劉鋼 | 萬物皆數嗎？解讀易圖中的數字密碼
古希臘哲人畢達哥拉斯提出「萬物皆數」；
中國易經的陰陽爻也可看做數字0和1；
美國物理學家惠勒又提出「萬物源於比特」，
比特是用0和1這兩個數表示信息的最小單位。
本講試圖探究一下「萬物皆數」的理念，以期尋覓中西方的共通之處。
以下是劉鋼老師的精彩分享：
我講的是易經，講的是易圖,從數講易經、易圖。
因為這裡面涉及到數學問題，這裡面我有一點新的發現，有一點體會。我個人認為這是我最喜歡的研究，我在這兒吹一下，這是易學聯合會發的，因為我寫了「機器思維與信息的哲學考察與萊布尼茨二進位數和現代計算機科學的關係」這麼一篇文章，給我發了這麼一個獎，沒錢。
下面我就開始講，易經擴大到了一個學問，叫易學。秦始皇焚書唯一留下來的就是易經，因為它是占卜書，誰都能用。宋代的易學有一個大的「範式轉移」，就是從漢代以來的義理派轉向象數派。在象數派的轉向中，邵雍則是這次「範式轉移」的核心人物。他從象數學中發掘出易學的「數理派」為以後的「科學易」奠定了基礎（我的工作屬於數理派研究）。他很洒脫，終生治《易》，將漢代象數易和陳摶的道易相結合，並將其歸納到理學中，獨創「百源學派」，著有《皇極經世書》、《漁樵問對》以及《先天圖》等著作。他的象數學，宋、明、清有大批追隨者，綿延不絕，頗具影響。
邵雍
邵雍號稱是北宋五子之一，另四位是周敦頤、張載、程顥、程頤，其中只有邵雍被稱為數學家。比如說賣藝的要找一個祖宗，找誰呢？找東方朔。殺豬的找誰呢？找張飛。算命的找誰呢？就是他，是屬於祖宗一級的，從這兒傳過來的。算卦的有個文化藝術，說是他寫的，實際上邵雍不幹這個。
他是安樂窩裡的萬戶侯，
一去二三里，
煙村四五家，
亭台六七座，
八九十枝花，
是非常田園風格的境界，這是他寫的我很喜歡的一首詩，很淡雅。看一下他的身世，邵雍進了《宋史·列傳》，《列傳》講北海李之才，攝共城令，聞雍好學，嘗造其廬，謂曰：自聞物理性命之學乎」雍對曰，幸受教。乃事之才，受《河圖》、《洛書》、《宓義》八卦四十四卦圖象。初至洛，蓬蓽環堵，不蓽風雨，躬樵以事父母，雖平居屢空，而怡然有所甚樂，人莫能窺也，多其所自得者。這是什麼意思呢？就是李之才在共城，李之才在共城（新鄉輝縣市）做官，見邵雍對學問如此痴迷，很想收其為徒。邵雍便同意做李之才的弟子。雖然他拜李之才為師，但卻獨立思考，有很多成就都是他自己所獨創。邵雍的學問到了老年更是爐火純青。「及其學益老，德益邵，玩心高明，以觀夫天地之運化，陰陽之消長，遠而古今世變，微而走飛草木之性情，深造麯暢，庶幾所謂不惑，而非依仿象類、億則屢中者。」
邵雍淡泊名利，不為官位所誘惑，埋頭鑽研易。除了他的文字作品如《皇極經世·內外篇》、《漁樵問對》等，以數進道，這是邵雍的一個基本身世，他治學很厲害。
邵雍這個人年輕的時候也還是挺苦的，他到四十多歲才娶上老婆，而且連嫁妝都付不起，得子也很晚。他跟王安石、司馬光這些人，所謂的「大腕」大財主在一起，他們這些人給他買房子、置地，名字都是掛在別人名下，邵雍不要捐那些苛捐雜稅，就是作學問。
他的文字作品很重要，更重要的是他留下的傳世四幅易圖：《伏羲八卦次序圖》《伏羲八卦方點陣圖》《伏羲先天六十四卦次序圖》《伏羲先天六十四卦方點陣圖》。這幾張圖均載於南宋大儒朱熹的《周易本義》卷首傳世，這個書裡面在卷首選了五幅圖，其中有四幅就是邵雍的這四幅圖。
《伏羲八卦次序圖》
《伏羲八卦方點陣圖》
《伏羲先天六十四卦次序圖》
《伏羲先天六十四卦方點陣圖》
朱熹也是新儒學、新儒家，他的九本書，等於是當時讀書做官，就是參考書。你要想讀書做官，必須要熟讀那九本書，等於是高考教材，中舉才行，不會那幾本書就拉倒了。像《紅樓夢》裡面賈寶玉去讀那些上不了檯面的書，不是這樣的。朱熹他這個圖，通過《周易本義》卷首傳下來了，否則這個圖傳不下來。
《伏羲先天六十四卦方點陣圖》傳到了國外，是當初法國一個來華的傳教士叫白晉，他跟萊布尼茨有很多通信。他們除了來華研究還要定期寫報告給羅馬教庭，他就給萊布尼茨寄了這幅圖，萊布尼茨當時寫了一篇文章叫「數的新科學」，就提出了二進位的算式，逢二進一。
當時法國在科學上是最牛的，想當法國科學院的院士，他給了法國科學院。萊布尼茨據此發現他的二進位算術與先天圖的一致性。他能看出來有一致性，他就做了個註解。因為你那是純數學，如果不跟實際有任何關聯，純數學就沒有用。
我說易經不是二進位算術，我們什麼時候有1234這樣的計數？什麼時候採用阿拉伯計數的？我們好像一直是十進位。咱們以前用的度量衡是十進位，再以前是十六進位，沒有用過二進位。這個易圖雖然也是一陰一陽，但是它不是二進位，因為它讀法不一樣。比如說乾卦是從下往上讀的，初九，九二、九三、九四、九五、上九，它沒有123456。到坤卦也是這樣，都是從下往上讀的，我們不能說把它當做二進位來看，不是這樣。我們國家當然也有人死咬著了，我們現在用的計算機、手機，雖然也是二進位的，但是不是萊布尼茨的二進位，是用的布爾代數，應該承認這一點。
這是伏羲六十四卦次序圖，這是伏羲六十四卦方點陣圖，外邊是圓的，裡邊是方的，朱熹到死都沒看懂這張圖。
邵雍在《皇極經世書：觀物外卷》說，有意必有言，有言必有象，有象必有數，數立則象生，象生則言著彰，言著彰則意顯，象數則筌蹄也，言意則魚兔也，得魚兔而忘筌蹄可也，舍筌蹄而求魚兔，則未見其得也。
筌蹄是什麼？就是工具。象數是一個入理的工具，你失去這個工具你去想入理，從象數來講，他認為不太好。這個道理就錯了，你逮住魚和兔子忘記這個方法是可以的，你如果赤手空拳是逮不著魚和兔子的，但是你老是用數去幹什麼，你又入不了理，所以這個數也是一個工具，象和數也是一個工具，最後還在於理。他們理學講理在數先，還是講理的，這個理當然不是西方哲學的那種理，不是邏各斯，是天理的那個理。
人腦中的思想等，可用語言表達，因之就將其這畫出來，有了圖像，就可以把心想的意思畫出圖像編成數字。那麼反過來，數字就會還原成圖像，圖像又會轉變成語言，語言就會還原本來的思想。要實現這種意、言、象、數的互變，需要依靠用特殊的工具「天根月窟」來實現。天根（1），和月窟（0），僅用1和0這兩個數，反覆疊加，無窮變幻，即能實現意、言、象、數的互變。
這個思想如果要套現在整個的計算機這套東西的話，實際上也是這個意思。邵雍的《觀物外篇》也符合現在整個計算機運行過程的思想，包括多媒體、互聯網。已經有了這個想法，但是當時那個條件是沒辦法實現的，但是他還是這樣說了，而且用了天根和月窟，能夠互相變幻，可以實現。
邵雍是北宋時期的先天圖派（重點在數）的創始人。劉牧的河圖洛書派解易。使《周易》的符號體系達到數學上的邏輯完美。
邵雍在吸收了部分道家傳統的基礎上，託名伏羲，創造性地作伏羲八卦次序、伏羲八卦方位、伏羲六十四卦次序和伏羲六十四卦方位等圖。它們蘊含著數學意義。此四圖南宋朱熹錄於所著《周易本義》，才得以傳世。邵雍的創造使易圖得以體系化，為易學進行數理的研究奠定了基礎，從而使易學從戰國以來的哲理研究中開闢了一條數理研究的新路。
易學數理派側重研究《易經》的符號體系，甚至不問卦爻辭。這派可以說邵雍為先兆，以萊布尼茨為初端。易學研究又延伸出「科學易」。
上個世紀三四十年代出了一批成果。如周永暮的《孔子數理哲學初稿》、沈仲濤的《易卦與代數之定律》、薛學潛的《易與物質波量子力學》、丁超五的《科學的易》和劉子華的《八卦宇宙論與現代天文學》等。現在國內外有不少學者從物理科學、生命科學、系統科學以及計算機科學等角度研究《周易》。可以稱他們為易學的數理派了。
現在國內外有不少學者從物理科學、生命科學、系統科學以及計算機科學等角度研究《周易》，可以稱他們為易學的數理派了。劉子華他根據八卦預測出太陽系有十大行星，也是根據八卦的推理的。
到最近五六千年，太極生兩儀，一陰一陽。兩儀生四象，四象又生八卦，這是邵雍的八卦圖，就是先天八卦，伏羲應該是最早的。在此之前這些東西都沒有文字，都是圖，都是畫畫的。以前倉頡造字，那都是驚天地泣鬼神的事。六十四卦就是八卦重疊，什麼卦都可以按照這個去羅列。我們再往下講就是易經的易字有三個意思：變易、簡易、無易。
首先是變，窮則思變，歷次農民造反都是窮、餓，這才一下子變了。
變了以後求簡單，什麼簡單？放把火一燒，把宮殿燒了簡單。
無易，都想自己的江山萬年長。這三個易合起來說，我認為把中國這個情況，就是黃炎培講的走不出歷史的循環，易有非常重要的關係。楊振寧說中國人被易學、易經給害了。當然不是說別的國家不一樣，別的國家不是像中國這樣的戰爭，它是因為宗教。中國一些戰爭往往就是改朝換代，真正大的是漢朝，王侯將相寧有種乎。明朝李自成，皇帝在景山上弔死了，這都是改朝換代。當然我們現在都還是持有一種正面的態度，可是這個跟易有很大的關係，走不出易式循環。但是恰恰這又是中國人的思維定式，覺得這個事情該變變了。
怎麼變呢？到我們這兒看。邵雍在《觀物外篇》說，八卦，對立訊，得陽之多者也。跟看真，得陰之多者也，是以為天地用也。乾陽極，坤陰極，是以不用也。用這六個，那兩個不用。乾四分取一以與坤，坤四分取一以與陽，乾坤合而生六子，三男皆陽也，三女皆陰也。兌分巽陽與艮，坎分巽以奉離，震巽以二相否合而言之，陰陽各半，是以水火相生相剋，然後既成萬物也。這是邵雍本人對八卦的解說。
先天圖和後天圖的結構是這樣，凡是看到這種圖裡面把乾畫在這兒，坤畫在這兒都是騙人的，這是後天圖。而且陰陽魚也不一樣，先天圖是橫的，後天圖是豎的。有許多人分不出來，其實懂點易的話，要知道他的序結構，強調方位。
它最大的區別，先天八卦是以天干分野，後天八卦是以地支分野，一個天、一個地不一樣，它是翻天覆地的。邵雍這個人偉大就偉大在這兒，他把後天八卦翻過來了，從地翻天上去了，這是邵雍很有意思的一個貢獻，所以朱熹看不懂他的卦。現在我們有許多人根據易經講易經，沒有跳出來。
「陰爻和陽爻構成萬物」的思想給了萊布尼茲巨大的啟發，聯想到他的研究領域「數字」，深厚的哲學素養使他立刻領悟到如果陰爻代表「0」，陽爻代表「1」，那麼來自中國的這幅圖不就是在說所有的數字可以用「0」和「1」來表示嗎？萊布尼茨恍然大悟，原來十進位是逢十進一，二進位逢二進一就可以了。
其實無論古今中外，人們都生活在同一個宇宙里，易道廣大，無所不包，而體一用百，西方人通過對它的領悟，發現「0」與「1」就是數的全部，創造出現代計算機的基礎——二進位；孔子將對它的領悟總結為「易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶生大業」，並將他對萬物類「象」的認識總結在了《說卦傳》中；老子則以「道生一，一生二，二生三，三生萬物」來作為「道」的闡釋，如果把一、二、三分別看成2的N次方，則正好與兩儀、四象、八卦相對應。
萊布尼茨這個人思想很活躍，他有時候順手就把思想記下來了，有時候他就忘了。萊布尼茨寫了很多東西，亞里士多德以來的第二個百科全書式的一個人物就是他。想當年二次世界大戰的時候，萊布尼茨檔案館希特勒專門在那兒看這個，當時美國的希爾曼坦克跟這個不一樣，所以德國人對萊布尼茨很重視。他看了這個圖以後，我說他是誤讀了二進位先天圖，還是當上了院士。
先天圖和布爾格均強調次序關係，所以它們具有同構性，即它們之間在數學和邏輯上在本質上具有等價性。
以離散數學的格論為橋樑，我發現邵雍易圖和布爾代數兩者之間的存在著等價性。其意義如同萊布尼茨發現邵雍易圖與他的二進位算術的一致性一樣。但我的工作更具現實意義，因為現代的計算機用的演算法是布爾代數，而非萊布尼茨的二進位算術。
哈斯圖（Hasse diagram）在數學分支序理論中，用來表示有限偏序的一種數學圖表。它是一種以圖形形式的對偏序集的傳遞簡約。最重要的作用就是判斷最大下界和最小上界。
若（?x）(x∈B→b≤x）為真，則稱b是B的下界
若（?x）(x∈B→x≤b）為真，則稱b是B的上界
若b是一個下界且對每一個B的下界有b≤ b』,則稱b為B的最大下界或下確界（記為glb）。
若b是一個上界且對每一個B的上界b有b』≤ b，則稱b為B的最小上界或上確界（記為lub）。
為什麼拿這個標準圖表來用呢？就是和先天八卦正好能對上。我們再反過來看看，乾是上界，坤是下界，這是典型的哈斯圖。這是布爾格的哈斯圖，哈斯圖的用處就是這個。
我們現在再來看看什麼是格？
格有兩個部分，一個是偏序，偏序有三個條件：
（1）a≤a：（自反性）
（2）若a≤a且b≤a則a=b；（反對稱性）
（3）若a≤a且b≤a則a≤b；（傳遞性）
則稱之為偏序，稱為偏序集
若偏序集中任意兩個元素a, b都有最小上界(lub{a, b})和最大下界(glb{a, b}), 則稱是格(lattice)，這便是格的定義。
下面是一個子格，什麼叫子格？就是格的子代數。設
設L1和L2是格，f：L1 → L2
若?a,b∈ L有
f(a∧b) = f(a)∧f(b)
f(a∨b) = f(a)∨f(b)
格同態有一個很重要的特點就是保序。
設f是格L1到L2的映射（mapping），則
（1）若f為格同態映射，則f保序（order-preserving），即（?x,y∈L1）（x ≤ y → f（x）≤ f（y））
（2）若f為雙射（bijection），則f為格同態映射，即格同構（isomorphsm）當且僅當（?x,y∈L1）（x ≤ y ? f（x）≤ f（y））
布爾格就是布爾代數，是離散數學的格論中的一類特殊的格，即有補分配格。1938年香農用在電路設計上，這才給布爾代數找到了應用的前景。香農是資訊理論的創始人，布爾代數有了用武之地，從此之後計算機整個信息時代通過布爾代數的應用跨過來了。
接下來簡單介紹分配格、有界格、有補格。
以圖片的形式進行介紹
在格論中，布爾代數又稱布爾格，每個元素都存在著唯一的補元。可以把求補元的運算視為布爾代數中的一元運算。
最後，形成一個所謂的格倫大家庭。
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