【能「爆炸」的指數函數】

原創 2017-04-25 李想 遇見數學

指數函數的圖像

既然是圖解, 那就先用一組指數函數的動畫來熱身吧:

上面就是一系列指數函數(Exponential function) 的圖形. 指數函數形如:

可能關於定義域還會有一些疑問: 

下面再來底數 a 不同時, 這一系列的函數圖形, 注意觀察 a 在不同範圍內的圖形單調性:

也就是說指數函數是否為嚴格單調遞增或遞減，全憑它的底a是否大於或小於1而定. 還有函數曲線的彎曲程度及爆炸式上升的速度均依賴於底數 a 的大小. 

現在關於指數函數做一個小結:

特別重要的指數函數

在數學中非常重要的指數函數, 特指以 e 為底數的指數函數. 這裡 e 是數學常數, 推薦查看【自然常數E的故事】, 這裡只將 e^x 圖像繪製下面, 不再贅述. 

關於指數函數下面我們再來看兩個相關的有趣故事. 

希薩的棋盤問題

希薩是古印度的數學家, 傳說是他發明了國際象棋獻給了印度國王 Shirham, 國王十分喜歡這個遊戲, 於是詢問希薩想要什麼賞賜. 

希薩畢恭畢敬地對國王說: 請大王賜我一些麥粒就好了, 在棋盤上的第一格上放上 1 粒麥粒, 第二格上放上 2 粒麥粒, 第三格上放上 4 粒麥粒, 第四格上放上  8粒, .... 一直加到64格. 

國王原以為只是一些糧食, 但經過算師計算之後, 發現所需麥子的數目即便是印度所有麥子都賞給希薩也不夠. 

這裡希薩這裡就用到了指數的知識, 把 2 作為底數, 棋盤的格子作為 x, 結果很快就有了數值上的爆炸上.  那現在讓我們也算一算下這每一格子上需要放置的糧食顆粒數:

即便只是看最後一個格子上的麥粒數量也是個天文數字, 假設每粒小麥重 65 mg, 那麼僅這個格子上的小麥重量就抵得上 9千多億頭牛的總重.

所以事實上, 這些糧食需要全世界幾千年才能產生(或許感興趣的話可以動手算下哦 ), 這就是拿指數運算來坑國王的例子了. 

澳洲的國民公敵 - 兔子

18世紀, 英國人將歐洲的兔子帶到了澳洲, 這裡遍地青草, 加之澳大利亞並沒有狐狸, 老鷹等兔子的天敵, 來著的兔子簡直到了天堂, 這些萌萌的小傢伙們除了吃吃吃就是啪啪啪了. 

注: 圖自網路

根據數學家得出結論 - 這個兔子繁殖速度可是滿足斐波那契增長(可以查看【瘋狂動物城中的數學問題】), 也就是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, .... 其實也是一個指數增長的數列, 約為

這個底數大約為 1.6 , 也還是能一飛衝天的增長速度, 所以這種小動物迅速在幾十年間"佔領"了澳洲, 瘋狂地肯吃青草, 灌木, 樹木, 給當地的生態和農業造成了難以彌補的損失.

最後還是政府利用黏液瘤病毒消滅了近 1000 萬隻兔子之後, 這場人兔大戰才算暫時告一段落. 

上面就是製作的圖解高中數學指數函數的案例. 好了, 先就到停到這裡吧, 下次再見. 

因為本人水平有限, 疏忽錯誤在所難免, 所以還請各位老師和朋友不吝賜教, 多提寶貴意見, 幫助我改進這個系列. 感謝關注! Thanks!