科學網—量子糾纏可能並不神秘：用數學解釋物理

楊義先  教授

北京郵電大學信息安全中心主任

公共大數據國家重點實驗室主任

摘要：在微觀物理學中，有許多稀奇古怪的現象，搞得老百姓莫名其妙；其實許多物理學家也只是知其然，卻不知其所以然。於是，便有人（甚至是非常牛的科學家）搬出了萬能的上帝。下面我們也請出一位真上帝，求它幫我們解釋諸如電子能級躍遷、波粒二象性、量子糾纏等微觀物理學中最懸幻的三個問題。這位真上帝，名叫數學；它將用幾乎同樣的一句話，就統一揭示了所有這些懸幻的奧秘。希望下面的歪解能讓您腦洞大開，哪怕你拿它當作一段相聲。

（一）序趣

曾經有位不懂光學，不懂磁學，不懂電學的小夥子，僅用一個數學公式，就把光學、電學、磁學給融為一體了。這個小夥子，就是後來的全能物理學家麥克斯韋；那個數學公式，就是大名鼎鼎的麥克斯韋方程。

曾經還有一位「民科」，利用業餘時間，用另一個數學公式，揭示了物理世界中最深奧的物質/能量關係。這位「民科」，就是差點成為以色列總統的愛因斯坦；這個數學公式，就是婦孺皆知的E=mC²。

由此可見，對數學這個上帝，千萬別怠慢。要時時真心燒香，天天虔誠叩頭。若能持之以恆，保准有求必應；比如，楊傻子我吃齋念佛後，在研究《安全通論》[2,3]時，竟也意外「通」到了另一個世界，偶然掏到了一件「古董」。

本來沒想公開此「古董」，因為擔心它是贗品；但讀罷薛定諤的《生命物理學講義》後，我就豁出去了。既然老薛在創立了量子力學並獲諾獎後，都膽敢不顧聲譽，竟像「民科」一樣，問出一堆石破天驚的外行問題：物理化學定律為啥在生命中失效，生命是什麼，生命有靈魂嗎等。更神奇的是，薛定諤的這本不著邊際的書，竟然指引另一位科學家沃森，獲得了諾貝爾生理和醫學獎！

雖然楊傻子的聲譽一錢不值，我也沒奢望用該「古董」誘發別人獲什麼獎，但是，作為本序趣的結尾，我還是要照抄薛定諤同志在《生命物理學》[1]一書的自序第一句話：「通常人們會認為，科學家作為在自己的研究領域擁有淵博的第一手知識的權威，是不會隨便在自己不精通的領域著書立說的，也就是說高聲望者肩負重責。然而，為了能夠完成這本書，我懇請抹去我身上所有的聲望---倘若真的有的話，這樣也就可一併抹去與之相隨的重任。」

（二）微分方程組基礎

數學家可以忽略此節；有特殊需求者，可查閱任何一本微分方程組的教材，比如[3]的第6章。此處，我們只用最形象、最簡捷的語言，複述對後面最有用的部分精華。

1階微分方程組dX/dt=F(X,t)中，有一族很特別的類，名叫自治方程組，其中時間t不再以顯式出現，因此它形如dX/dt=F(X)。此處X和F都是n維向量。

結論1，任何自治的高階微分方程，都可以等價地轉化為某個高維自治的1階微分方程組。

在微分方程組dX/dt=F(X)中，滿足F(X)=0的點稱為奇點。奇點又分為結點（含退化結點和奇結點等）、鞍點、焦點、中心點等，不過，本文感興趣的點只是如下「高密集點」：結點、穩定的退化結點、穩定的奇結點、焦點和中心點（注意：我們放棄了不穩定的退化結點、不穩定的奇結點、鞍點等）。這是因為有，

結論2，在「高密集點」的任何無窮小的鄰域內，都有微分方程組dX/dt=F(X)的無窮多條解軌線匯聚其中。這些解曲線的密集程度之高，甚至可能填滿某個測度大於0的區域，以至於能從物理上觀測到這些點的密集鄰域的存在。

注意：1）這裡n維函數列向量X=X(t)是dX/dt=F(X)的解軌線，意味著它滿足dX(t)/dt=F(X(t))。2）數學上純粹的點和線，都是沒有直徑和寬度的，或者說，其測度是0，你根本看不見；但是，當這些點足夠多，填滿了某個平面時，你就看得見了，更可用物理設備檢測出來了。3）物理中的粒子雖小，但是，在數學家的「點」面前，就像是老鼠眼中的大象；粒子運動的軌線雖細，但是，在微分方程組的解軌線面前，就像是小蚯蚓眼中的大蟒蛇。

結論3，如果F(X)在有限區域內連續且有連續偏導，那麼對於任何點X₀，微分方程組dX/dt=F(X)都有且只有一條解軌線經過此點。而且，除了奇點之外，任何點X₀附近的解軌線都不再密集，更準確地說，如果某條解曲線滿足：當t→∞時，X(t)→X₀，那麼，X₀就一定是奇點。

綜合結論2和結論3，便可形象地說：除了「高密集點」附近之外，微分方程組dX/dt=F(X)的解軌線都是物理上不可測量的，雖然軌線確實存在，其實至少有一根軌線。

（三）微觀物理三大怪象

物理學家可以忽略此節；有特殊需求者，可查閱大學物理專業的相關教材。此處，我們也只用最形象、最簡捷的語言，複述微觀物理中的相關魔幻現象。它們的正確性是毋庸置疑的，因為，全球物理學家們已經無數次地對這些現象進行了驗證，並已經給出了也許只有權威物理學家才懂的、個案性的「知其然」解釋。

怪象1：電子的能級躍遷，即，電子在圍繞原子核旋轉時，其軌跡是不連續的，它會突然從一個能級跳躍到另一個能級，不會有中間狀態。

圖1：單電子原子的運動模型

物理學家們用氫原子模型對怪象1給出了長篇大論的解釋。既然楊傻子我看不懂，也就不敢胡亂評論，只截屏了其中最關鍵的一張照片（見圖1）。但是，從該照片中我卻注意到（見紅色框部分）：電子圍繞原子核運轉時，軌道直徑r和軌道夾角θ,φ滿足一個自治的2階微分方程。因此，根據結論1，該2階微分方程可以轉化為某個高維1階微分方程組，即，r, θ,φ滿足某個微分方程組dX/dt=F(X),X=(r,θ,φ,…)^T。

怪象2：波粒二象性，即，所有的粒子或量子，不僅具有粒子的特性，而且也具有波的特性。物理學家們用定態薛定諤方程來解釋了該怪象（見下面的截屏照片圖2）。

圖2：波函數所滿足的定態薛定諤方程

雖然我仍然看不懂物理學家們的解釋，但是，有如下兩點還是清楚的：

1）粒子在勢場中的運動，滿足圖2中的定態薛定諤方程，從中可以求解出波函數Ψ，所以，粒子就是波，而且還是由Ψ所描述的波。因此，下一小節就不再重複解釋了。

2）波函數Ψ滿足的方程，是圖2中的這個2階自治微分方程，因此，根據結論1，該2階微分方程可以轉化為某個高維1階微分方程組dX/dt=F(X),其中X=(x,y,z,…)^T,並且x,y,z是包含在波動方程Ψ內的三維位置坐標。

怪象3：量子糾纏，即，在一定條件下發生過關係的兩個粒子，分開以後不管距離多遠，它們的關係會一直存在，當你改變一個粒子的狀態時，另一個粒子也會響應，而且反應速度是瞬間的。

這可能是物理學中最詭異的現象了，查遍所有資料，我都沒有找到簡捷合理的解釋；反而像是什麼神啦、鬼啦、靈異啦、上帝啦、意識本質啦、平行世界啦等超自然的解釋，卻層出不窮。楊傻子是絕對外行，不敢妄議這些解釋。但是，我卻注意到：當兩個量子x₁,x₂產生糾纏時，滿足如下積分公式

Ψ(x₁,x₂)=∫exp[ip(x₁-x₂+x₀)/h]dp

其中糾纏形成的波函數Ψ(x₁,x₂)不能分解成x₁和x₂的函數的乘積，即，對任何f(x₁)和g(x₂)都有Ψ(x₁,x₂)≠f(x₁)g(x₂)。這裡x₁=(x₁₁,x₁₂,x₁₃),x₂=(x₂₁,x₂₂,x₂₃)表示這兩個相互糾纏的粒子x₁和x₂的位置坐標。

糾纏時的積分方程，顯然可以轉化為微分方程。其實，很可能在量子理論的專業書籍中，應該是先有微分方程，對它求解後才得到了該積分方程；不過，幸好微分方程和積分方程誰先誰後，對我們下一節的解釋都無關緊要，反正這不影響如下事實：糾纏的量子x₁和x₂將滿足某個自治微分方程組dX/dt=F(X)（其中X=(x₁,x₂,…)=(x₁₁,x₁₂,x₁₃; x₂₁,x₂₂,x₂₃;…)）就夠了。

（四）物理怪象的一句話數學解釋

基於前面兩節的數學和物理知識，現在就來給出微觀物理中，上述魔幻現象的數學解釋；形象地說，其實我們幾乎只用了同樣一句咒語，就把所有這些怪獸給打回了原形。原來，在數學家眼裡，這些現象都只不過是家常便飯而已，完全沒必要大驚小怪。

怪象1的數學解釋：電子的能級躍遷，可能是微觀物理的任何初學者，首次感到的最不可思議的事情；因為，它與日常生活經驗格格不入：不積跬步,竟然也能行至千里！

其實，數學解釋可以是這樣的：既然電子圍繞原子核運轉時，軌道直徑r和軌道夾角θ,φ滿足自治的微分方程組dX/dt=F(X),X=(r,θ,φ,…)^T。於是，在可能的幾個奇點(F(X)=0)附近，電子高度密集地經過（雖然軌線互不相交），以至於填滿了「高密集點」鄰域的某塊測度大於0的區域，從而使其成為可被從物理上觀測到的「電子云」。除了這些「電子云」之外，電子的軌線（即，上述微分方程組的解曲線）就突然變得相當稀薄了，以至於物理上不可觀測。於是，便造成了這樣的錯覺：電子好像從一塊雲，躍遷到另一塊雲，而沒經過中間過程。更進一步地，在各個高度密集的奇點附近，解軌線的密度其實也互不相同，所以，電子云的能級也就互不相同了。

如果我的上述解釋還不夠清楚的話，那麼就來聽一個故事：你平常很難看見蝗蟲的影子，但某天突然發現它們密集地從天而降，吃光了你家的農田；然後，又突然消失，接著又突然出現在鄰村。沒人看見它們的飛行軌跡，就好像它們在做「電子躍遷」一樣，突然從一個村，跳躍到另一個村，沒有中間過程。其實，不是沒有中間過程，而是中間過程太稀薄，以至於不可觀察而已。

怪象2的數學解釋：波粒二象性也完全打破了老百姓的日常經驗，讓人很蒙圈：光怎麼會像芝麻那樣是粒子呢？一顆一顆的粒子，咋又成了波呢？

由於「粒子就是波」的結論，已在上一小節說過了，所以，現在只用數學方法來解釋「波就是粒子」：既然波動軌跡滿足微分方程組dX/dt=F(X)，那麼，與怪象1中的解釋一樣，這些軌跡也將只能高度集中於某些滿足F(X)=0的奇點附近，或者說，波的能量也將只能高度集中於這些「高密集點」附近。假若在某點的任意小鄰域中，能量已聚焦到足夠強的、可被物理檢測出來的E>0，那麼，根據愛因斯坦方程E=mc²,在該點鄰域內，其實就相當於已形成了一個質量為m=Ec^-2的粒子了！

綜合而言，其實我們給出了一個更普遍的解釋：波和粒子可以是一回事。

怪現象3的數學解釋。為了易於理解，我們首先複述一個純數學事實：如果Y=(y₁,y₂,…)是微分方程組dX/dt=F(X)的一條解軌線，即，dY/dt=F(Y)；那麼，對Y中的任何一個足標被變動後，比如將y_i變為a_i，那麼，即使Y中的其它足標都保持未變，那麼Y^*=(y₁,y₂,…,y_i-1,a_i,y_i+1,…)就不再是原來的那條解軌線了；換句話說，原來的那條解軌線就不會再經過Y^*點了。如果這條軌線是粒子的運動軌線，那麼，你若仍然守在Y^*處，就再也看不到那個粒子了；這就像是守株待兔一樣。

純數學事實說清後，回頭再說量子糾纏就容易了。因為，既然兩個粒子x₁=(x₁₁,x₁₂,x₁₃),x₂=(x₂₁,x₂₂,x₂₃)相互糾纏意味著滿足微分方程組dX/dt=F(X)，這裡X=(x₁,x₂,…)=(x₁₁,x₁₂,x₁₃;x₂₁,x₂₂,x₂₃;…)，那麼，當你變動任何一個粒子時，就相當於變動了解軌線X中的3個足標（比變動一個足標更嚴重），所以，當你仍然守在原來的位置時，那隻「兔子」（這兩個粒子糾纏後的共同體）就不見了，於是，另一個粒子也就被改變了。

其實上述解釋，不僅僅適用於兩個量子的糾纏。無論有多少個量子，比如x₁,x₂,…,x_n，只要它們能夠相互糾纏（相應的波函數Ψ(x₁,x₂,…,x_n）不可分解)，並滿足某個自治的微分方程組dX/dt=F(X)，那麼，它的解曲線X=(x₁,x₂,…,x_n，…)中的任何一個坐標都不能被變動，否則其它粒子都會跟著動，因為，它們也是作為一個整體滿足微分方程組的。

附件：

量子糾纏還有另一個科普性的解釋，它雖非本文的主體，但也在此順便介紹，就算供大家娛樂一下吧。

首先，有這樣一個容易理解的事實：雖然不可能在同一個時間，不同地點，逮住同一條狗；但卻可以聽見這同一條狗的叫聲，因為聲音是波。當你再試圖用雞聲去干擾犬吠時，便可將原來的狗叫聲，合成了一曲鄉村交響樂。

其次，根據圖2可知，當兩個粒子x₁和x₂相互糾纏後，它們就形成了一個由波函數Ψ(x₁,x₂)所描述的波（相當於那條狗的叫聲）。如果你改變任何一個粒子（相當於加點雞叫聲），波函數Ψ(x₁,x₂)也就被改變（相當於合成了那曲鄉村交響樂）。

歪解完畢，信不信由您。謝謝！

參考文獻

[1]薛定諤，生命物理學講義，北京聯合出版公司出版，2017年4月第1版，北京。

[2]楊義先，鈕心忻，安全通論，電子工業出版社，2018年出版，北京。

[3]楊義先，鈕心忻，黑客管理學，電子工業出版社。

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