[全等三角形證明題]全等三角形證明經典50題(含答案)

06-01

話題：全等三角形證明題

全等三角形證明經典50題(含答案)

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中點，AD是整數，求AD

解：延長AD到E,使AD=DE

∵D是BC中點

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜3

∴AD=2

2. 已知：D是AB中點，∠ACB=90°，求證：CD?

1AB 2

延長CD與P，使D為CP中點。連接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB

∴ACBP為平行四邊形

又∠ACB=90

∴平行四邊形ACBP為矩形

∴AB=CP=1/2AB

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中點，求證：∠1=∠2

證明：連接BF和EF

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF

∴ 三角形BCF全等於三角形EDF(邊角邊)

∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF

連接BE

在三角形BEF中,BF=EF

∴ ∠EBF=∠BEF。

∵ ∠ABC=∠AED。

∴ ∠ABE=∠AEB。

∴ AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF

∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求證：EF=AC

過C作CG∥EF交AD的延長線於點G

CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD

DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（對頂角）

∴△EFD≌△CGD

EF＝CG

∠CGD＝∠EFD

又，EF∥AB

∴，∠EFD＝∠1

∠1=∠2

∴∠CGD＝∠2

∴△AGC為等腰三角形，

AC＝CG

又 EF＝CG

∴EF＝AC

5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠C

證明：延長AB取點E，使AE＝AC，連接DE

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD＝∠CAD

∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD （SAS）

∴∠E＝∠C

∵AC＝AB+BD

∴AE＝AB+BD

∵AE＝AB+BE

∴BD＝BE

∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE

∴∠ABC＝2∠E

∴∠ABC＝2∠C

6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：

AE=AD+BE

證明：

在AE上取F，使EF＝EB，連接CF

∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝CE，

∴△CEB≌△CEF

∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA

∵AC平分∠BAD

∴∠DAC＝∠FAC

∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（SAS）

∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

7. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中點，AD是整數，求AD

D 解：延長AD到E,使AD=DE

∵D是BC中點

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜3

∴AD=2

8. 已知：D是AB中點，∠ACB=90°，求證：CD?

9. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中點，求證：∠1=∠2

證明：連接BF和EF。

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

∴ 三角形BCF全等於三角形EDF(邊角邊)。

∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF。

連接BE。

在三角形BEF中,BF=EF。

∴ ∠EBF=∠BEF。

又∵ ∠ABC=∠AED。

∴ ∠ABE=∠AEB。

∴ AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中，

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

10. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求證：EF=AC

過C作CG∥EF交AD的延長線於點G

CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD

DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（對頂角）

∴△EFD≌△CGD

EF＝CG

∠CGD＝∠EFD

又EF∥AB

∴∠EFD＝∠1

∠1=∠2

∴∠CGD＝∠2

∴△AGC為等腰三角形，

AC＝CG

又 EF＝CG

∴EF＝AC

11. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠C

證明：延長AB取點E，使AE＝AC，連接DE

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD＝∠CAD

∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD （SAS）

∴∠E＝∠C

∵AC＝AB+BD

∴AE＝AB+BD

∵AE＝AB+BE

∴BD＝BE

∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE

∴∠ABC＝2∠E

∴∠ABC＝2∠C

12. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE

在AE上取F，使EF＝EB，連接CF

∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝CE，

∴△CEB≌△CEF

∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA

∵AC平分∠BAD

∴∠DAC＝∠FAC

又∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（SAS）

∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

12. 如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點E在AD上。求證：BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB，連接EF

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠FBE

又∵BE=BE

∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）

∴∠A=∠

BFE

∵AB//CD

∴∠A+∠D=180o

∵∠BFE+∠CFE=180o

∴∠D=∠CFE

又∵∠DCE=∠FCE

CE平分∠BCD

CE=CE

∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）

∴CD=CF

∴BC=BF+CF=AB+CD

13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求證：∠F=∠C

AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，

∵∠EAB=∠BDE，

∴∠AED=∠ABD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形。

∴得：AE=BD，

∵AF=CD,EF=BC，

∴三角形AEF全等於三角形DBC，

∴∠F=∠C。

14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求證：∠B=∠C

證明：設線段AB,CD所在的直線交於E，（當AD<BC時，E點是射線BA,CD的交點，當AD>BC時，E點是射線AB,DC的交點）。則：

△AED是等腰三角形。

∴AE=DE

而AB=CD

∴BE=CE (等量加等量，或等量減等量）

∴△BEC是等腰三角形

∴∠B=∠C.

15. P是∠BAC平分線AD上一點，AC>AB，求證：PC-PB<AC-AB

A D

在AC上取點E，

使AE＝AB。

∵AE＝AB

AP＝AP

∠EAP＝∠BAE，

∴△EAP≌△BAP

∴PE＝PB。

PC＜EC＋PE

∴PC＜（AC－AE）＋PB

∴PC－PB＜AC－AB。

16. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求證：AC-AB=2BE

證明：

在AC上取一點D，使得角DBC=角C

∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；

∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;

∴AB=AD

∴AC – AB =AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分線，

∴AE垂直BD

∵BE⊥AE

∴點E一定在直線BD上，

在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD

∴點E也是BD的中點

∴BD=2BE

∵BD=CD=AC-AB

∴AC-AB=2BE

17. 已知，E是AB中點，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

∵作AG∥BD交DE延長線於G

∴AGE全等BDE

∴AG=BD=5

∴AGF∽CDF

AF=AG=5

∴DC=CF=2

18．如圖，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求證：AD⊥BC．解：延長AD至BC於點E,

∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形

∴∠DBC=∠DCB

又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2

即∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等腰三角形

∴AB=AC

在△ABD和△ACD中

｛AB=AC

∠1=∠2

BD=DC

∴△ABD和△ACD是全等三角形（邊角邊）

∴∠BAD=∠CAD

∴AE是△ABC的中垂線

∴AE⊥BC

∴AD⊥BC

19．如圖，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B為垂足，AB交OM於點N．

求證：∠OAB=∠OBA

證明：

∵OM平分∠POQ

∴∠POM＝∠QOM

∵MA⊥OP，MB⊥OQ

∴∠MAO＝∠MBO＝90

∵OM＝OM

∴△AOM≌△BOM （AAS）

∴OA＝OB

∵ON＝ON

∴△AON≌△BON （SAS）

∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB

∵∠ONA+∠ONB＝180

∴∠ONA＝∠ONB＝90

∴OM⊥AB

20．（5分）如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交於E，CE的連線交AP於D．求證：AD+BC=AB．

P E

做

BE的延長線，與AP相交於F點，

∵PA//BC BA∴∠

PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均為∠PAB和∠CBA

的角平分線

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB為直角三角形

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE為∠FAB的角平分線

∴三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF

在三角形DEF與三角形BEC中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，∴DF=BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

21．如圖，△ABC中，AD是∠CAB的平分線，且AB=AC+CD，求證：∠C=2∠B

CDB

延長AC到E

使AE=AC 連接 ED

∵ AB=AC+CD

∴ CD=CE

可得∠B=∠E

△CDE為等腰

∠ACB=2∠B

22．（6分）如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個動點，且DE⊥AC於E，BF⊥AC於F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC於點M．

（1）求證：MB=MD，ME=MF

（2）當E、F兩點移動到如圖②的位置時，其餘條件不變，上述結論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由．

（1）連接BE，DF．

∵DE⊥AC於E，BF⊥AC於F，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），

∴DE=BF．

∴四邊形BEDF是平行四邊形．

∴MB=MD，ME=MF；

（2）連接BE，DF．

∵DE⊥AC於E，BF⊥AC於F，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），

∴DE=BF．

∴四邊形BEDF是平行四邊形．

∴MB=MD，ME=MF．

23．已知：如圖，DC∥AB，且DC=AE，E為AB的中點，

（1）求證：△AED≌△EBC．

（2）觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除△EBC外，請再寫出兩個與△AED的面積相等的三角形．（直接寫出結果，不要求證明）： A

證明：

∵DC∥AB

∴∠CDE＝∠AED

∵DE＝DE，DC＝AE

∴△AED≌△EDC

∵E為AB中點

∴AE＝BE

∴BE＝DC

∵DC∥AB

∴∠DCE＝∠BEC

∵CE＝CE

∴△EBC≌△EDC

∴△AED≌△EBC

24．（7分）如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直於過C點的直線於E，直線CE交BA的延長線於F．

求證：BD=2CE．

AEB E

證明：

BC∵∠CEB=∠CAB=90°

∴ABCE四點共元

∵∠AB E=∠CB E

∴AE=CE

∴∠ECA=∠EAC

取線段BD的中點G，連接AG，則：AG=BG=DG

∴∠GAB=∠ABG

而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圓周角相等）

∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB

而：AC=AB

∴△AEC≌△AGB

∴EC=BG=DG

∴BE=2CE

25、如圖：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求證：△AED≌△BFC。 DEFC

證明：∵DF=CE，

∴DF-EF=CE-EF，

即DE=CF，

在△AED和△BFC中，

∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF

∴△AED≌△BFC（SAS）

26、（10分）如圖：AE、BC交於點M，F點在AM上，BE∥CF，BE=CF。

求證：AM是△ABC的中線。

EMC

證明：

∵BE‖CF

∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM

∵BE=CF

∴△BEM≌△CFM

∴BM=CM

∴AM是△ABC的中線.

27、（10分）如圖：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中點。求證：BD⊥AC。

∵△ABD和△BCD的三條邊都相等

∴△ABD=△BCD

∴∠ADB=∠CD

∴∠ADB=∠CDB=90°

∴BD⊥AC

28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延長線上的一點。求證：BF=CF

在△ABD與△ACD中

AB=AC

BD=DC

AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴∠ADB=∠ADC

∴∠BDF=∠FDC

在△BDF與△FDC中

BD=DC

∠BDF=∠FDC

DF=DF

∴△FBD≌△FCD

∴BF=FC

29、（12分）如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。

∵AB=DC

AE=DF,

CE=FB

CE+EF=EF+FB

∴△ABE=△CDF

∵∠DCB=∠ABF

AB=DC BF=CE

△ABF=△CDE

∴AF=DE

30.公園裡有一條「Z」字形道路ABCD，如圖所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一隻小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中點，試說明三隻石凳E，F，M恰好在一條直線上

證明：連接EF

∵AB∥CD

∴∠B=∠C

∵M是BC中點

∴BM=CM

在△BEM和△CFM中

BE=CF

∠B=∠C

BM=CM

∴△BEM≌△CFM（SAS）

∴CF=BE

31．已知：點A、F、E、C在同一條直線上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．

∵AF=CE,FE=EF.

∴AE=CF.

∵DF//BE,

∴∠AEB=∠CFD（兩直線平行，內錯角相等）

∵BE=DF

∴：△ABE≌△CDF（SAS）

32.已知：如圖所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分別是DC、BC的中點，求證： AE＝AF。

連接BD；

∵AB=AD BC=D

∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠ABD;兩角相加，∠ADC=∠ABC；

∵BC=DC EF是中點

∴DE=BF；

∵AB=AD DE=BF

∠ADC=∠ABC

∴AE=AF。 33．如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點，∠1=∠2，∠3=∠4，求證: ∠5=∠6．

證明：

在△ADC，△ABC中

∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA

∴△ADC≌△ABC（兩角加一邊）

∵AB=AD，BC=CD

在△DEC與△BEC中

∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD

∴△DEC≌△BEC（兩邊夾一角）

∴∠DEC=∠BEC

34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，

C在AF上，且AD＝CF，求證：△ABC≌△DEF．

∵AD=DF

∴AC=DF

∵AB//DE

∴∠A=∠EDF

又∵BC//EF

∴∠F=∠BCA

∴△ABC≌△DEF（ASA）

35．已知：如圖，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分別為D、E，BD、CE相交於點F，求證：BE=CD．

證明： A ∵BD⊥AC

∴∠BDC=90°

∵CE⊥AB

∴∠BEC=90°

∴∠BDC=∠BEC=90°

∵AB=AC

∴∠DCB=∠EBC

∴BC=BC

∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS)

∴BE=CD

36、如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB於E，DF⊥AC於F。求證：DE=DF．

證明：

∵AD是∠BAC的平分線

∴∠EAD=∠FAD

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠BFD=∠CFD=90°

∴∠AED與∠AFD=90°

在△AED與△AFD中

∠EAD=∠FAD

AD=AD

∠AED=∠AFD

∴△AED≌△AFD（AAS）

∴AE=AF

在△AEO與△AFO中

∠EAO=∠FAO

AO=AO

AE=AF

∴△AEO≌△AFO（SAS）

∴∠AOE=∠AOF=90°

∴AD⊥EF

37.已知：如圖, AC?BC於C , DE?AC於E , AD?AB於A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的長？

∵AD⊥AB

∴∠BAC=∠ADE 又∵

AC⊥BC於C，DE⊥AC於E

根據三角形角度之和等於180度

∴∠ABC=∠DAE

∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）

∴AD=AB=5

38．如圖：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分別為E、F，ME=MF。求證：MB=MC

證明：

∵AB=AC

∴∠B=∠C

∵ME⊥AB，MF⊥AC

∴∠BEM=∠CFM=90°

在△BME和△CMF中

∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF

∴△BME≌△CMF（AAS）

∴MB=MC．

39.如圖，給出五個等量關係：①AD?BC ②AC?BD ③CE?DE ④?D??C ⑤?DAB??CBA．請你以其中兩個為條件，另三個中的一個為結論，推出一個正確的結論（只需寫出一種情況），並加以證明．

已知：①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA

求證：△DAB≌△CBA

證明：∵AD=BC，∠DAB=∠CBA

又∵AB=AB

∴△DAB≌△CBA

40．在△ABC中，?ACB?90?，AC?BC，直線MN經過點C，且AD?MN於D，

求證： ①?ADC≌?CEB；BE?MN於E.(1)當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，

②DE?AD?BE；

(2)當直線MN

繞點C旋轉到圖

2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由.

（1）

①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE．

∵AC=BC，

∴△ADC≌△CEB．

②∵△ADC≌△CEB，

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE+CD=AD+BE．

（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBE．

又∵AC=BC，

∴△ACD≌△CBE．

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE

41．如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

E C

（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，

即∠EAC=∠BAF，

在△ABF和△AEC中，

∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，

∴△ABF≌△AEC（SAS），

∴EC=BF；

（2）如圖，根據（1），△ABF≌△AEC，

∴∠AEC=∠ABF，

∵AE⊥AB，

∴∠BAE=90°，

∴∠AEC+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDM（對頂角相等），

∴∠ABF+∠BDM=90°，

在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，

∴EC⊥BF．

42．如圖：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

證明：

（1）

∵BE⊥AC，CF⊥AB

∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°

∴∠ABM=∠ACN

∵BM=AC，CN=AB

∴△ABM≌△NAC

∴AM=AN

（2）

∵△ABM≌△NAC

∴∠BAM=∠N

∵∠N+∠BAN=90°

∴∠BAM+∠BAN=90°

即∠MAN=90°

∴AM⊥AN

43．如圖,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC∥EF

在△ABF和△CDE中

,AB=DE

∠A=∠D

AF=CD

∴△ABF≡△CDE（邊角邊）

∴FB=CE

在四邊形BCEF中

FB=CE

BC=EF

∴四邊形BCEF是平行四邊形

∴BC‖EF

44．如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由

在AB上取點N ,使得AN=AC

∵∠CAE=∠EAN

∴AE為公共,

∴△CAE≌△EAN

∴∠ANE=∠ACE

又∵AC平行BD

∴∠ACE+∠BDE=180

而∠ANE+∠ENB=180

∴∠ENB=∠BDE

∠NBE=∠EBN

∵BE為公共邊

∴△EBN≌△EBD

∴BD=BN

∴AB=AN+BN=AC+BD

45、（10分）如圖,已知: AD是BC上的中線 ,且DF=DE．求證:BE∥CF．

證明：

∵AD是△ABC的中線

BD=CD

∵DF=DE（已知）

∠BDE=∠FDC

∴△BDE≌△FDC

則∠EBD=∠FCD

∴BE∥CF（內錯角相等，兩直線平行）。

46、(10分)已知：如圖，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE?BF．求證：AB∥CD．

B C

證明：

∵DE⊥AC，BF⊥AC

∴∠CED=∠AFB=90o

又∵AB=CD，BF=DE

∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL）

∴AF=CE

∠BAF=∠DCE

∴AB//CD

47、(10分)如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AB=CD AD

∵,∠3=∠4

∴OB=OC

在△AOB和△DOC中

∠1=∠2

OB=OC

∠AOB=∠DOC

△AOB≌△DOC

∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB

在△ACB和△DBC中

AC=DB

,∠3=∠4

BC=CB

△ACB≌△DBC

∴AB=CD

48、 (10分)如圖，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，試猜想線段CE與DE的大小與位置關係，並證明你的結論.

CE>DE。當∠AEB越小，則DE越小。

證明：

過D作AE平行線與AC交於F，連接FB

由已知條件知AFDE為平行四邊形，ABEC為矩形，且△DFB為等腰三角形。 RT△BAE中，∠AEB為銳角，即∠AEB<90°

∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°

△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°

RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45°

∠AFB=90°-∠FBA>45°

∴AB>AF

∵AB=CE AF=DE

∴CE>DE

49、 (10分)如圖，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求證：AE＝DE.

∵AB=DC,AC=DB，BC=BC

∴△ABC≌△DCB，

∴∠ABC=∠DCB

又∵BE=CE，AB=DC

∴△ABE≌△DCE

∴AE=DE

50．如圖9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB於點E，交AD於點F，求證：∠ADC＝∠BDE．

圖9 E B 作CG⊥AB,交AD於H,

則∠ACH=45o,∠BCH=45o

∵∠CAH=90o-∠CDA, ∠BCE=90o-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE

又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45o

∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE

又∵∠DCH=∠B=45o, CD=DB

∴△CFD≌△BED

∴∠ADC=∠BDE

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