從哥白尼到開普勒

從哥白尼到開普勒

夫天文者，朝廷之實政、儒者之實學，非比一人一事，可以掉三寸之舌、立地雌黃、灑筆端之墨，依稀形似者也。此其道在於測驗。

南懷仁：《不得已辨》

丁福保等，《四部總錄演算法編》，商務印書館，1957年，《補遺》，第46頁

希臘人的天文學和托勒密系統

1.古希臘人的天文學和托勒密系統

天文學作為自然科學最早的學科，它的任務主要是描述、記載和觀測天體的運動。也可以說，主要是天體這種特殊物體的運動學。近代精密力學的最早萌芽即是從天文學開始的。

1．1 天體的視運

從遠古起，人類就注意並觀察日、月、星辰的運動和變化。世界各民族都是這樣。所觀察到的這些變化大致可以歸納如下：

天球每一晝夜旋轉一周，天上的恆星相對位置不變。天球旋轉軸的北極在北極星附近。一切天體都參加天球的周日運動。方向從東向西。

太陽在天球上每日由西向東約1°，365.24天運行一周，其軌跡稱為黃道。太陽運行的速度夏季比冬季慢，如在6月1日到6月30日運行了27.5° ，而在 12 月 1 日到 12 月 30 日運行了29.5°。將周日運動星圖上與北極星呈90°的星連起來，稱為赤道。黃道和赤道交角為23.5°。

月亮由西向東運行一周時間為27.3日（即每日運行12°－13°）每周運行約90°。朔（月亮暗的時候）、望（月亮圓的時候）周期（與運行周期不同）為29.5306日。如果仔細觀察可發現月亮在天空中的運行不是等速的。

除了太陽與月亮之外，古代人們把位置變化的星稱為行星，肉眼能看見的行星有5個，即：金星（太白）、木星（歲星）、水星（晨星）、火星（熒惑）、土星（鎮星或填星）。它們的運行規律各不相同，分別描述如表。

月亮（玉兔）

朔（月亮暗的時候）、望（月亮圓的時候）周期（與運行周期不同）為29.5306日。

星 名 　　視　　周 期 　　運動特點

水 星 　　116日 　　　太陽附近擺動與太陽的最大夾角在角在18°－28°（平均23°）之間

金 星　　 約217日 在太陽附近擺動，與太陽最大夾角約40°

火 星　　約687日在　天球上徘徊地從西向東運行，780日一徘徊

木 星　　約12年在　天球上徘徊地從西向東運行，399日一徘徊

土 星　　約29.5年　在天球上徘徊地從西向東運行，378日一徘徊

火星（熒惑）

在這些複雜的星球運行圖上，最早天文學的任務在於：

1． 盡量準確的地確定太陽、月亮與五大行星的運動規律；

2． 預言它們以後的位置；

3． 討論它們可能的真實運動圖形。

這些一直是17世紀之前天文學追求的

古希臘在托勒密之前的天文學已經相當發達，資料也已相當多。

畢達哥拉斯提出地球是球形的見解並給出了論證。提出天球是多個透明球的見解，這些球帶著5大行星旋轉。

阿里斯塔恰斯（Aristarchus,310-230BC）第一個嘗試測量太陽、月亮的大小及其與地球的距離。他知道月亮反光，如以三角形EMS中，E為地球、M為月亮、S為太陽，當正好為半月時，角M為直角，測得角E的值為87°（準確值為89.87°），由此估出太陽與月亮的距離的比值為18－20（準確值是346）。他的這個測量月亮、太陽距離之比的簡單方法一直被天文界使用到15世紀。他第一個提出過日心說。

阿波羅尼對行星運動提出均輪（deferent 即行星勻速地繞地球運動的圓形軌道）與本輪（epicycle即行星以勻速繞均輪上勻速運動點的又一種圓周運動）的方案。根據這一方案可以正確解釋行星的。

伊巴谷(Hiparchus,-126BC)測得四季長短不等、一年為365.25日。他還得到月亮的距離，他將太陽、月亮運動編製了精密的表，用以推算日月食。他發現了歲差，即黃道和赤道之間的交點在緩慢地改變，每年為46.8〃（現今為48〃）。他編製了星圖、發明了球面三角學。他曾被稱為天文學之父，是古代在有成就的天文學家逆行。

1．3 托勒密的天文學成

托勒密（Ptolemy,－120年）系統整理了伊巴谷的工作，並且進一步發展後完成了著作《大彙編》，這就是後人所說的托勒密體系。這個體系在後來由於被認為符合基督教的教義，被看作一成不變的教條，統治了天文學達1000多年。

托勒密的觀察很精細，而且製造過不少好的天文儀器，他發現了天球北極的易位，即歲差現象。他還發現了星球在近地平線時的快速升高，即光折射的影響。

托勒密的系統是：地球處於天球的中心；

各行星與日、月繞地球作等速圓行沿著繞自己平均位置為中心的小圓（本輪）作等速運動。對行星的軌道圓來說，地球的位置是偏心的； 星空是一個以地球為中心的24小時旋轉一周的球體。

從14世紀末開始的歐洲文藝復興運動，使整個人類社會充滿了新的創造精神。在天文、數學、地理、化學、航海、文藝、宗教改革、印刷術，各方面都提出新的思想，產生了一大批巨人。

托勒密的地心說體系，愈來愈與觀測資料表現出矛盾。特別是對行星的視運動，均輪、本輪系統越來越不能說明運動軌跡。為了彌合這種誤差，不得不增加本輪，最後競多達80多個。雖然運算麻煩仍然無法達到與觀測的統一。哥白尼認為"天空具有超越一切的完美性。"既然天體宇宙是上帝的創造，而上帝是萬能智慧的，絕不會造出這種連人都覺得不美、不和諧的系統。追求一種新的宇宙模式自然是勢所必然的。

2 尼古拉 哥白尼及其貢獻

2．1 哥白尼的生平簡歷

尼古拉 哥白尼（Nicholas Copernicus,1473－1543）出生於波蘭的普魯士地區，10歲時他父親去世，由他舅父撫養長大。他的舅父是這個地區的主教，在當時政教合一的西方，實際上是這個地區的最高統治者。

中世紀後，在認識論上有很大的進步，英國教士培根（Roger Bacon,?－1250）最早喊出號召實驗與觀察，"看看這世界"，"結束教條和權威的統治"的口號。這種思想為廣大學者所贊同，從而逐漸跳出中世紀以純思辨作為真理標準的方法論的約束。正是在這些背景下，新的天文學才得以誕生。

從幼年到青年時期他在當地求學，除了學習古典著作以外，還研究天文學，並且學會了使用簡單的天文儀器。之後，他的舅父本來想培養他成為教職人員，所以送他到義大利遊學，在那裡他學習了教會法律、希臘文，並且得到了博士學位。在義大利，他繼續對天文學保持濃厚的興趣，除了閱讀拉丁文的天文著作之外，他還學會閱讀希臘文的天文著作。他26歲時，來到羅馬，在那裡教授天文學與數學。後來又學習了兩年醫學。

哥白尼在30歲時回到波蘭，那時他舅父在一個大教堂里當教士，他也就在舅父的教堂里當一名博學教士。此後他就一直在那裡工作到去世。在教堂里，他的任務是記帳、看病等教堂事務，在餘下的時間就去思考他的宇宙模式

1512年，他的舅父去世了，他繼續在那裡工作，並且在教堂附近的平台上安裝了一些簡陋的天文儀器，以供他觀察之用。

哥白尼最大的貢獻是他積數十年如一日撰寫的著作《天體運行論》，這本書提出了日心說，從而結束了一千多年的地心說的統治。

《天體運行論》定稿之後，一直未付印，因為他意識到他的體系與教會所提倡的地心說是根本對立的，必為教會所不容，所以躊躇再三。

1539年，有一位名叫雷蒂庫斯（G1574）的青年數學家專程到波蘭拜訪哥白尼，在兩年之中學會了哥白尼的學說，成為哥白尼的熱烈的擁護者和親密的朋友。雷蒂庫斯寫了一篇《天體運行論淺說》，這篇文章是以寫信的方式介紹了《天體運行論》的基本要點。文中對這本書讚美備至，但未提作者的名字，稱作者為"托倫的神父"。大約在1540－1541年間，這篇文章以單行本的形式出版了，並且引起了社會上強烈的反響。

在唯一的學生雷蒂庫斯與其他朋友的極力勸說之下，哥白尼終於同意出版《天體運行論》了，雷蒂庫斯以極大的熱情幫他繕寫手稿並且以這本書的編輯的身份前往紐倫堡聯繫出版事宜。在紐倫堡，雷蒂庫斯收到了哥白尼補寫的將此書獻給教皇保羅三世的獻詞。這份獻詞的目的是向教皇闡述此書絕無褻瀆之意，以求得教皇的諒解和庇護。在獻詞中，哥白尼提到他出版這本書的憂慮是怎樣被他的一些好友消除的，但是，由於疏忽，哥白尼沒有一處提到雷蒂庫斯。也許是由此引起雷蒂庫斯的不快，從而喪失了對出版此書的熱情，並放棄了此書的編輯工作，轉由紐倫堡的出版商奧賽安德爾（A.Osiander, 1498－1552）繼續。

奧賽安德爾為了此書能安全發行，擅自增加了一篇《關於本書的假說告讀者》的未加署名的前言，大意說書中的理論並不代表行星在空間的真實運動，而是為編算星表、預推行星位置的一種人為的設計。當時哥白尼已經身患重病，無力反對這篇前言。後來這篇前言一直被當作哥白尼的親筆，多次出版都被保留在書中。直到上一世紀中葉，有人在布拉格的圖書館裡發現了《天體運行論》的原稿才搞清楚，在以後再版時將它刪去了。1543年5月24日哥白尼收到剛印好、飄著油墨香味的《天體運行論》的樣書時，已經不能說話了，不久，他便離開了人世。

2．2 《天體運行論》的要點

在《天體運行論》中哥白尼以有力的證據論證了日心說。儘管早在古希臘已經有一些學者主張日心說，如阿里斯塔恰斯等，但由於論據不夠充分，模型又粗糙，所以流傳不廣，沒有得到廣泛的注意。《天體運行論》共分六卷，討論了太陽、月亮、行星等天體在天球上的視運動，給出了從日心說模型出發用球面三角學去計算這些視運動的方法。由於哥白尼認真分析了托勒密系統的矛盾，分析了大量觀測數據，又進行了大量的計算，所以終於獲得世人的公認。由於書中用了大量的幾何知識，所以書的初版廣告中有一句話："沒有學過幾何的人，不準入內。"

日心說的要點是：

．宇宙是一個球體，．太陽是它的中心；

．所有的行星包括地球都繞太陽同．向運動，．軌道都是圓，．且大致在同．一平面附近；

．由行星到太陽的距離遠近排列，．順序為水星、金星、地球、火星、木星、土星；

．月亮繞地球作圓運動。

哥白尼還給出了各行星與太陽的距離表，表中的數據與今測值除土星誤差稍大外其餘都很准。

土星 木星 火星 地球 金星 水星

哥白尼得到的值9.1743 5.21921.51981.00000.71930.3763

　　　　　　9.1743 5.21921.51981.00000.71930.3763

今測值 9.53885.20281.52371.00000.72330.3871

　　　　9.53885.20281.52371.00000.72330.3871

根據這個學說，哥白尼可以解釋托勒密地心說可以解釋的所有現象，同時又可以解釋托勒密所不能解釋的現象。

首先，哥白尼的日心說正確解釋了太陽的周年軌道與月亮的月軌道，這些軌道是在地球與月亮運動時，從地球上在恆星背景上看到的太陽與月亮的視運動。

其次，托勒密學說最為成功的是解釋行星的運動。按照哥白尼的學說，則很容易說明。

對於水星、金星這兩個內行星來說，由圖2看出水星的軌道圓小，金星的軌道圓大，所以這就是為什麼它們分別在太陽附近與太陽S成大小不同的角度在運行，而與太陽所夾的角度在周期性的變化。

對於火星、木星、土星這三個外行星，哥白尼順利的解釋了它們的"順行"和"逆行"現象。以火星 M 為例，它的順行和逆行如圖3。

最後，哥白尼根據觀測的結果，計算了各行星的實際運行周期。由於地球的周期為365.25日，對於內行星而言，如圖4他取連續兩次在太陽同一側的最大角度。如對於水星M1M2來說，在圖上 為水星連續兩次在太陽同一側最大角度的位置，E1,E2為在這兩個時刻地球的位置，S為太陽，則有

0.39由此可以求出太陽與水星的距離。又由實測得水星在太陽周圍視擺動周期為116日，在這段時間中，地球走了它的114軌道的 ，而水星應當走

，由此可以由簡單的比例關係計算水星的實際周期T。即由

,可以計算得T＝88日。

根據同樣的道理可以計算得金星軌道半徑為0.72，周期為225日。對於外行星，例如對火星來說，如圖5觀測它連續兩次"沖"。所謂"沖"，是太陽、地球、火星在一直線上的時刻，從地球上觀測，當地球同太陽S和地球E同火星M正好夾角是時，就是"沖"。實際觀測結果是，每780日火星沖一次，外行星運動周期比地球為長，這相當於地球走 769493602過了，而火星走過了。故可以算得火星的周期日（因為）。

同理，可以算得木星的實際周期為12年，土星的實際周期為29.5年。它們同太陽的距離相應地為：火星為1.5、木星為5.2、土星為9.5。

總之，哥白尼不用托勒密的本輪，便可以順利解釋行星的複雜運動軌跡。

哥白尼的理論雖然可以解釋許多事情，但仍有與觀測不一致的地方。特別是對於月亮運動的複雜性，他對月亮運動的描述仍不能令人滿意。

2．3 哥白尼學說的影響

哥白尼系統是天文學上的一場革命。它標誌著科學脫離宗教的枷鎖而宣告獨立。在哥白尼時代，知識還沒有如現在劃分為許多分支學科。哥白尼的學說推翻了那些一千多年來被認為是金科玉律的東西，從而也動搖了那個時代的知識觀。哥白尼宣布新體系，意味著對宗教維護的托勒密系統的公開蔑視，意味著蔑視宗教的權威。

由於哥白尼學說的迅速傳播，引起了天主教的恐慌。義大利的哲學家、數學家、天文學家布魯諾（G.Bruno,1548－1600）由於蔑視教規，閱讀當時的進步書籍，被教會視為異端，他是哥白尼狂熱的信奉者與宣傳者。不僅如此他還進一步發展了哥白尼的學說。1576年，英國一位學者出版了一部名為《天體軌道完美的描述》的書。書中宣傳了哥白尼學說，並且在說明中，去掉了哥白尼系統中的"恆星天"。

這給布魯諾以很大的啟發，使布魯諾發展了宇宙無限的思想。1584年布魯諾出版了《論無限宇宙和世界》一書，書中指出"宇宙是無限大的，其中的各個世界是無數的。"他認為恆星都是太陽，太陽是一顆普通的恆星，不是宇宙的中心。這是對哥白尼學說的重大發展。他的這些觀點和活動為教會所不容，1591年遭到逮捕，經過8年的監禁，布魯諾毫不屈服，最後於1600年2月17日被焚死在羅馬的百花廣場。

1616年天主教宣布哥白尼學說是一種邪說予以禁止。直到1830年才悄悄地開禁。從禁止到開禁的這200多年中，日心說歷經了血與火的鬥爭，終於取得了勝利。

3 開普勒的行星運動三大定律

哥白尼的學說雖然使天文學起了革命性的變化，為太陽系各行星的運動畫出了一幅正確的圖像。但這還僅僅是定性的，在定量上還存在許多問題。隨著觀測資料的積累，哥白尼系統表現出的誤差越來越明顯。大約在1600年前後，根據哥白尼學說編製的行星運行表的預測值的誤差達到了。這樣大的誤差表明哥白尼的理論還不完善。事實上，在哥白尼的學說中還保留了行星運動軌道是圓形的古代觀點。這種在一切運動中圓運動最和諧、最美的觀點正好是亞里斯多德學說關於運動的核心。為了進一步發展日心說，為了編製更為精確的星圖，還需要更好的觀測、更深入的理論思考。而這些便落在哥白尼的後來人身上了。

3．1 第谷的觀測工作

第谷!布拉赫(Tycho Brahe,1546－1601)出身於丹麥的貴族，自幼酷愛天文學。由於1572年有一顆!新星!（超新星）促使他編製星表並獻身於天文觀測工作。

從1576年開始，他靠丹麥王腓特立二世資助，在赫芬島上建立了一所大的天文台，稱為觀天堡。他擁有當時最精密的天文觀測儀器。在那裡他一直工作到1599年。在丹麥國王死後，他不得不逃往布拉格，受聘為布拉格的奧國御前天文學家，直到1601年逝世。

他對天文學上最重要的貢獻是：他在理論上並不是哥白尼的擁護者。

3．2 開普勒的生平

開普勒（Johannes Kepler,1571,12,27－1630，11，15）出生於德國，其祖父曾任魏爾市市長，父親則是一位職業軍人，經常外出，並於1588年離家出走。開普勒自幼多病，5歲時染上天花，幾乎死去。

開普勒16歲是進入德國蒂賓根大學求學，受秘密宣傳哥白尼學說的天文學教授麥斯特林（F.M?stlin）的影響，成為這一學說的擁護者。開普勒在大學裡表現出非凡的才能，當時，學習成績優秀者才允許進一步學習神學，開普勒在大學期間一直迷於神學，並且一心嚮往作一名神職人員。

一個偶然的機會，使他進入了天文學領域。正好在格拉茨地方一所教會學校的數學教員去世了，在他的老師麥斯特林的推薦下，於1594年4月11日，22歲的開普勒去格拉茨任數學教員。在業餘他做編製年曆和預言，並且研究天文學。

1596年，開普勒25歲時發表了《宇宙的神秘》一書。在書中他突發奇想，他說正六面體有5種，行星連地球共有6個， 6個行星軌道所在的球面正好外接於或內切於這5種正多面體，即任何二相鄰行星之間正好存在一種正多面體，其外接球與內切球正好是二星軌道的大小。

開普勒認為引起行星運動的力是太陽產生的。

開普勒曾將他的書贈送給許多人，如伽利略、第谷等，當第谷讀了他的書後，雖然不同意開普勒的觀點，但是對開普勒的才能是頗為讚賞的。開普勒同伽利略通過很多次信，尤其在伽利略為宣傳日心說而受審的困難日子裡，開普勒曾給以熱情的支承。

1600年初，開普勒到布拉格訪問了第谷，在第谷那裡逗留了三個月。同年10月他再次來到布拉格，不久第谷逝世，臨終前第谷將關於火星的觀測資料贈給他，囑咐他繼續完成關於行星運動的《魯道夫星表》，且囑咐他一定要尊重觀測事實。

3．3 開普勒三定律的發現

早在哥白尼之前，人們就注意到太陽、地球和外行星在一條直線上的情況，這就是所謂!沖!。在地球上，為了觀測火星的"沖"，180隻要不斷測量太陽、火星的夾角，一旦這個夾角成 ，這就是火星的"沖"。人們早就注意到，每過780日火星"沖"一次。哥白尼從這個數字經過推理，算出火星繞太陽的實際運行周期為687日。事實上，地球在780日中繞太陽走過了2周又 ，即共走769了 ，而火星走過了1周又 ，即總共走了。第谷在世時，從1576年到1599年在赫芬島上一共觀測了20多年。這就是說，第谷大約一共能觀測到12次火星"沖"。幸運的是開普勒在第谷的觀測資料中，恰好找到了12次火星"沖"的記載。開普勒正好是利用這些記載來計算的。

開普勒從一次"沖"開始，當過了687日時，火星繞太陽回到了原處，而地球走了差43天不到2周。如圖，43天對應於角 ，這個角度可以在當時測太陽、火星的夾角得到 。令S為太陽，E為地球，M為火星，在!沖!時地球為 ，過了687日地球為 ，再過687日地球為 ，再過687日地球為為 ，!。SM同之間的角度),3,2,1(iSE是可以及時測得的，設SM為1，則可以通過計算得i到 。這樣就得到一串地球的位置 ，從而將地球的軌道畫出來。開普勒發現地球的軌道是一個圓，而太陽卻不在圓心，據他計算，太陽距圓心大約為半徑的1/59倍，即約為半徑的0.017倍。開普勒還注意到地球的運動速度不是均勻的，在近日點比遠日點要快。

有了地球的軌道，開普勒接著去推算火星的軌道。很自然地，他認為火星的軌道也是一個偏心圓，但是太陽的偏心在什麼方向，偏心距多大，需要推算。為此，他從第谷的12組火星!沖!的記錄中，選擇了4組，即火星軌道圓上的4點來推算太陽的位置。在當時，這是一項十分複雜的計算工作，他先假定一個太陽的位置，然後計算，反覆調整，大約進行了70次計算，費了4年的時間。終於定下一個比較滿意的火星偏心圓軌道。

但是，這個軌道雖然與選定的4次!沖!符合很好，對另外的8次!沖!卻有誤差。這個誤差大約是角度 ，這是一個不大的誤差。 大約是一個圓周角的8/(360×60)=1/2700。不過開普勒心裡很清楚，這仍然是一個不小的誤差，因為他相信第谷的觀測誤差絕不會超過。開普勒為追求更高的精度，終於不得不打破火星軌道是偏心圓的框框。他試驗了多種圓和類似卵圓的曲線，最後他才試驗橢圓軌道。結果12次"沖"都符合很好。

他最後推求火星實際軌道的方法可以表為如圖8，令"分別代表火星"沖"的位置 "是"沖"過後687天的位置，這時火星仍在原來位置上。因為地球軌道上的是已知

的，同之間的夾角可以由實測得到，簡單的三角計算便可以得到的長度，12次!沖!可以計算出火星軌道上的12個點。計算表明火星軌道是一個橢圓。這便是開普勒第一定律.

開普勒在計算地球與火星的軌道時，還發現了所謂開普勒第二定律，即從橢圓到行星的矢徑在相等的時間內，掃過的面積相等。之後，他還發現了第三定律，即各個行星運動周期的平方與各自離太陽的平均距離的立方成正比。這三個定律合稱為開普勒關於行星運動的三定律，都收在他1619年出版的專著《宇宙的和諧》一書中。

開普勒三定律不僅對於天文學是十分重要的,開普勒因此被稱為"天空的立法者"的稱號，更為重要的是，它奏響了經典力學誕生的序曲。有了開普勒三定律，再有了伽利略關於落體運動的研究，萬有引力定律與經典力學系統的確立，便是呼之欲出的事了。

開普勒第一定律

開普勒第二定律

3．4 開普勒對他的行星運動三定律的敘述

開普勒在他的《宇宙的和諧》中對他發現的行星的運動三大定律是這樣介紹的："談談和諧性得以確立的運動，我再次提請讀者銘記我在《火星評述》中根據第谷極其精確的觀測已經闡明的下述事實：經過同一偏心圓上同樣周日弧的速度是不等的，隨著與運動之源太陽的距離不同，經過偏心圓上相等弧的時間也彼此不同；另一方面，若假定每一場合的時間都相等，比如說等於一自然日，那麼同一偏心圓上與之對應的兩段周日弧與各自到太陽的距離成反比。「±我在22年前由於尚未洞悉方法而暫時擱置的《宇宙的神秘》的一部分，必須重新完成並在此引述。因為在黑暗中進行了長期探索之後，藉助布拉赫的觀測，我先是發現了軌道的真實距離，然後終於豁然開朗，發現了軌道周期之間的真實關係，倘若問及確切的年月，」-雖已遲了，仍在徘徊觀望，歷盡歲月，終歸光臨；

這一思想發軔於1618年3月8日，但當時試驗未獲成功，又因此以為是假象遂擱置下來。最後，5月15日來臨，一次新的衝擊開始了。起先我以為自己處於夢幻之中正在為那個苛求已久的原理設想一種可行的方案。思想的風暴一舉掃蕩了我心中的陰霾，並且在我以布拉赫的觀測為基礎進行了17年的工作與我現今的潛心研究之間獲得了圓滿的一致。然而，這條原理是千真萬確地真實而又極其精確的：任意兩個行星的周期正好與其距離平方根的立方成比例；但是，應該看到，橢圓軌道兩直徑的算術平均值較其半長徑稍小。因此，舉例來說，地球的周期為1年，土星的周期為30年，如果取這兩個周期之比的立方根，再平方之，得到的數值剛好就是土星和地球到太陽的中距離之比。因為1的立方根是1，再平方仍是1；而30的立方根大於3，平方之，則大於9，因此土星與太陽的平均距離略大於日地平均距離的9倍。」