第二講：四年級- 速算與巧算（3）

第二講 速算與巧算（3）例1比較下面兩個積的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析 經審題可知A的第一個因數的個位數字比B的第一個因數的個位數字小1，但A的第二個因數的個位數字比B的第二個因數的個位數字大1.所以不經計算，憑直接觀察不容易知道A和B哪個大.但是無論是對A或是對B，直接把兩個因數相乘求積又太繁，所以我們開動腦筋，將A和B先進行恆等變形，再作判斷.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因為 987654321＞123456788，所以 A＞B.例2不用筆算，請你指出下面哪道題得數最大，並說明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，將各式恆等變形之後，再判斷.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.恆等變形以後的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8，3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的積最大.一般說來，將一個整數拆成兩部分（或兩個整數），兩部分的差值越小時，這兩部分的乘積越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5則5×5＝25積最大.例3求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五個數的總和.解：五個數中，後一個數都比前一個數大10，可看出1986是這五個數的平均值，故其總和為：1986×5＝9930.例42、4、6、8、10、12…是連續偶數，如果五個連續偶數的和是320，求它們中最小的一個.解：五個連續偶數的中間一個數應為 320÷5＝64，因相鄰偶數相差2，故這五個偶數依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.總結以上兩題，可以概括為巧用中數的計算方法.三個連續自然數，中間一個數為首末兩數的平均值；五個連續自然數，中間的數也有類似的性質——它是五個自然數的平均值.如果用字母表示更為明顯，這五個數可以記作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此類推，對於奇數個連續自然數，最中間的數是所有這些自然數的平均值.如：對於2n＋1個連續自然數可以表示為：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…，x—1，x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是這2n＋1個自然數的平均值.巧用中數的計算方法，還可進一步推廣，請看下面例題.例5將1～1001各數按下面格式排列：
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