;而又因為1/ 16 + 1/ 2 + (1/ 4 + 1/ 8)= 15/ 16 ≠ 4/ 4 ,1/ 8 + 1/ 2 = 5/ 8 ≠ 3/ 4 , 所以不符合由拍號4/ 4和3/ 4分別所確定的拍數. 這些看似簡單的要求正是音樂作曲的基礎。

鋼琴鍵盤上的數學.

看一下樂器之王 ———鋼琴的鍵盤吧,其上也恰好與斐波那契數列有關. 我們知道在鋼琴的鍵盤上,從一個 C 鍵到下一個 C 鍵就是音樂中的一個八度音程(如圖1) . 其中共包括13 個鍵,有8 個白鍵和5 個黑鍵 ,而 5 個黑鍵分成 2組 ,一組有 2 個黑鍵 ,一組有 3 個黑鍵.2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契數列中的前幾個數.

音樂中的等比數列.

如果說斐波那契數在鋼琴鍵上的出現是一種巧合, 那麼等比數列在音樂中的出現就決非偶然了: 1、2、3、4、5、6、7、i等音階就是利用等比數列規定的.再來看圖1,顯然這個八度音程被黑鍵和白鍵分成了12個半音,並且我們知道下一個C鍵發出樂音的振動次數(即頻率) 是第一個 C 鍵振動次數的 2倍,因為用2 來分割,所以這個劃分是按照等比數列而作出的. 我們容易求出分割比 x ,顯然 x 滿足 x12= 2 ,解這個方程可得 x 是個無理數 , 大約是 1106.於是我們說某個半音的音高是那個音的音高的1106 倍 ,而全音的音高是那個音的音高 11062 倍.實際上,在吉它中也存在著同樣的等比數列.

音樂中的數學變換.

數學中存在著平移變換,音樂中是否也存在著平移變換呢 ?我們可以通過圖 2的兩個音樂小節來尋找答案. 顯然可以把第一個小節中的音符平移到第二個小節中去,就出現了音樂中的平移, 這實際上就是音樂中的反覆. 把圖 2 的兩個音節移到直角坐標系中,那麼就表現為圖 3. 顯然,這正是數學中的平移. 我們知道作曲者創作音樂作品的目的在於想淋漓盡致地抒發自己內心情感,可是內心情感的抒發是通過整個樂曲來表達的,並在主題處得到升華,而音樂的主題有時正是以某種形式的反覆出現的. 比如, 圖 4 就是西方樂曲 When the Saints GoMarching In 的主題 ,顯然 ,這首樂曲的主題就可以看作是通過平移得到的.

如果我們把五線譜中的一條適當的橫線作為時間軸(橫軸 x) ,與時間軸垂直的直線作為音高軸(縱軸y) ,那麼我們就在五線譜中建立了時間 - 音高的平面直角坐標系. 於是, 圖 4 中一系列的反覆或者平移,就可以用函數, , 近似地表示出來[2] , 如圖 5 所示,其中 x 是時間, y 是音高. 當然我們也可以在時間 -音高的平面直角坐標系中用函數把圖2中的兩個音節近似地表示出來.

在這裡我們需要提及十九世紀的一位著名的數學家,他就是約瑟夫.傅里葉(Joseph Fourier) ,正是他的努力使人們對樂聲性質的認識達到了頂峰. 他證明了所有的樂聲, 不管是器樂還是聲樂, 都可以用數學式來表達和描述,而且證明了這些數學式是簡單的周期正弦函數的和.

音樂中不僅僅只出現平移變換,可能會出現其他的變換及其組合,比如反射變換等等. 圖6 的兩個音節就是音樂中的反射變換. 如果我們仍從數學的角度來考慮,把這些音符放進坐標系中, 那麼它在數學中的表現就是我們常見的反射變換,如圖 7所示. 同樣我們也可以在時間 - 音高直角坐標系中把這兩個音節用函數近似地表示出來.

通過以上分析可知,一首樂曲就有可能是對一些基本曲段進行各種數學變換的結果.

大自然音樂中的數學.

大自然中的音樂與數學的聯繫更加神奇,通常不為大家所知. 例如[2] , 蟋蟀鳴叫可以說是大自然之音樂,殊不知蟋蟀鳴叫的頻率與氣溫有著很大的關係,我們可以用一個一次函數來表示:C = 4 t – 160。其中 C代表蟋蟀每分鐘叫的次數, t 代表溫度.按照這一公式,我們只要知道蟋蟀每分鐘叫的次數,不用溫度計就可以知道天氣的溫度了!

理性的數學中也存在著感性的音樂.

由一段三角函數圖像出發,我們只要對它進行適當的分段,形成適當的小節,並在曲線上選取適當的點作為音符的位置所在,那麼就可以作出一節節的樂曲. 由此可見,我們不僅能像匈牙利作曲家貝拉 .巴托克那樣利用黃金分割來作曲,而且也可以從純粹的函數圖像出發來作曲. 這正是數學家約瑟夫.傅里葉的後繼工作,也是其工作的逆過程. 其中最典型的代表人物就是20 世紀20 年代的哥倫比亞大學的數學和音樂教授約瑟夫 .希林格(JosephSchillinger) ,他曾經把紐約時報的一條起伏不定的商務曲線描述在坐標紙上,然後把這條曲線的各個基本段按照適當的、和諧的比例和間隔轉變為樂曲,最後在樂器上進行演奏, 結果發現這竟然是一首曲調優美、與巴赫的音樂作品極為相似的樂曲!這位教授甚至認為,根據一套準則,所有的音樂傑作都可以轉變為數學公式. 他的學生喬治 .格什溫(George Gershwin) 更是推陳出新, 創建了一套用數學作曲的系統, 據說著名歌劇《波吉與貝絲》(Porgy and Bess) 就是他使用這樣的一套系統創作的.