六年級奧數：經典習題及答案

1. 已知在乘積1×2×3×…×n的尾部恰好有106個連續的零，求自然數n的最大值。

【解析】

若已知n的具體數值，求1×2×…×n的尾部零的個數，則比較容易解決，現在反過來知道尾部零的個數，求n的值，不大好處理，我們可以先估計n大約是多少，然後再仔細確定n的值。

因此，乘積1×2×3×…×400中含質因數5的個數為80+16+3=99（個）。又乘積中質因數2的個數多於5的個數，故n=400時，1×2×…×n的尾部有99個零，還需 7個零，注意到425中含有2個質因數5，所以

　　當n=430時，1×2×…×n的尾部有106個零；

　　當n=435時，1×2×…×n的尾部有107個零。

　　因此，n的最大值為434。

2. 有3張撲克牌，牌面數字都在10以內。把這3張牌洗好後，分別發給小明、小亮、小光3人。每個人把自己牌的數字記下後，再重新洗牌、發牌、記數，這樣反覆幾次後，3人各自記錄的數字的和順次為13，15，23。問：這3張牌的數字分別是多少？

【解析】

13+15+23=51，51=3×17。

　　因為17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了 3次， 3張撲克牌數字之和是17，可能的情況有下面15種：

　　①1，6，10 　②1，7，9 　③1，8，8 

　　④2，5，10 　⑤2，6，9 　⑥2，7，8 

　　⑦3，4，10 　⑧3，5，9 　⑨3，6，8 

　　⑩3，7，7 　(11)4，4，9 (12)4，5，8

　　(13)4，6，7 (14)5，5，7 (15)5，6，6

　　只有第⑧種情況可以滿足題目要求，即

　　3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。

　　這3張牌的數字分別是3，5和9。

3.  寫出12個都是合數的連續自然數。

　　分析一：在尋找質數的過程中，我們可以看出100以內最多可以寫出7個連續的合數：90，91，92，93，94，95，96。我們把篩選法繼續運用下去，把考查的範圍擴大一些就行了。

解法1：用篩選法可以求得在113與127之間共有12個都是合數的連續自然數：

　　114，115，116，117，118，119，120，

　　121，122，123，124，125，126。

　　分析二：如果12個連續自然數中，第1個是2的倍數，第2個是3的倍數，第3個是4的倍數……第12個是13的倍數，那麼這12個數就都是合數。

　　又m+2，m+3，…，m+13是12個連續整數，故只要m是2，3，…，13的公倍數，這12個連續整數就一定都是合數。

解法2：設m為2，3，4，…，13這12個數的最小公倍數。m+2，m+3，m+4，…，m+13分別是2的倍數，3的倍數，4的倍數……13的倍數，因此12個數都是合數。

　　說明:我們還可以寫出

　　13！+2，13！+3，…，13！+13

　　（其中n！=1×2×3×…×n）這12個連續合數來。

　　同樣，

　　（m+1）！+2，（m+1）！+3，…，（m+1）！+m+1是m個連續的合數。

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