你知道哪些神奇的數字？

西西弗斯串

在古希臘神話中，科林斯國王西西弗斯被罰將一塊巨石推到一座山上，但是無論他怎麼努力，這塊巨石總是在到達山頂之前不可避免地滾下來，於是他只好重新再推，永無休止。著名的西西弗斯串就是根據這個故事而得名的。

什麼是西西弗斯串呢？也就是任取一個數，例如35962，數出這數中的偶數個數、奇數個數及所有數字的個數，就可得到2（2個偶數）、3（3個奇數）、5（總共五位數），用這3個數組成下一個數字串235。對235重複上述程序，就會得到1、2、3，將數串123再重複進行，仍得123。對這個程序和數的"宇宙"來說，123就是一個數字黑洞。

是否每一個數最後都能得到123呢？用一個大數試試看。例如：88883337777444992222，在這個數中偶數、奇數及全部數字個數分別為11、9、20，將這3個數合起來得到11920，對11920這個數串重複這個程序得到235，再重複這個程序得到123，於是便進入"黑洞"了。

這就是數學黑洞"西西弗斯串"。

孔雀開屏數： （20＋25）的平方=2025

類似的數還有兩個：

（30＋25）的平方=3025

（98＋01）的平方=9801 與此相類似的還有：

（2 4 0 1）的4次方=2401

（5 1 2）的立方=512

（8 1）的平方=81

回歸數

英國大數學家哈代（G.H.Hardy,1877-1947）曾經發現過一種有趣的現象:

153=1^3 5^3 3^3

371=3^3 7^3 1^3

370=3^3 7^3 0^3

407=4^3 0^3 7^3他們都是三位數且等於各位數字的三次冪之和,這種巧合不能不令人感到驚訝.更為稱奇的是,一位讀者看過哈代的有趣發現後,竟然構造出其值等於各位數字四（五,六）次冪之和的四（五,六）位數:

~ 1 / 9 ~

1634=1^4 6^4 3^4 4^4

54748=5^5 4^5 7^5 4^5 8^5

548834=5^6 4^6 8^6 8^6 3^6 4^6注:3位3次冪回歸數又稱位「水仙花數」

像這種其值等於各位數字的 n 次冪之和的 n 位數,稱為 n 位 n 次冪回歸數.本文只討論這種回歸數,故簡稱為回歸數,人們自然要問:對於什麼樣的自然數 n 有回歸數?這樣的 n 是有限個還是無窮多個?對於已經給定的 n ,如果有回歸數,那麼有多少個回歸數?

1986年美國的一位數學教師安東尼.迪拉那（Anthony Diluna）巧妙地證明了使 n 位數成為回歸數的 n 只有有限個.

設 An 是這樣的回歸數,即:

An=a1a2a3...an=a1^n a2^n ... an^n （其中 0<=a1,a2,...an<=9）從而 10^n-1<=An<=n9^n 即 n 必須滿足 n9^n>10^n-1 也就是 （10/9）^n<10n （1）

隨著自然數 n 的不斷增大,（10/9）^n 值的增加越來越快,很快就會使得（1） 式不成立,因此,滿足（1）的 n 不能無限增大,即 n 只能取有限多個.進一步的計算表明:（10/9）^60=556.4798...<10*60=600 （10/9）^61=618.3109...>10*61=610對於 n>=61,便有 （10/9）^n>10n由此可知,使（1）式成立的自然數 n<=60.故這種回歸數最多是60位數.

迪拉那說,他的學生們早在1975年藉助於哥倫比亞大學的計算機得到下列回歸數:

一位回歸數:1,2,3,4,5,6,7,8,9

二位回歸數:不存在

三位回歸數:153,370,371,407

四位回歸數:1634,8208,9474

五位回歸數:54748,92727,93084

六位回歸數:548834

七位回歸數:1741725,4210818,9800817