拓撲學Ⅱ|筆記整理（6）——商空間，閉曲面，代數拓撲起步

來自專欄一個大學生的日常筆記

大家好！

從這一節開始，更多的就開始關注拓撲性質在一些直觀和非直觀的拓撲空間中的應用了。當然了，這一節也確實很有意思。雖然題目也不太友好……

提供之前的筆記：

• 拓撲學Ⅱ|筆記整理（1）——拓撲基本概念及性質，連續
• 拓撲學Ⅱ|筆記整理（2）——乘積空間，拓撲基，分離公理
• 拓撲學Ⅱ|筆記整理（3）——可數公理，Urysohn可度量化定理
• 拓撲學Ⅱ|筆記整理（4）——緊緻性，列緊性
• 拓撲學Ⅱ|筆記整理（5）——連通性

我們開始本節的內容。本節內容所含原書內容為P73-109

常見曲面概述

這一部分主要是介紹常見的曲面，當然了需要比較強的空間想像力……

首先是平環和Mobius帶。首先假設有兩張矩形的紙片，然後標註方向。

什麼叫「標註方向」？比方說左邊這個矩形，現在我要讓兩條邊 貼在一起，怎麼做？自然的想法就是「捲起來」再把貼的邊粘起來。因為我們要保證「捲起來」之後的圖形不會與別的圖形歧義。所以我們規定好方向後，讓邊在貼合的時候同向。

所以還是左邊的這個圖，你把它「捲起來」，容易想明白它就是一個圓柱體。但是右邊這個呢？要注意到它右邊和左邊的邊是異向的，所以如果你要把它們捲起來，根據我們之前的規定，你要先把右邊的邊轉180度，再貼起來。這個東西我們就稱它為Mobius帶。

Mobius帶大概長這樣：

還有兩個最常用的就是環面和Klein瓶。

什麼是環面？事實上環面就是把圓柱「拉伸一下」。想像它是一個橡皮泥做的，並且可以無限拉伸（別把它拉斷就行）。然後再看下面的兩張圖。

第一個圖，你把這個圓柱拉伸，再把它們卷下來粘在一起，得到的就是一個圓環。我們稱它是個環面。但是第二個怎麼辦呢？

第二個東西因為上下逆向，所以你沒有辦法卷下來粘在一起了。或者說，你不能讓兩個方向都「卷下來」，所以你只能卷一個。這樣的話就相當於你拿著一個U形管。然後再讓這個管的其中一個方向「穿過」環面，與另一個方向粘貼在一起就可以了。得到的這個東西我們稱為Klein瓶。

書上的圖畫的比較清楚，粘貼在這裡：

事實上，因為「穿過」就會破壞環面，所以三維空間的Klein瓶並不存在。但是它依然是我們很重要的研究閉曲面上拓撲性質的基礎圖形（事實上，四維空間就可以，穿過的點把它的第四維坐標改一下就好了）。

這幾個應該算是最好想像的拓撲空間了，但是很多空間並不好想像。所以我們之後要做的事情，就是通過更加嚴謹和通用的方式，來研究閉曲面，這就引出了商空間的相關概念。

商空間

為了好研究，我們引入等價關係這個工具，在原來的空間上定義一個等價關係，然後規定在原來空間上同一個等價類的所有點，在新的空間上都被「縮為」一個點，具體的定義如下。

Definition 1:

一個集合上如果定義了一個等價關係 ，稱相應等價類的集合為 ，稱為 關於 的商集。把 上的點對應到它所在的等價類，得到映射 稱為粘合映射。

這個定義的意思就是，如果 ，那麼

現在，給商集定義一個拓撲，讓它變成商空間吧。怎麼做？

Definition 2:

設 是拓撲空間， 是 上的一個等價關係。規定 上的子集族 ，則 就是 上的一個拓撲，定義為商拓撲。

那麼它為什麼是一個拓撲呢？事實上，容易看出來 是一個滿射，所以 是開集。剩下的根據 即可得到。

根據這個定義， 的開集就是在 映射下原像是 中開集的那些子集。所以 在這個拓撲意義下顯然是連續的，並且這個拓撲是讓 連續的最大拓撲。這是因為如果存在另外一個拓撲 也使得 連續，那麼取 ，那麼就有 連續，也就是說 ，這也就說明了 。所以 ，這就證明了結論。

下面這個定理就是一個非常重要的定理，可以說它的理解方式貫穿始終。

Theorem 1:

設 是兩個拓撲空間， 是 上的一個等價關係， 是一個映射。則 連續 連續。

簡單說明一下。一方面，如果 連續，根據 連續即可得到結論。另一方面，如果 連續，我們取 中的任意一個開集 ，因為 連續，所以 是開集，根據商拓撲的定義， 即為開集。

那麼如何使用這個定理呢？拿矩形到圓柱的粘合過程舉個例子。首先我們假設矩形空間是 ，圓柱空間為 ，那麼如何描述這個變換？就需要使用 作為一個中介。

首先設 是 ，描述 到 的粘合過程。然後規定 ，規定 。首先 肯定是連續的，所以根據上面那個定理， 連續。其次， 是一個閉矩形（紙片嘛，閉的不過分吧），所以緊緻，所以 是緊緻的。另外圓柱面是一個Hausdorff空間（很簡單，因為我們說它是圓柱的時候，其實就已經定義了度量）。所以相當於說， 是一個緊緻集到Hausdorff空間的一個連續映射。根據之前筆記的結論它是同胚的。也就是說，拓撲意義下它們倆等價。換句話說我們完全就可以把 視作是那個圓柱面。所以確實可以用商空間去描述這一系列的連續變換。

根據商空間的概念，又可以得到一些新的圖形，我們列在這裡。

Definition 3:

設 是拓撲空間 的一個子集（通常閉），將 在原空間視為一個等價類，別的點各自成為一個等價類（也就是，在另外一個空間，把 捏為一點）。定義為商空間 。

Definition 4:

對於任意拓撲空間 ，定義 為 上的拓撲錐（因為相當於把上底捏為了一點）

Definition 5:

設 ，取 ，規定 的子集為 ，稱為 上的以 為頂點的幾何錐。

商映射

通過商映射其實可以更加深刻的去看商空間這個東西，但是具體如何操作使用，這要先經過一些嚴格的定義。

Definition 6:

設 為拓撲空間，如果映射 滿足

(1) 連續

(2) 是滿的

(3)設 ，若 為 的開集，那麼 是 的開集。

事實上，根據等式 可知，你還可以把第三個條件的「開集」換為「閉集」，結果是一樣的。並且，結合條件(1)，還可以知道第三個條件是充要的。

一個有意思的地方是，因為粘合映射 是一個商映射（想想為什麼），所以在商空間中討論的一個重要性質Theorem 1就可以改為如下的形式。

Theorem 1a:

若 是商映射， 是映射，那麼 連續 連續。

在接著討論之前，需要給一個之後一直要使用的符號定義。

Notation 1:

對於任意的映射 ，如果對於任意的 ，若 ，那麼稱 等價，記為 。

（事實上那個符號顯然不可能是這麼丑的…… 應該是在波浪號的正上方，但我沒有找到打出來的方法，有人知道的話請告訴我，謝謝啦！）

事實上這個符號的意思就是，如果兩個點 等價，那麼說明它們倆在映射之後會變為一個點。所以就相當於說這兩個點被「合併」，或者說「捏在了一起」。

好的，現在可以引入下面的幾個性質了。

Proposition 1:

若 是商映射，那麼

記 是一個粘合映射（熟悉一下這個商空間吧，就是 中的所有的 的像相同的點構成的等價類的集合）。那麼可以得到一一映射 ，使得 （ 是滿射可以根據 是滿射得到，下面考慮證明 是單射。如果 ，因為根據 的定義可知，任意一個 中的點都對應了一些 中的元素。而考慮 ，因為這些元素在 下的像都是點 ，所以它們在這個商空間中其實是一個元素（等價），所以這就說明了如果兩個 中的點重合，那麼對應的 中的點重合。這就是單射的定義）。

根據映射的運算性質可得 ，那麼因為 是商映射， 是粘合映射自然也連續，所以 連續。再根據 ， 是粘合映射把像和原像調了過來的映射， 是粘合映射，而根據 是商映射可得連續，所以 連續。所以這就證明了 是一個同胚。

這個證明是有難度的，需要綜合這一節中涉及到的有關商映射的重要的Theorem 1和它的變形。

Proposition 2:

連續的滿映射 若還是開映射或閉映射，則它是商映射。

事實上，只需要證明商映射滿足條件的第三個即可。這裡以開映射舉例。

取 是 的子集，那麼如果 是開集，這樣的話根據滿射可得 （這個等式要熟記，之前我們也是經常見過它）。因為映射是開映射，所以自然得到 是開集，就證明了結論。

下面這個結論是一個判定商映射的很實用的充分條件。

Theorem 2:

若 緊緻， 是Hausdorff空間，那麼連續滿映射 一定是商映射。

這裡主要需要用到第四節中「Hausdorff空間中的緊緻集是閉集」的條件。設 是 中的閉集，那麼 緊緻，根據連續性可得 緊緻，自然是閉集。所以 是閉映射，再根據上面那個Proposition 2即可得結論。

Proposition 3:

商映射的複合也是商映射。

首先，設 都是商映射，那麼 是連續的滿映射，下面證明商映射的第三個條件即可。

不妨設 ，並且 開。那麼根據 是商映射可得 是開集，再根據 是商映射可推出 是開集，就證明了結論。

可以看出，這個性質的證明，其實是反覆運用了Theorem 1。

下面舉一個例子來結束這一章。

Example 1:

設 是 的邊界圓周，那麼 。

（ 是單位圓盤，這個命題的意思是把單位圓盤的邊界捏為一點就可以形成一個與球面同胚的拓撲圖形）

作 為 。那麼容易知道 滿而連續。又 緊緻， 是Hausdorff空間，所以 是商映射。

根據Proposition 1，結合 就是把 捏成一點的等價關係（這是因為， 對應的情況是 ，但是這個時候，右方映射的點的三個分量均為固定的值）。所以自然可以得到結論成立。

書上還有關於空間粘貼和射影平面的其餘例子，因為我自己還沒有完全的弄懂，又正好之後用的不多（逃……），所以這裡就不再引入了（佔個坑，以後再回來補）。

根據Prof的教學安排，我們沒有再在第三章停留下去，而是直接結束了這一章。所以之後的內容將進入代數拓撲的環節。

代數拓撲起步

所以說，很多人想要我更代數拓撲，現在總算是到來了？

代數拓撲顧名思義，就是引入了代數（基本上是抽代）的工具，來去考慮研究拓撲的性質。

同倫

我們從同倫開始吧。

Definition 7:

設 是 到 的所有連續映射的集合。設 ，若存在連續映射 使得對於任意的 ，有 ，那麼稱 同倫，記為 ，並且稱 是連接 的一個同倫。記為

事實上，同倫的含義就是， 可以連續地變到 。比如說一條繩子，把它換個位置放，那麼這一條繩子之前和之後的狀態就是同倫的。

一個最簡單的同倫定義如下

Definition 8:

設 ，規定 為 ，定義其為直線同倫。

雖然這是一個定義，但是其實它為什麼是一個同倫其實還是有點意思的。只需要說明直線同倫的連續性即可。這個問題書上沒有給答案，不過還好貼吧有人給了解答。