數列求和的方法技巧
數列求和的方法技巧
劉高峰
數列求和是數列的重要內容之一，在現行高中教材中，只對等差數列和等比數列的求和公式進行了計算推導，而數列種類繁多，形式複雜，絕大多數既非等差數列又非等比數列，也就不能直接用公式來求解。對於這種非常規數列的求和問題，針對具體情況，現歸結為以下幾種方法，供大家參考。
一、倒序相加法
此法來源於等差數列求和公式的推導方法。
例1. 已知
求
解：
。 ①
把等式①的右邊順序倒過來寫，即①可以寫成以下式子：
②
把①②兩式相加得
二、錯位相消法
此法來源於等比數列求和公式的推導方法。
例2. 求數列
的前n項和。
解：設
當
時，
當
時，
①式兩邊同時乘以公比a，得
②
①②兩式相減得
三、拆項分組法
把一個數列分拆成若干個簡單數列（等差數列、等比數列），然後利用相應公式進行分別求和。
例3. 求數列
的前n項和。
解：設數列的前n項和為
，則
當
時，
當
時，
說明：在運用等比數列的前n項和公式時，應對q＝1與
的情況進行討論。
四、裂項相消法
用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項技巧。如
例4. 求數列
的前n項和。
解：
五、奇偶數討論法
如果一個數列為正負交錯型數列，那麼從奇數項和偶數項分別總結出
與n的關係進行求解。
例5. 已知數列
求該數列的前n項和
解：
對n分奇數、偶數討論求和。
①當
時，
②當
時，
六、通項公式法
利用
，問題便轉化成了求數列
例6. 已知數列
求該數列的前n項和
解：
∴數列
是一個常數列，首項為
七、綜合法
這種方法靈活性比較大，平時注意培養對式子的敏銳觀察力，盡量把給定數列轉化為等差或等比數列來處理。
例7. 已知
求
分析：注意觀察到：
其他可依次類推。關鍵是注意討論最後的n是奇數還是偶數。
解：①當n為奇數時，由以上的分析可知：
②當n為偶數時，可知：
由①②可得
說明：對於以上的各種方法，大家應注意體會其中所蘊含的分類討論及化歸的數學思想方法。當然，數列求和的方法還有很多，大家平時還應多注意總結。
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