2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4 (I)

06-03

Euler的猜想

$x^4+y^4+z^4=w^4$ 不存在非平凡整數解

是在1987年前後被Noam Elkies等人否定的。這件事知乎上已經有好幾位用戶提到過。不過，近來看到一些與Euler猜想的否證相關的故事，值得作為自己自行選題的第一篇文章的內容。這些內容或許150年前的數學家們也會感興趣。

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Euler本人對數論的熱愛幾乎貫穿了他的整個數學生涯。據Andre Weil所說，Euler一生中關於數論最重要的記錄當屬他本人與Goldbach 1730年至1756年互相來往的信件。Goldbach 1729年12月1日的信件提到了Fermat的猜想： $2^{2^n}+1$ 對所有自然數n是否都是質數？Euler本人一開始對Fermat的猜想似乎並沒什麼熱情，但在Goldbach本人的堅持下，Euler在1730年6月開始閱讀Fermat的著作，從此一發不可收拾。

Fermat大定理的內容現在已經是盡人皆知了。Euler就Fermat大定理寫過很多篇文章，並且證明了n=3和n=4的Fermat大定理。從n=4的Fermat大定理到Euler的猜想僅僅是簡單的外推而已。Euler對於自己的猜想是有些自信的。在1772年的文章中他是這樣寫的：

Quum demonstratum sit, neque summam neque differentiam duorum biquadratorum, quadratum esse posse, multo minus biquadratum esse poterit; haud minori autem fiducia negari solet, summam trium adeo biquadratorum umquam biquadratum esse posse, etiamsi hoc nusquam demonstratum reperiatur. Utrum autem quatuor biquadrata reperire liceat, quorum summa sit biquadratum; merito dubitamus, quum a nemine adhuc talia biquadrata sint exhibita.
Since it has been demonstrated that neither the sum nor the difference of two fourth powers can be a square, much less can it be a fourth power; one would hardly have any more doubt that the sum of three fourth powers could ever be a fourth power, even if this has still not been demonstrated. We are rightly uncertain whether one can find four fourth powers whose sum is a fourth power, since so far no one has exhibited such fourth powers. (John Bell)
兩個四次方數的和或差不等於平方數，更不可能為四次方數已經得到證明；因此幾乎沒有疑問，三個四次方數的和不等於四次方數，儘管現在對此仍然沒有證明。我們還不確定是否能找到四個四次方數之和是四次方數，因為到現在為止還沒有人能找到這樣的四次方數。

在1778年的文章里他進一步加強了自己的論斷：

Pluribus autem insignibus Geometris visum est haec theoremata latius extendi posse. Quemadmodum enim duo cubi exhiberi nequeunt, quotum summa vel differentia sit cubus, ita etiam certum est nequidem exhiberi posse tria biquadrata, quorum summa sit pariter biquadratum, sed ad minimum quatuor biquadrata requiri, ut eorum suma prodire queat biquadratum, quamquam nemo adhuc talia quatuor biquadrata assignare potuerit. Eodem modo etiam affirmari posse videtur, non exhiberi posse quatuor potestates quinta, similique modo res se habebit in altioribus potestatibus; ...
It has seemed to many Geometers that this theorem may be generalized. Just as there do not exist two cubes whose sum or difference is a cube, it is certain that it is impossible to exhibit three biquadrates whose sum is a biquadrate, but that at least four biquadrates are needed if their sum is to be a biquadrate, although no one has been able up to the present to assign four such biquadrates. In the same manner it would seem to be impossible to exhibit four fifth powers whose sum is a fifth power, and similarly four higher powers.（L. E. Dickson）
似乎有很多數學家認為這個定理(Fermat大定理)可以推廣。正如兩個立方數的和或差不等於立方數，可以確定三個四次方數的和不等於四次方數，至少四個四次方數的和才等於四次方數，儘管還沒有人能夠給出這些四次方數。同樣四個五次方數的和似乎也不等於五次方數，對高次冪有類似的結論。

沒人清楚Euler為什麼對自己的結論確信無疑。數論大牛Don Zagier在自己的文章中評論道，Euler這個猜想不是太明智(日語達人Zagier馬上引用了一句日語諺語「猿も木から落ちる」[智者千慮必有一失])。Zagier為什麼認為Euler的猜想不太明智呢？

對於丟番圖方程 $P(x_1, x_2, cdots, x_n)=0$ , P是定義在Q上的多項式，如何估計它在一個超立方體 $B$ 內( $x_iin[-X,X],i=1,2,cdots,n$ , X是一個足夠大的正實數)解的個數呢？

a. 考慮 $B$ 與 ${(x_1, x_2, cdots, x_n):vert P(x_1, x_2, cdots, x_n)vert<a}$ 的交集 $V$ , $a$ 是一個遠小於 $X$ 的正實數。這個交集是有有限體積的。我們的第一條經驗準則是： $V$ 內的整點個數 $approx$ $V$ 的體積。

b. 記 $V$ 內的整點個數為 $N(a)$ ，體積為 $V(a)$ 。 $N(a)$ 是階梯函數，而 $V(a)$ 是它的平滑化。怎麼用 $V(a)$ 來確定 $N(a)$ 的特性呢？物理學家們使用的技巧在這裡可以幫得上忙： $N(a)$ 在不連續點的變化可以用 $V(a)$ 在這點的導數來代替。這與物理中求態密度時所用的手法是完全一致的。因此我們稱 $V(a)$ 的導數為real density。對於 $a=0$ ,自然用右導數來代替導數。

c. 對於Euler的方程

$x^4+y^4+z^4=w^4$

而言，怎麼計算real density呢？學過一點多元微積分的話，得到real density(的一個近似估計)並不十分困難：

$ciiint_{D}frac{mathrm{d}xmathrm{d}ymathrm{d}w}{(w^4-x^4-y^4)^{3/4}},$

c是某個實常數。注意到求解體積以及real density的過程中所有的量都要求是實數，因此積分區域也容易確定：D就是 $xgeq 0, ygeq 0, w^4geq x^4+y^4, c_0leq wleq X$ ,這裡w的下限並不重要，只要求它是大於0的常數。做一個坐標變換，可以得到

$mathrm{real} mathrm{density}sim c^{prime}log Xiint_{D^{prime}}frac{mathrm{d}xmathrm{d}y}{(1-x^4-y^4)^{3/4}}$

c是另一個與x,y,z,w無關的正實數，D是區域 $xgeq 0, ygeq 0, 1geq x^4+y^4$ 。上面的二重積分是收斂的，因此可以猜測：方程解的個數與X成對數關係。

Don Zagier給他的讀者一個忠告：

If you are a number theorist, even a very great one, then you shouldn』tmake conjectures unless you not only have numerical evidence, but have thought aboutthe heuristic aspects of your assertion!

Remark：上面這一大堆啟發式推理，如果用Weil這句話

Rigour is to the mathematician what morality is to men.

來評判的話，幾乎連節操都沒有。但是，這種啟發式推理有一個強有力的支持者：Hardy-Littlewood的圓法。圓法中同樣需要計算real density，計算手段與上面的論證幾乎完全重合，但是圓法的計算是有著嚴格的分析背景作為支撐的，因此我們的啟發式推理某種程度上可以作為合情推理方法的候選。

然而，這種合情推理可能會失效。1966年J. W. S. Cassels等人找到一個三次曲面

$5x^3+10y^3+9z^3+12w^3=0$

如果用同樣的啟發式方法推理，會得到方程解的個數與X成線性關係。但是Cassels等人嚴格證明了：這個三次曲面上的整數點只有(0, 0, 0, 0). 因此，我們可以稍稍升級一下Zagier的忠告：思考問題對應的啟發式方法是不夠的，還得思考啟發式方法背後是否有更加深刻的東西。

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