對於5子棋的大範圍思考以及對於M維N子棋的推廣

關於正交棋盤上的M維容量為P，目標質量為Q的K階N子棋的討論

前言：

五子棋是我們身邊常見一種遊戲，遊戲規則大家相當熟悉。

那我們就產生了疑問。首先，應該能想到的就是4子棋，6子棋。

經過和基友的實戰，我們發現對於兩個水平類似的對手2維4子棋可以在十步以內決出勝負。往往先手的一方可以達成同時兩個2，則達到必勝。那麼這種棋類是否可以推廣？經過資料查詢，思考和實戰，我們得到結論：這種棋類遊戲可以推廣為：正交棋盤上的M維容量為P，目標質量為Q的K階N子棋。（K為自然數）。接下來我會儘可能完備的介紹推廣的思路。詣在拋磚引玉。

不同參量的引入

正交或三角棋盤，顯然就二維平面上正交排列就為傳統的五子棋棋盤，三角則為跳棋式的棋盤。對於三角棋盤由於不便推廣到高維，之後的討論僅限於正交M維棋盤。

對於這一點大家很容易想像。和基友實戰檢驗發現三角棋盤上由於每個子可有3個方向少於正交的4個因此達成5子略微簡單。只是為何流傳開的是正交棋盤而不是三角棋盤大概是歷史原因。

維度

顯然，平時我們進行的棋類遊戲大多為二維的，而三維5子棋也容易想像。將傳統的5子棋推廣向三維後大家應該能發現由於每個子可有13個方向，因此想要阻止先手達成5個難度大幅增加。我們可以通過增加N的數量來進行平衡。不過這也會使遊戲十分冗長。

因此我們可以一步下2個子

於是這便是階數K。事實上目前已有6子棋。併產生了詳細完善平衡的規則，大家百度就可知道。與傳統的5子棋想必就是首先達到6子不過下棋的時候採用1—2—2—2….的方式。這樣就保證每方結束後都比對方多一字，相比5子棋平衡度大幅上升。大家有興趣不妨一試。

N子棋

這其實不只是幾個子連起來的這麼簡單，而是「勝利條件中連續出現己方子的子位數量為N。」引入容量和目標質量之後，就能明白這種定義方式。

容量

既一個子位上最大容納子的個數，目前大多數連珠棋類遊戲都是容量為1的。顯然就是不能疊加棋子，一個位置上放一個子。

目標質量

既一條線上己方子的總數量。顯然目標質量不能超過容量乘以N。不然無法達到勝利條件。

運用這些概念我們發明了一種新的連珠棋。可以被成為：

正交棋盤上2維，容量為2，目標質量為6的2階4子棋。

就是說一個位置上可以下兩個子，每次下1—2—2—2—個子，只要有自己的子，這個子位就可以被計入。同時顯然要在4個子位上下滿8個子太容易被阻止，因此改為質量為6，就是說連續一排子中，當有連續4個子位上己方的子數量和達到6既獲勝。

如圖 12處的子位各有黑白棋一個，3處有兩個黑子，4處有一個白字。

顯然在314這一斜拍上黑子白子都無法完成目標了。

如下圖 536處的白字質量已經達到5接下來黑子一步之內無法阻止白子完成目標了。

這種遊戲方式十分有趣，可以說設定為容量為2是條件所迫，而質量為6則是運氣正好。如果要在4個子位上放8個沒有意義，7個太難，5個太簡單。大家不妨嘗試一下。

對於這個問題思考的初衷是這樣的：為什麼我們玩的是5子棋而不是4子棋6子棋？

我認為是達成5子連續所需的難度適中。就是說，每盤5子棋完成步數大約都在一個可以接受的範圍內。那麼引入這些參量後，這個期望步數和這些參量有何關係？

第二個問題是：這種遊戲有沒有固定的公式？事實上目前5子棋已經有類似的套路或者說打法。大多數情況下先手的勝率能達到70%（這個數據來自百度）而比賽中是通過禁手等人為規則來保證平衡性的。正是由於5子棋已經被前人研究透徹，才導致了2階6子棋的橫空出世。新出現的2階6子棋目前看來平衡有趣。那麼如果這個遊戲被廣泛接收一段時間後是否也會步5子棋的後路，以至於有新的連珠棋類出現？這種迭代是否是無限的？（LZ開始妄想）

總之這是一個十分有意思的課題，目前也找不到什麼成熟的研究成果。鑒於本人數學程度很低，難以獲得實在的結論。同時我也覺得開拓一下思路是十分有益的。

同時也十分感謝@董佳麒.Happy 學長的狀態，前幾日看到他對於M維N子棋的討論後陷入沉思，洗澡時不小心塗了兩次洗髮膏。

如有任何意見也請希望指出。