複製與無風險套利——50ETF期權的無風險套利機會分析

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| 來源：和訊網 作者：徽商期貨 蔣賢輝

一、無套利原理與市場錯誤

無套利原理在衍生品定價領域裡有著及其重要的作用，使得衍生品理論價格可以用一個數學模型來表達，理解無套利原理在實際的操作中有利於理解和發現無風險套利機會。為了讓投資者掌握無套利原理，在此，筆者將用生活化的語言來描述無套利原理。

生活中，我們也時不時在使用無套利原理，比如在商場購物，你會貨比三家，在比較的過程中，你會經常發現同樣的商品在不同的商場可能售價不同，這時聰明的你會選擇便宜的商品進行購買，當然也不排除一些人由於價高質好的心理效應選擇貴的買。

假如你是一個經銷商，在批發商品的過程中，無套利原理體現得更充分。在選擇商品時，你會選擇便宜的，這樣所帶來的利潤會更多，假如你可以從便宜的批發商處選擇商品賣給價格貴的經營同樣商品的批發商，那麼在這筆生意中你將獲得無風險收益。這樣的操作多了，價格貴的批發商在得知之後，會將商品降價出售，最後你的無風險收益將會趨於零，最終你將失去套利的空間。

在資本市場中，無套利原理無處不在。如果資產A和資產B的屬性相同，那麼他們理應具有同樣的價格從而使得資本市場無套利，然而，資本市場中資產的價格是交易出來的，在交易的過程中會經常導致同樣屬性的資產會有不同的價格表現從而形成了套利的機會，在套利的驅使下，同樣屬性不同價格的資產最終價格會趨於一致以至恢復到無套利。同樣屬性的資產具有了不同的價格，說明市場便發生了錯誤，如果投資者此時能夠利用這個市場錯誤，將賺取無風險收益。

二、PCP平價的推導

假設現在時刻為t，你買入執行價為K，到期日為T的一個Call和賣出同一個執行價、同一到期日的Put，這樣在T時刻你將獲得的回報為:

max{S（T）-K}-max{K-S（T）}=S（T）-K

如圖所示：

圖1:期權複製標的的過程

有什麼樣的方式可以獲得與上述組合同樣的現金流回報呢？如果t時刻買入標的S，價格是S（t），持有到T時刻S資產的價格將為S（T），在t時刻準備一筆現金以保證在T時刻可以支出K數量的現金，那麼在T時刻獲得的現金流將與上述組合的現金流相同，即：S（T）-K。可以看出，兩個組合的現金流回報在T時刻都相同意味著這兩個組合應該在任意時刻具有同等的價值，在t時刻也不例外。

在t時刻，第一個組合的價值為c-p，持有資產S和到期支付現金K的第二個組合的價值為S（t）-Ke^（-r（T-t） ），其中r表示市場無風險利率，因此：

c-p=S（t）-Ke^（-r（T-t） ）

這即為PCP平價公式。如果兩個組合在某一時刻的價格偏離將帶來無風險套利的機會，考慮到交易成本的存在，這兩個組合的價差要偏離足夠遠以至於價差超過交易成本，假設交易成本為Cost，組合的價差為Spread，你的獲利Profit將是如下：

Profit=Spread-Cost

為了說明問題，在以下的分析中不考慮交易成本，投資者只要把以下分析得出的無套利收益減去自己的交易成本即可獲得最終的無套利收益。

三、複製與無風險套利的機會

在無套利原理下，PCP平價將是成立的，若市場偏離將存在套利機會。從PCP公式中又可以得出多種形式的套利機會，每種變形都給予了公式一定的含義，具體來看，可以分為複製標的、複製Call、複製Put以及複製相應的債券等方式的套利。

（一）複製標的與套利

將公式

c-p= S（t）-Ke^（-r（T-t） ）

變形為

S（t）=c-p+Ke^（-r（T-t） ）

從上式可以得出，持有Call多頭、Put空頭以及持有Ke^（-r（T-t））數量的現金就等同於持有標的從而複製了標的。如果該組合的價格與標的價格偏離將帶來無風險套利的機會。具體來說，如果組合的價格大於標的價格則賣出組合買入標的，否則，如果組合的價格低於標的價格則買入組合賣出標的。由於做空現貨的限制，後一種情況操作不容易實現。

對於上述前一種操作：賣出1張Call，買入同樣執行價格、到期日的Put，以無風險利率借入Ke^（-r（T-t） ）數量的現金，同時買入標的。期初，組合的價值為p-c+S（t）-Ke^（-r（T-t） ），獲得的現金流為c-p-S（T）+Ke^（-r（T-t） ）>0

情景1： S（T）>=K

如果到期時標的價格S大於執行價格K，則Call被行權，Put不行權，Call被行權獲得現金流為K，將持有的標的S賣給對方，同時將K數量的現金流償付。期末，組合的價值為0，支出的現金流為0，獲得的無風險收益為c-p-S（T）+Ke^（-rt）。

表1:組合在t時刻和在到期（T）時S（T）>=K情況下的價值

如果到期時標的價格S小於執行價格K，則Call不被行權，Put行權，Put行權帶來的現金流為K，將持有的標的S賣給對方，同時將K數量的現金流償付。期末，組合的價值為0，支出的現金流為0，獲得無風險收益為c-p-S（T）+Ke^（-r（T-t） ）。

表2:組合在t時刻和在到期（T）時S（T）<=K情況下的價值

（二）複製Call與套利

將公式再次變形為

c=p+ S（t）-Ke^（-r（T-t） ）

可以看出，持有Put和標的S同時以利率r借入現金這個組合相當於持有Call，如果組合的價格與Call的價格不相等的時候將帶來套利的機會。具體來說，當組合的價格比Call的價格低時，買入組合賣出Call；當組合的價格比Call的價格高的時候，賣出組合買入Call。由於受融券限制不能方便做空標的S，在操作中前者的操作運用較為普遍。經過分析可以得出在組合價格比Call價格低時通過買入組合賣出Call在t時刻和到期T時刻的價值變化與上述（一）中的套利價值變化相同，期初和期末所發生的現金流相同。

（三）複製Put與套利

將公式再次變形為

p=c-S（T）+Ke^（-r（T-t） ）

可以看出，持有Call和賣空標的S同時以利率r存入現金的這個組合相當於持有Put，如果組合的價格與Put的價格不相等的時候就存在套利的機會。具體來說，當組合的價格比Put的價格低時，買入組合賣出Put；當組合的價格比Put的價格高的時候，賣出組合買入Put。由於受融券限制不能方便做空標的S，在操作中後者的操作運用較為普遍。經過分析可以得出在組合價格比Put價格高時通過賣出組合買入Put在t時刻和到期T時刻的價值變化與上述（一）中的套利價值變化相同，期初和期末所發生的現金流相同。

綜合上述分析，可以發現，無論是複製標的、複製Call和複製Put的套利，只是複製的目標含義不一樣，具體的操作手段都是一樣的，由於融券的限制，在具體操作時就剩下一種操作手段了，即：當有套利的機會出現時，賣出Call、以利率r借入現金、買入標的同時賣出Put。

將公式變形為

Ke^（-r（T-t） ）=p-c+S（T）

從上式可知，問題將變得簡單，當上式的右邊小於左邊時，只要買入Put、賣出Call同時買入標的S，而左邊就是你的資金和資金成本。具體來看，在期初t時刻，買入Put、賣出Call同時買入標的S這個操作為存在凈支出，假設凈支出為現金D。在期末T時刻，如果S（T）≥K，Call被行權帶來現金流K，同時將標的S賣給對方，Put不行權；如果S（T）<k，call不被行權，put行權將標的s賣給對方，獲得現金流為k，所以，無論s（t）與k的大小，在t時刻總將獲得收入k。從現在來看利潤，就得看k和d的大小了，如果k大於d將獲得無風險收益。< p=""></k，call不被行權，put行權將標的s賣給對方，獲得現金流為k，所以，無論s（t）與k的大小，在t時刻總將獲得收入k。從現在來看利潤，就得看k和d的大小了，如果k大於d將獲得無風險收益。<>

四、案例

無風險套利的機會在市場上不是隨時都有，特別在交易活躍的品種中，這種機會就更少，因為資金是聰明的，一旦出現無風險套利的機會便會及時抓住，因此，無風險套利機會稍縱即逝。下面以12月到期的50ETF期權兩個月以來的歷史收盤價數據來展示怎樣在盤中捕捉這樣的機會。

表格3和表格4分別給出了從9月28日以來到11月26日每一天的無風險收益率的情況，我們發現，基本上都是0值以下，這恰好證實了無風險套利機會的稀少，同時從側面反映了現貨市場做空力量的不成熟，換句話說，難通過融券做空50ETF。倘若可以很方便的融券做空，那麼，投資者看到這張表格後將會極大歡喜，因為通過與前述所描述的操作相反即融券做空、買入Call和賣出Put將會有非常多的無風險套利機會，這種套利機會的存在又會迫使標的價格趨於一個更為合理的區間。因此，通過分析，也說明了成熟市場該有的規律：如果市場多空雙方力量能夠得到均衡，衍生品市場發展足夠強大，那麼市場的效率將會更高，自我調節的能力將會更強。

通過數據的捕捉，我們發現，在這麼多的交易時間和執行價格里，12月50ETF期權只有兩對出現了比較好的無風險套利機會，分別是2015年11月12日執行價為3.3的期權和2015年11月9日執行價為3.4的期權。其中2015年11月12日執行價為3.3的期權無風險收益額是118元/張，無風險收益率為3.19%，2015年11月9日執行價為3.4的期權無風險收益額是227元/張，無風險收益率為5.57%。

表5:無風險收益額統計情況

表6:無風險收益率統計情況

下面以2015年11月9日執行價為3.4的期權為例來說明該無風險收益額和無風險收益率是怎樣得到的。

在11月9日這天，花費8550元買進一張Put，賣出一張Call收入97元，買進10000股50ETF，價格25320元，期初的支出25320+8550-97=33773元，在12月23日到期時，如果ETF價格大於3.4，Call 被行權賣出持有的ETF，Put不行權，最終得到34000元，如果ETF價格小於3.4，Call不被行權，Put行權賣出持有的ETF獲得34000元，因此，無風險套利利潤為34000-33773=227元，年化無風險收益率約為5.58%。

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