使用Excel解多元一次方程組的三種方法

本文列出了使用Excel中解多元一次方程組的三種方法：矩陣解法、用克萊姆法則和用規劃求解的方法。

方法一：矩陣解法

原理：對於由n個未知數，n個方程組成的多元一次方程組：

寫成矩陣形式為Ax=b，其中A為係數n*n方陣，x為n個變數構成列向量，b為n個常數項構成列向量。當它的係數矩陣可逆，或者說對應的行列式|A|不等於0的時候，由Ax=b可得：x=b*A^(-1) ，A^(-1)為A的逆矩陣。

利用Excel提供的MDETERM、MINVERSE和MMULT等函數即可求解多元一次方程組。MDETERM函數返回一個數組的矩陣行列式的值，可用其判斷矩陣是否可逆;MINVERSE函數返回矩陣的逆矩陣;MMULT函數返回兩個數組的矩陣乘積。

示例及步驟：

假如在Excel的A2:N5區域中以下圖方法輸入了一個四元一次方程組。

在P2:S5區域用公式得到其係數矩陣，T2:T5的返回值為常數項向量。如P2單元格中的公式為：

=OFFSET($B$1,ROW(A1),COLUMN(A1)*3-3)*IF(OFFSET($A$1,ROW(A1),COLUMN(A1)*3-3)="-",-1,1)

由於「=MDETERM(P2:S5)」的值不等於「0」，可知係數矩陣可逆。選擇某列中的四個連續單元格，如Q11:Q14，輸入數組公式：

=MMULT(MINVERSE(P2:S5),T2:T5)

公式輸入完畢按Ctrl+Shift+Enter結束，即可在Q11:Q14得到方程組的解。

方法二：用克萊姆法則

示例及步驟：

對於上述四元一次方程組，複製P2:S5區域，將其粘貼到其他區域，如本例有4個未知數，用「選擇性粘貼——粘貼鏈接」的方法將其粘貼到4個不同的區域。然後複製T2:T5常數項的列向量，用「選擇性粘貼——粘貼鏈接」的方法分別將其粘貼到上述四個區域中的各列，依次得到矩陣A1、A2、A3、A4，再用MDETERM函數計算各矩陣行列式的值，分別除以係數矩陣A的行列式的值，即可得到方程組的解。

方法三：用規劃求解

原理：規劃求解是Excel中的一種載入項，是一種模擬分析工具，它通過調整可變單元格的值來查找滿足所設定條件的最優值。

示例及步驟：

以上述四元一次方程組為例，在Excel 2013中的操作步驟如下。

1、載入「規劃求解載入項」。如果已載入該載入項可忽略次步。依次單擊「文件→選項→載入項」，在對話框的底部「管理」的右側單擊「轉到」按鈕，彈出「載入宏」對話框，勾選「規劃求解載入項」後確定。Excel會在「數據」選項卡中添加「分析」組及「規劃求解」按鈕。

2、設置公式，本例以Q8:Q11為可變單元格，規劃求解的結果將在該區域產生。在S8:S11區域設置公式，即以Q8:Q11為未知數代入方程左側。如S8中的公式：

=P2*$Q$8+Q2*$Q$9+R2*$Q$10+S2*$Q$11

3、設置「規劃求解」參數。在「數據」選項卡的「分析」組中單擊「規劃求解」按鈕，彈出「規劃求解參數」對話框，進行如下設置：

①設置「通過更改可變單元格」為Q8:Q11;

②在「遵循約束」下添加約束條件。單擊「添加」按鈕，彈出「添加約束」對話框，將「單元格引用」設置為S8單元格，將「約束」設置為T2單元格後確定，這樣就添加了一個約束：S8=T2。

用同樣的方法添加其他幾個約束：S9=T3、S10=T4和S11=T5;

③取消勾選「使無約束變數為負數」選項。

④選擇求解方法為「單純線性規劃」。

4、單擊「求解」按鈕，Excel將進行求解。本例很快彈出下面的「規劃求解結果」對話框。

單擊「確定」即可在Q8:Q11得到方程的解。