圓柱螺旋壓縮（拉伸）彈簧的設計計算

(一)幾何參數計算

　　普通圓柱螺旋彈簧的主要幾何尺寸有：外徑D、中徑D2、內徑D1、節距p、螺旋升角α及彈 簧絲直徑d。由下圖圓柱螺旋彈簧的幾何尺寸參數圖可知，它們的關係為：

　　式中彈簧的螺旋升角α，對圓柱螺旋壓縮彈簧一般應在5°～9°範圍內選取。彈簧的旋向可以是右旋或左旋，但無特殊要求時，一般都用右旋。　　　　　　　　　　　　　　　　　　

圓柱螺旋彈簧的幾何尺寸參數

　　普通圓柱螺旋壓縮及拉伸彈簧的結構尺寸計算公式見表(普通圓柱螺旋壓縮及拉伸彈簧的結構尺寸（mm）計算公式)。

普通圓柱螺旋壓縮及拉伸彈簧的結構尺寸（mm）計算公式

(二)特性曲線

(三) 圓柱螺旋壓縮(拉伸)彈簧受載時的應力及變形

　　圓柱螺旋彈簧受壓或受拉時，彈簧絲的受力情況是完全一樣的。現就下圖<圓柱螺旋壓縮彈簧的受力及應力分析>所示的圓形截面彈簧絲的壓縮彈簧承受軸向載荷P的情況進行分析。

　　由圖<圓柱螺旋壓縮彈簧的受力及應力分析a>(圖中彈簧下部斷去，末示出)可知，由於彈簧絲具有升角α，故在通過彈簧軸線 的截面上，彈簧絲的截面A-A呈橢圓形，該截面上作用著力F及扭矩

。因而在彈簧 絲的法向截面B-B上則作用有橫向力Fcosα、軸向力Fsinα、彎矩M=Tsinα及扭矩Tˊ= Tcosα。 由於彈簧的螺旋升角一般取為α=5°～9°，故sinα≈0；cosα≈1(下圖<圓柱螺旋壓縮彈簧的受力及應力分析b>)，則截面B-B上的應力(下圖<圓柱螺旋壓縮彈簧的受力及應力分析c>)可近似地取為

　　式中C=D2/d 稱為旋繞比(或彈簧指數)。為了使彈簧本身較為穩定，不致顫動和過軟，C值不能太大；但為避免卷繞時彈簧絲受到強烈彎曲，C值又不應太小。C值的範圍為4～16(表<常用旋繞比C值>), 常用值為5～8。

圓柱螺旋壓縮彈簧的受力及應力分析

常用旋繞比C值

　　為了簡化計算，通常在上式中取1+2C≈2C(因為當C=4～16時，2C>>l，實質上即為略去了 τp)，由於彈簧絲升角和曲率的影響，彈簧絲截面中的應力分布將如圖<圓柱螺旋壓縮彈簧的受力及應力分析>c中的粗實線所示。由圖可知，最大應力產生在彈簧絲截面內側的m點。實踐證明，彈簧的破壞也大多由這點開始。為了考慮彈簧絲的升角和曲率對彈簧絲中應力的影響，現引進一個補償係數K(或稱曲度係數)，則彈簧絲內側的最大應力及強度條件可表示為

　　式中補償係數K，對於圓截面彈簧絲可按下式計算：

　　圓柱螺旋壓縮(拉伸)彈簧受載後的軸向變形量λ可根據材料力學關於圓柱螺旋彈簧變形量的公式求得:

　　式中：n—彈簧的有效圈數；
　　　　　G—彈簧材料的切變模量，見前一節表<彈簧常用材料及其許用應力>。如以Pmax代替P則
　　　　　　 最大軸向變形量為：

　　　　1) 對於壓縮彈簧和無預應力的拉伸彈簧： 　

　　　　2）對於有預應力的拉伸彈簧： 　

　　拉伸彈簧的初拉力(或初應力)取決於材料、彈簧絲直徑、彈簧旋繞比和加工方法。

　　用不需淬火的彈簧鋼絲製成的拉伸彈簧，均有一定的初拉力。如不需要初拉力時，各圈間應 有間隙。經淬火的彈簧，沒有初拉力。當選取初拉力時，推薦初應力τ0"值在下圖的陰影區內選取。

　　彈簧剛度是表徵彈簧性能的主要參數之一。它表示使彈簧產生單位變形時所需的力，剛度愈大，需要的力愈大，則彈簧的彈力就愈大。但影響彈簧剛度的因素很多，由於kp與C的三次方成反比，即C值對kp的影響很大。所以，合理地選擇C值就能控制彈簧的彈力。 另外，kp還和G、d、n有關。在調整彈簧剛度時，應綜合考慮這些因素的影響。

（四) 承受靜載荷的圓柱螺旋壓縮(拉伸)彈簧的設計

　　彈簧的靜載荷是指載荷不隨時間變化，或雖有變化但變化平穩，且總的重複次數不超過

次的交變載荷或脈動載荷而言。在這些情況下，彈簧是按靜載強度來設計的。

　　在設計時，通常是根據彈簧的最大載荷、最大變形、以及結構要求(例如安裝空間對彈簧尺寸的限制)等來決定彈簧絲直徑、彈簧中徑、工作圈數、彈簧的螺旋升角和長度等。

　　具體設計方法和步驟如下:

　1) 根據工作情況及具體條件選定材料，並查取其機械性能數據。

　2) 選擇旋繞比C，通常可取C≈5～8(極限狀態時不小於4或超過16)，並算出補償係數 K值。

　3) 根據安裝空間初設彈簧中徑D2，乃根據C值估取彈簧絲直徑d，並查取彈簧絲的許用應力。

　4) 試算彈簧絲直徑d " 　　　　

　　必須注意，鋼絲的許用應力決定於其σB，而σB是隨著鋼絲的直徑變化的,又因[τ]是按估取的d值查得σB的H計算得來的，所以此時試算所得的d "值，必須與原來估取的d值相比較，如果兩者相等或很接近，即可按標準圓整為鄰近的標準彈簧鋼絲直徑d，並按D2=Cd 以求出 ；如果兩者相差較大，則應參考計算結果重估d值，再查其而計算[τ]，代入上式進行試算，直至滿意後才能計算D2.計算出的D2，值也要按表<普通圓柱螺旋彈簧尺寸系列>進行圓整。

　5) 根據變形條件求出彈簧工作圈數：

　對於有預應力的拉伸彈簧　　　　　　　　

　對於壓縮彈簧或無預應力的拉伸彈簧　　　

　6) 求出彈簧的尺寸D、D1、H0,並檢查其是否符合安裝要求等。如不符合，則應改選有關參數(例如C值)重新設計。

　7) 驗算穩定性。對於壓縮彈簧，如其長度較大時，則受力後容易失去穩定性(如下圖a)，這在工作中是不允許的。為了便於製造及避免失穩現象，建議一般壓縮彈簧的長細比b=H0/D2按下列情況選取：

　當兩端固定時，取b<5.3；

　當一端固定，另一端自由轉動時，取b<3.7；

　當兩端自由轉動時，取b<2.6。

壓縮彈簧失穩及對策

　當b大於上述數值時，要進行穩定性驗算，並應滿足

　　　　　　　　　Fc=CukpH0>Fmax　　　　　　

　式中：Fc——穩定時的臨界載荷；

　　　　Cu——不穩定係數，從下圖<不穩定係數線圖>中查得；

　　　　Fmax——彈簧的最大工作載荷。

　　如 Fmax>Fc時，要重新選取參數，改變b值，提高Fc值，使其大於Fmax值，以保證彈簧的穩定性。如條件受到限制而不能改變參數時，則應加裝導桿(如上圖b)或導套(如上圖c)。導桿(導套)與彈簧間的間隙c值(直徑差)按下表(導桿（導套）與彈簧間的間隙表)的規定選取。

不穩定係數線圖

導桿（導套）與彈簧間的間隙

　8) 進行彈簧的結構設計。如對拉伸彈簧確定其鉤環類型等，並按表<普通圓柱螺旋壓縮及拉伸彈簧的結構尺寸（mm）計算公式>計算出全部有關尺寸。

　9) 繪製彈簧工作圖。

例題 設計一普通圓柱螺旋拉伸彈簧。已知該彈簧在-定載荷條件下工作，並要求中徑D2≈18mm，外徑D≤22mm。當彈簧拉伸變形量λ1=7.5mm時，拉力P1=180N，拉伸變形量λ2=17mm時，拉力P2=340N。

[解]

1．根據工作條件選擇材料並確定其許用應力

　　因彈簧在一般載荷條件下工作，可以按第Ⅲ類彈簧考慮。現選用Ⅲ組碳素彈簧鋼絲。並根據 D-D2≤22-18 mm=4 mm，估取彈簧鋼絲直徑為3.0mm。由表<彈簧鋼絲的拉伸強度極限>暫選σB=1275MPa，則根據表16-2可知[τ]＝0.5σB＝0.5×1275 MPa＝637.5 MPa。

2．根據強度條件計算彈簧鋼絲直徑

　　現選取旋繞比C=6，則得

　　於是有

　　改取d＝3.2mm。查得σB=1177MPa，[τ]＝0.5σB＝588.5MPa,取D2=18,C=18/3.2=5.625,計算得 K=1.253，於是

　　上值與原估取值相近,取彈簧鋼絲標準直徑d＝3.2mm(與計算值3.22mm僅差0.6％,可用)。此時D2＝18mm,為標準值,則

　　　　　　　D=D2+d=18+3.2 mm ＝21.2 mm<22 mm

　　所得尺寸與題中的限制條件相符，合適。

3．根據剛度條件，計算彈簧圈數n.

　　彈簧剛度為

　　由表<彈簧常用材料及其許用應力>取G=79000MPa,彈簧圈數n為

　　取n＝11圈； 此時彈簧剛度為

　　　　　kp=10.56×16.8/11 N/mm =16.12 N/mm

4．驗算

　　1） 彈簧初拉力

　　　　　P0=P1-kPλ1=180-16.12×7.5 N=59.1 N

　　　　初應力τ0"，得

　　　　當C＝5.62時，可查得初應力τ0"的推茬值為65～150MPa，故此初應力值合適。

　　2）極限工作應力τlim取τlim=1.12[τ]，則

　　　　　τlim=1.12×588.5 MPa=659.1 MPa

　　3）極限工作載荷

5.進行結構設計

　　選定兩端鉤環，並計算出全部尺寸(從略)。

6．繪製工作圖(從略)。

(五) 承受變載荷的圓柱螺旋壓縮(拉伸)彈簧的設計

　 對於承受變載荷的彈簧，除應按最大載荷及變形仿前進行設計外，還應視具體情況進行如下 的強度驗算及振動驗算:

1．強度驗算

　　承受變載荷的彈簧一般應進行疲勞強度的驗算，但如果變載荷的作用次數N≤

，或載荷變化的幅度不大時，通常只進行靜強度驗算。如果上述這兩種情況不能明確區別時,則需同時進行兩種強度的驗算。

　　1）疲勞強度驗算

　　下圖所示為彈簧在變載荷作用下的應力變化狀態。圖中H0為彈 簧的自由長度，P1和λ1為安裝載荷和預壓變形量，P2和λ2為工作時的最大載荷和最大變形量。當彈簧所受載荷在P1和P2之間不斷循環變化時，則可得彈簧材料內部所產生的最大和最小循環切應力為:

　MPa 　　

　MPa

彈簧在變載荷作用下的應力變化狀態

　　對應於上述變應力作用下的普通圓柱螺旋壓縮彈簧，應力循環次數N>

時，疲勞強度安全係數計算值Sca及強度條件可按下式計算：

　　式中：τ0——彈簧材料的脈動循環剪切疲勞極限，按變載荷作用次數N，由下表(彈簧材料的脈
　　　　　　　　 動循環剪切疲勞極限表)中查取；

　　　　　SF——彈簧疲勞強度的設計安全係數，當彈簧的設計計算和材料的機械性能數據精確
　　　　　　　　　性高時，取SF=1.3～1.7；當精確性低時，取SF=1.8～2.2。

彈簧材料的脈動循環剪切疲勞極限

　　　　　註：1）此表適用於高優質鋼絲，不鏽鋼絲，鈹青銅和硅青銅絲；
　　　　　　　2）對噴丸處理的彈簧，表中數值可提高20％； 
　　　　　　　3）對於硅青銅，不鏽鋼絲，N＝

時的τ0值可取0.35σB；
　　　　　　　4）表中σB為彈簧材料的拉伸強度極限，MPa。

　　2) 靜強度驗算

　　靜強度安全係數計算值SSca的計算公式及強度條件為 

　　式中τS為彈簧材料的剪切屈服極限,靜強度的安全係數SS的選取與進行疲勞強度驗算時相同。

2．振動驗算

　　承受變載荷的圓柱螺旋彈簧常是在載入頻率很高的情況下工作(如內燃機汽缸閥門彈簧)。為了避免引起彈簧的諧振而導致彈簧的破壞，需對彈簧進行振動驗算，以保證其臨界工作頻率(即工作頻率的許用值)遠低於其基本自振頻率。

　　圓柱螺旋彈簧的基本自振頻率(本書已將原書公式中的彈簧質量W/s以mS代替)為

　Hz

　　式中：kp--彈簧的剛度，N/mm；

　　　　mS--彈簧的質量，kg。

　　將kp,ms的關係式代入上式，並取n≈n1則

　Hz

　　式中各符號意義同前，見表<普通圓柱螺旋壓縮及拉伸彈簧的結構尺寸（mm）計算公式>。

　　彈簧的基本自振頻率fb應不低於其工作頻率fw的15～20倍，以避免引起嚴重的振動。即

　　　　　　fb≥(15～20)fw 或 fw≤fb/(15～20) Hz

　　但彈簧的工作頻率一般是預先給定的，故當彈簧的基本自振頻率不能滿足上式時，應增大kp或減小ms，重新進行設計。