《時間之問》（跨學科師生討論）系列目錄接上一節...「那我們怎麼去增加閏月呢？在哪一年加閏月呢？」 學生問道。「哦，這的確是個問題，比如增加了一個30天的閏月，可是還沒有完全彌補33天的差距，還少3天。」「這可怎麼處理，古人也碰到了這個棘手的問題了吧？他們是怎麼解決的呢？」「這個問題可不光是中國人遇到了，古希臘人、希伯來人都遇到過這個問題，這個問題折磨了古人幾千年。因為他們也採用了陰陽混合曆，就是每個月根據月亮的圓缺來決定，但是一年的長度又根據太陽的回歸年來確定，這就要通過增加閏月來調和。陰曆和陽曆需要互相折中、互相協調，才有可能融為有機的一體。」
如果把陽曆比作太陽、而陰曆比作月亮，那麼這幅畫里既有太陽又有月亮，就像陰陽混合曆里既有陽曆又有陰曆，需要互相折中、互相協調，才有可能融為有機的一體。（from flickr 公開圖片）「我印象里，每次加閏月好像很隨機，沒有什麼規律。不像公曆裡面的閏年，總是在2月的最後加一天，農曆的閏月不一定加在那個月，而且不一定哪一年有閏月。這個挺複雜的。」 學生說道。「我們不妨從簡單的開始考慮。先做一些粗線條的估計，然後再不斷細化和優化。我想古人應該也是這麼考慮的。先刪繁就簡試試看。」「好的，那我們開始吧。」 學生說到。「可是在開始之前，先要確定兩個最基本的數值，這兩個數值分別是一個回歸年的長度和一個朔望月的長度。因為這是兩個最基本的量，而且基本上不隨時間波動（至少在數百年間如此），只有確定了這兩個數值的大小，才好進行閏月的計算。」「那好。首先確定一年的長度。」「一年的長度可以通過計算兩個冬至時刻之間的時間來確定，也可以通過計算兩個春分之間的長度來確定，總之是地球繞太陽一圈的時間。這個數值古人在春秋戰國時期就已經估算到大約是365.25天，大約相當於每四年增加一天，當然這個數值後來經過了不斷優化變得更加精確，目前的精確值是365.24219...天。歷代天文學家不斷優化這個值，以後我們再討論這個數值是怎麼計算來的。」「那一個朔望月的長度呢？」「這個就比較容易了。古人也發現一個月並不是整數天。」
月相的圓缺變化周期稱為一個朔望月：29.5306天 (from Wikimedia)「是怎麼發現的呢？」 學生問到。「古人發現月亮每29天或者30天就完成一次圓缺周期，每個月的十五或者十六剛好月圓，如果規定每個月都是是29天整，那下一個滿月之日就會比「十五」提前半天到來，再下一個滿月之日會提前到「十四」，這樣滿月之日就會越來越提前到來。」「每過兩個月，滿月的日期就會提前一天？」「對，12個月以後就提前了6天，也就是說初九、初十的時候月亮就圓了，這就嚴重偏離了曆法。」「只需一年就可以發現這個問題？」「對。反過來也是，如果一個陰曆月規定是30天整，那麼滿月之日就越來越推後到來，過了12個月，就要到這個月的「二十一」日左右才會看到月圓。」「一年之內就有這麼大的誤差！那一定有問題。那古人怎麼解決這個問題呢？」 學生問到。「古人解決這個問題的時候遇到了一個困難，那就是如果一個陰曆月不是整數天，那麼如果這個月月圓時刻是在半夜，那麼下一次月圓可能是在正午，而這時是看不到月亮的。」「所以不能像測量一年的長度那樣，直接測量一個朔望月的長度了！」「你說的沒錯。但是古人立刻就想到了一個間接的方法。這方法有點像稱一粒米的重量。單獨稱一粒米的重量是不現實的，那麼可以稱一碗米的重量，然後數一數有多少粒米，二者相除就得到了一粒米的重量。」「那就測量很多個滿月，然後用總共的天數除以滿月的次數？」 學生猜到。「對。連續測量比如100個月圓之間的日期數，比如是2953天，那麼月亮的圓缺周期大約是29.53天。」「我算算，2953天，大約是8年多。時間也不算太長，只要持續記錄月圓就可以了，這個方法比較簡單。」「那我們有了這兩個基本數值，一年大約是365.25天，一個月是29.53天。接下來我們就可以做下一步了，就是計算在哪一年當中來插入閏月。」「好的。」「我們先看一下12個陰曆月就是29.53x12=354.36天，而1年是365.25，兩者差了10.89天，三年就差了32.67天，比一個月還多，所以我們如果每3年就插入一個閏月（每個月平均是29.53天），可是這樣還少3.14天。」
3年1閏，增加一個閏月後，仍有誤差「那可怎麼辦呢？」「我們想想辦法試試」，老師說，「例如把3年拉長3倍變成9年，陰曆和陽曆之間的時間差達到了10.89x9=98.01天，9年中需插入3個閏月（平均需要29.53x3=88.59天），這樣誤差就是98.01-88.59=9.42天。」「對，這很容易理解，相當於把3年1閏的誤差3.14天放大了3倍。」「是的，但是我們知道每年陰曆比陽曆少了10.89天，和這個9.42天非常相近，有可能剛好把兩者抵消，從而大大減少誤差。」「怎麼抵消呢？」「我們把9年變成8年，就少了10.89天，這樣就很大程度上抵消了9.42天，也就是說不是9年3閏，而是8年3閏，誤差就會大大減小。我們來驗證一下：8年內陰曆和陽曆差了10.89x8=87.12天，而3個閏月如果按89天計算，這樣8年中插入3個閏月，誤差只有1天多。這誤差已經是比9年3閏的誤差小了很多了。」「嗯。」
8年3閏：8個回歸年vs. 99個朔望月，誤差比3年1閏大大減少「看來這種把時間等比拉長然後從分母里減去1年的方法可行，那我們繼續吧。現在我們把3年拉長4倍變成12年，需插入插入4個閏月（29.53x4=118.12天），12年總共少了10.89*12-118.12=12.56天。在這個基礎上，我們不要等到12年，而是到了11年就把4個閏月全部插完，11年4閏，這樣11年總共差了10.89*11-118.12=1.67天。這樣每11年的誤差有1.79天，比起12年4閏的12.56天的誤差也大大減少了。」
「嗯。我似乎有點明白了，我們可以繼續這樣，把插入閏月的周期同比拉長，看能不能找到更好的近似值。」「對，就是這個思路。現在我們在11年插入4個閏月的基礎上，繼續翻倍，也就是22年增加8個閏月，同樣誤差加倍就是3.34天，也就是比正常日期少了3.34天。」「讓我看看，這個3.34天和最初的三年一閏少的那3.14天比較接近。」「對，我們離春秋戰國時期採用的曆法只有一步之遙了。」「啊哈！看出來了！我們把這22年8閏的誤差3.34天全部歸結到是其中的一個三年一閏的3.67天產生的，那麼只要把22年8閏減去3年1閏，變成19年7閏，就可以用3.34去抵消3.14，這樣誤差就很小了！」「很好，我們來驗算一下」，老師說，「19年總共是6939.602天，插入7個閏月後，總共有19x12+7=235個朔望月，也就是6939.691天。這樣每19年的誤差只有不到0.1天！」
「真的非常小了。」「是的，這對沒有精準測量儀器的古人來說已經非常不錯了。」「19和235這兩個數有什麼特殊之處嗎」 學生問到。「19年里有12年是平年，每年12個月，另外7年是閏年，每年13個月，總共是235個月。我們可以構造出一幅漂亮的圖形來代表這幾個數字。首先最完美的圖形是圓形，所以我們先畫一個圓；其次六邊形也是非常完美的形狀，雪花和蜂巢都和六邊形有關，所以在這個圓周圍添加6個圓，總共就有了7個圓。這7個圓代表7個閏年，每年有13個月，所以我們在圓里寫上數字13，這樣我們就有了91個月。」「那另外12個平年呢？」「每個平年用一個寫有數字12的圓表示，它們均勻地圍繞著中心的6個圓，與之相切並兩兩相切，你會看到這12個圓和6個圓吻合和嚴絲無縫，最後外圍這12個圓又和一個更大的圓相切，吻合得非常好（左圖）。因為這12個圓表示平年，所以總共有144個月。144個月加上閏年的91個月，剛好是235個月！」
19和235的秘密圖形：左圖：19年中有7個閏年，表示為中心的一個圓和與之相切的6個圓，每個閏年13個月，所以有13x7=91個月；剩下12個平年表示為最外圍的12個相切的圓，每個平年12個月，有12x12=144個月，加起來有91+144=235個月。右圖：原理和布局與左圖相同，都是中心一個圓，中間6個圓，外圍12個圓，只是圓與圓之間不是相切，而是通過圓心相交 (右圖from infinity-codes.net)「真是完美！」 學生說道。「還可以變得更美。第一個圓和它周圍的6個圓如果不是相切的關係，而是相交，中間的圓的圓周通過這6個圓的圓心；此外，中間的6個圓的圓周也剛好經過外圍的12個圓的圓心，那麼就可以畫出一個更美麗的圖案出來！（右圖）」「沒想到這麼漂亮！對了，古人是怎麼推導出19年7閏的呢？」「一方面，古人通過大量數據的積累，可以進行一些猜測從而逼近實際的觀測結果。另外一方面也有一些數學方面的計算方法。」「有哪些方法呢？」「很遺憾，具體的方法已經無法確切知道了，古人只留下了結果，而沒有給出推導過程。我們只能夠根據結果去猜測過程了。」「真是很遺憾！」「是的，這有點像考古發掘。比如我們挖掘到一直骨頭做的笛子，知道遠古之人曾經發明和使用過這樣的樂器，但是古人是用什麼方式做出來這樣的笛子，以及笛子吹出來什麼樣的音樂，我們就只能猜測了。」「那我們猜測古人是怎麼推導出來的呢？」 學生問到。「一種猜測是古人是用了一種分式不等式的方法來逼近這個結果的。」「什麼是分式不等式？」 學生很好奇。「先看一個分式不等式的例子，例如1/2小於2/3，如果把1/2和2/3的分子部分相加，也就是1+2=3，作為新的分子，把分母部分相加2+3=5，作為新的分母，也就得到一個新的分式3/5，也就是0.6，而新的分式的大小剛好是處於1/2和2/3之間。」
「哦，這很簡單。寫成代數表達式就是，如果a/b 小於c/d，那麼(a+c)/(b+d)介於a/b和c/d之間。」
「對，比方我們剛才的例子，4/11小於3/8，那麼7/19就介於這兩者之間。」
「可為什麼剛好是7/19最接近實際呢？」 學生還是有些疑惑。「這是個很好的問題！實際上這已經是關於數學的問題了。」「是的。」「正是。剛才我們說過地球繞太陽一周是365.25天，而月球繞地球一周是29.53天，那麼也就意味著，當地球繞太陽一周的時候，月亮繞了地球12周多一些，但不到13周，確切說是繞了365.2422/29.5306=12.36826周，而這個數不是整數，也就是說用12個月來代表一年則少了10多天，而如果用13個月來表達一年又多出去將近20天。」「所以只能折中一下，在有些年份用12個月，有些年份用13個月。」「如果3年1閏，出現閏月的年份的比率是0.333，誤差較大。如果8年3閏，出現閏月的年份的比率是0.375，誤差有所減少。如果11年4閏，出現閏月的年份的比率是0.3636，誤差繼續減小。如果19年7閏，出現閏月的年份的比率是0.3684，誤差已經很小。你有沒有察覺出來一種趨勢？」「哦，我看到了，越來越趨近於12.36826的小數部分0.36826，而且是從上下兩個方向逼近的。」
從3年1閏到8年3閏、11年4閏、19年7閏，數字從0.33333 一直逐漸逼近到0.36826：上下波動地趨近，而不是單邊趨近「對。我們無意中已經越來越趨近於一個固定的常數，而這個數字決定了我們在一段時間裡要設置多少個閏月，而且知道了這個數值的大小，我們也就知道了每隔多少年，太陽、月亮和地球又會重新回到原來的相對位置，開始新的一輪循環。反過來，如果這個數值有所改變，那麼我們的曆法也要做調整了。」「除了中國人還有其它國家的人推導出這個數值嗎？」「有，古巴比倫人很早以前就推導出了19年7閏。後來古希臘的天文學家默冬（Meton）於公元前431年宣布推導出來，因此19年7閏這個周期在西方又稱為「默冬章」。中國人在公元前589年開始即已掌握19年7閏法則。」「既然已經確定了19年里加7個閏月，那接下來，這7個閏月加在哪些年份的呢？」「一般來說每隔2-3年就要設置一個閏月，古希臘人在這方面的設置沒有統一的立法，每個城邦都有自己的方法。其中一個比較有規律的方法就是把閏年的設置固定到特定的年份。現在人們估計當時的默冬曆法里，在19年的第3、第6、第8、第11、第14、第17、第19年里增加閏月。在有些希臘城邦里，閏月通常置於波塞德昂月之次月，即第二個波塞德昂月(閏6月)，但在另外一些城邦閏月的設置是隨意的。」
古希臘某些城邦的19年7閏：在固定的年份（第3、第6、第8、第11、第14、第17、第19年）增加閏月「那古代中國人的閏月又插入到哪個月後面呢？」 學生問到。「說到這一點，中國人提出的方法可以說獨步於世界了。一開始中國人曾經採用過固定把閏月放在年底的方法，但是這種方法不能很好地調和月份和季節。後來到了公元前104年的漢朝，中國人找到一種更加巧妙的方法，並應用在當時的《太初曆》裡面，這種置閏方法一方面月份和季節非常符合，另一方面還非常簡潔優雅！」「這是什麼方法呢？」未完，待續....參考文獻江曉原. 巴比倫—中國天文學史上的幾個問題[J]. 自然辯證法通訊, 1990(4):40-46.徐松岩. 古希臘曆法簡述《時間之問》（跨學科師生討論）系列目錄轉載本文請聯繫原作者獲取授權，同時請註明本文來自汪波科學網博客。鏈接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-813107-1048901.html
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