Motive——Grothendieck的夢想

05-31

來自專欄數學沉思錄

在所有我有幸發現並呈獻給世人的數學事物中，Motive的實在性對我來說依然是最奇妙、最充滿神秘的——它甚至是「幾何」與「算術」在深層次上的同一所在。而Motive的哲學......或許是我作為一個數學家的人生前半期所發現的最強有力的探索工具。
——Grothendieck

為什麼不存在代數的 $mathbb{Q}$ -係數上同調？
什麼是Motive？
代數閉鏈
Motive的構造
曲線的Motive
標準猜想——Grothendieck的夢想

一：為什麼不存在代數的 $mathbb{Q}$ -係數上同調？

我們已經看到，隨著素數 $ell$ 的變動，會給出性質完全不同的域 $mathbb{Q}_{ell}$ 上的上同調，這樣我們就有太多的上同調理論。人們自然會問，是否能類比於代數拓撲中的 $mathbb{Q}$ -係數上同調，以誘導出所有的 $ell$ -進上同調呢？答案是否定的。那為什麼沒有 $mathbb{Q}$ -係數上同調（即從光滑射影簇範疇到分次 $mathbb{Q}$ 代數範疇的反變函子）以誘導出所有的不同 $ell$ -進上同調呢？

第一種解釋（適用於非零特徵的 $k$ ）：設 $E$ 是域 $k$ 上的橢圓曲線，則 $End(E)_{mathbb{Q}}:= End(E)otimes_{mathbb{Z}} mathbb{Q}$ 可能是 $mathbb{Q}$ 上的 $4$ 次可除代數. 這種可除代數能作用於其上的最小的 $mathbb{Q}$ -線性空間是 $4$ 維的. 因此不存在 $mathbb{Q}$ -線性空間 $H^{1}(E,mathbb{Q})$ 使得 $H^{1}(E,mathbb{Q}_{ell})simeq H^{1}(E,mathbb{Q})otimes_{mathbb{Q}}mathbb{Q}_{ell}$ （作為 $End(E)_{mathbb{Q}}$ -模）
第二種解釋（適用於任意特徵的 $k$ ）： 設 $X$ 是特徵 $0$ 的代數閉域 $k$ 上的非奇異射影簇. 當我們取定一個嵌入 $k hookrightarrow mathbb{C}$ ，我們即得到一個複流形 $X(mathbb{C})$ ，熟知 $H_{et}^{i}(X,mathbb{Q}_{ell})simeq H^{i}(X(mathbb{C}),mathbb{Q})otimes mathbb{Q}_{ell}$ 換句話說，每個嵌入 $k hookrightarrow mathbb{C}$ 確實在各個上同調群上定義一個 $mathbb{Q}$ -結構. 然而，不同的嵌入可以給出完全不同的 $mathbb{Q}$ -結構.

因此這樣的 $mathbb{Q}$ -係數上同調並不存在. 可是，儘管 $mathbb{Q}_{ell}$ 是完全不同的世界，它們卻有著明顯構造上的類似. 對於不同的 $ell$ 所產生的定理，形式上是完全一樣的. 所以，應該存在一種不依賴 $ell$ 的東東. 正如Milne所說，既然不存在一種 $mathbb{Q}$ -係數上同調論以誘導出Grothendieck所定義的所有這些不同的上同調理論，但是我們又如何闡釋種種跡象都顯示其似乎存在的這一事實呢？Grothendieck的回答的是Motive理論.

二：什麼是Motive？

我稱為 $k$ 上的Motive是指像 $k$ 上代數概形的 $ell$ -進上同調群一樣的東西，但卻認為其與 $ell$ 無關，它具有整結構或暫設有 $mathbb{Q}$ 結構，它由代數鏈理論導出.
——Grothendieck

Grothendieck的想法是，應該存在一個萬有上同調理論其取值於由Motive構成的 $mathbb{Q}$ -範疇 $mathcal{M}(k)$ ：記 $k$ 上光滑射影簇的範疇為 $mathcal{V}(k)$

$mathcal{M}(k)$ 應該是像有限維 $mathbb{Q}$ -線性空間範疇那樣的範疇（但並不完全相似）. 特別，態射集 $Hom$ 應該是 $mathbb{Q}$ -線性空間；它應該是一個阿貝爾範疇；它應該是一個 $mathbb{Q}$ 上的Tannaka範疇.
應該存在萬有上同調理論 $X ightsquigarrow hX:mathcal{V}(k)mapsto mathcal{M}(k)$ 特別，每個韋依上同調應該能唯一通過 $X ightsquigarrow hX$ 分解.

在曲線情形的韋依猜想的證明中，韋依的的主要想法是引入曲線的雅克比並將其用作一階上同調的抽象替代。這就是說，本質上曲線的Motive就是曲線的雅克比. 從這種角度看，Grothendieck引入Motive的一個原因就是把Motive看成曲線的雅克比的高維類比.

最後，Deligne關於 What is a motive? 的回答：

A surprising fact about algebraic varieties is that they give rise not to one, but to many cohomology theories. Among them the l-adic theories, one for each prime l different from the characteristic, and in characteristic zero, the algebraic de Rham cohomology. These theories seem to tell the same story, over and over again, each in a different language. The philosophy of motives is that there should exist a universal cohomology theory, with values in a category of motives to be defined, from which all these theories could be derived. For the first cohomology group of a projective non-singular variety, the Picard variety plays the role of a motivic $H^{1}$ : the Picard variety is an abelian variety, and from it the $H^{1}$ in all available cohomology theories can be derived. In this way, abelian varieties (taken up to isogeny) are a prototype for motives.
A key idea of Grothendieck is that one should not try to define what a motive is. Rather, one should try to define the category of motives. It should be an abelian category with finite dimensional rational vector spaces as Hom groups. Crucially, it should admit a tensor product, needed to state a Künneth theorem for the universal cohomology theory, with values in the category of motives.
If only the cohomology of projective non-singular varieties is considered, one speaks of pure motives. Grothendieck proposed a definition of a category of pure motives, and showed that if the category defined had a number of properties, modelled on those of Hodge structures, the Weil conjectures would follow.

For the proposed definition to be viable, one needs the existence of 「enough」algebraic cycles. On this question almost no progress has been made.

三：代數閉鏈

在討論Motive的構造之前，我們需要解釋一下什麼是代數閉鏈.

定義：設 $X$ 是域 $k$ 上的光滑射影簇. $X$ 上的素鏈（prime cycle）是指 $X$ 的一個不可約閉子簇. $X$ 的余維數為 $r$ 的代數鏈群 $C^{r}(X)$ 是指由余維數為 $r$ 的素鏈生成的自由阿貝爾群. 如果 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 都是素鏈，則
$ext{codim}(Z_{1}cap Z_{2})leq ext{ codim}(Z_{1})+ ext{codim}(Z_{2})$
當等式成立時，我們稱 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 是真相交（properly intersect）；兩個代數鏈 $gamma_{1}$ 和 $gamma_{2}$ 稱為真相交，如果 $gamma_{1}$ 的每個素鏈與 $gamma_{2}$ 的每個素鏈真相交. 在這種情形下，定義它們的交積（intersection product） $gamma_{1}cdot gamma_{2}$ 為一個余維數為 $ext{ codim}(Z_{1})+ ext{codim}(Z_{2})$ 的鏈？.

例如：

這樣我們得到了部分有定義的映射：

$C^{r} imes C^{s}(X) o C^{r+s}(X),qquad (gamma_{1},gamma_{2})mapsto gamma_{1}cdot gamma_{2}$

為了得到在整個集合上有定義的映射，我們對代數鏈定義如下 $4$ 種等價關係：

稱 $X$ 的兩個代數鏈 $gamma_{1},gamma_{2}in C^{r}(X)$ 是有理等價（rationally equivalent），如果存在 $X imes mathbb{P}^{1}$ 上的代數鏈 $gamma$ 使得 $gamma_{1}$ 是 $gamma$ 在 $0$ 上的纖維、 $gamma_{2}$ 是在 $1$ 上的纖維 . 我們以 $C_{rat}^{r}(X)$ 表示相應的商群. 代數鏈的有理等價類構成環 $C_{rat}^{ast}:=igoplus_{r=0}^{ ext{dim}X}C_{rat}^{r}(X)$ ，它稱為 $X$ 的Chow環.
稱 $X$ 的兩個代數鏈 $gamma_{1},gamma_{2}in C^{r}(X)$ 是數值等價（numerically equivalent），如果對所有代數鏈 $deltain C^{ ext{dim}X-r}(X)$ ，有 $gamma_{1}cdot delta=gamma_{2}cdot delta$ （如果良定義的話）. 我們以 $C_{num}^{r}(X)$ 表示相應的商群. 代數鏈的數值等價類構成環 $C_{num}^{ast}:=igoplus_{r=0}^{ ext{dim}X}C_{num}^{r}(X)$ .
稱 $X$ 的兩個代數鏈 $gamma_{1},gamma_{2}in C^{r}(X)$ 是代數等價（algebraically equivalent），如果存在一個曲線 $T$ 和 $X imes T$ 上的代數鏈 $gamma$ 使得 $gamma_{t_{1}}=gamma_{1},gamma_{t_{2}}=gamma_{2}$ ，對任意 $t_{1},t_{2}in T$ . 我們以 $C_{alg}^{r}(X)$ 表示相應的商群. 代數鏈的代數等價類構成環 $C_{num}^{ast}:=igoplus_{r=0}^{ ext{dim}X}C_{alg}^{r}(X)$ .
取定一個韋依上同調 $H^{ast}$ . 稱 $X$ 的兩個代數鏈 $gamma_{1},gamma_{2}in C^{r}(X)$ 關於 $H^{ast}$ 是同調等價（homologically equivalent），如果 $cl_{X}(gamma_{1})=cl_{X}(gamma_{2})$ . 我們以 $C_{hom}^{r}(X)$ 表示相應的商群. 代數鏈的有理等價類構成環 $C_{num}^{ast}:=igoplus_{r=0}^{ ext{dim}X}C_{hom}^{r}(X)$ .

它們有如下關係：

有理等價 $implies$ 代數等價 $implies$ 同調等價 $implies$ 數值等價

可以證明交積定義了一個雙加性映射：

$C^{r}_{sim} imes C_{sim}^{s}(X) o C^{r+s}_{sim}(X)$

這裡 $sim$ 是有理/代數/同調/數值等價.

四：Motive的構造

現在我們從 $k$ 上光滑射影簇的範疇為 $mathcal{V}(k)$ 出發，試圖構造Motive範疇 $mathcal{M}(k)$ . 為此，我們試圖直接擴大範疇 $mathcal{V}(k)$ ，我們需要做兩件事：

由於代數簇之間的態射很少，我們應該允許「多值映射」，或者更準確地說，是「對應（correspondence）」.
把它改造成「近似的阿貝爾範疇」.

定義：從 $X$ 到 $Y$ 的 $r$ 次對應（correspondence）群定義為
$Corr^{r}(X,Y):=C^{ ext{dim}X+r}(X imes Y) .$
記 $Corr_{sim}^{r}(X,Y):=Corr^{r}(X,Y)/sim,~~ Corr_{sim}^{r}(X,Y)_{mathbb{Q}}:= Corr_{sim}^{r}(X,Y)otimes_{mathbb{Z}}mathbb{Q}$ ，
這裡 $sim$ 是有理/代數/同調/數值等價.

我們可簡單地將 $mathcal{M}_{sim}(k)$ 定義為這樣的範疇：對 $k$ 上的光滑射影簇 $X$ 有對象 $hX$ ，而態射定義為

$ext{Hom}(hX,hY):=Corr_{sim}^{0}(X,Y)_{mathbb{Q}}$

態射的複合為對應的合成. 然而這不是一個阿貝爾範疇.

現在我們定義 $mathcal{M}_{sim}(k)$ 定義為這樣的範疇：它對象是 $h(X,e)$ ，其中 $X$ 是 $k$ 上的光滑射影簇， $e$ 是環 $Corr_{sim}^{0}(X,X)_{mathbb{Q}}$ 的冪等元，態射是 $ext{Hom}(h(X,e),h(Y,f) ):=fcirc Corr_{sim}^{0}(X,Y)_{mathbb{Q}}circ e$