二、相鄰自然數乘積的個位數字

　　由於僅考慮個位數字，相鄰的自然數之積1×2＝2，2×3＝6，3×4＝12，4×5＝20，5×6＝30，6×7＝42，7×8＝56，8×9＝72，9×10＝90，10×11＝110的個位數字只可能是0，2，6三種。

　　因此，若一個自然數的個位數字不是0，2，6，那麼，這個自然數不可能是兩個相鄰自然數的乘積。

例5 是否存在自然數n，使得n²＋n＋7是35的倍數？

分析與解：分別取n＝1，2，3，4，5，依次得到n²＋n＋7的值為9，13，19，27，37，顯然它們都不是35的倍數。但是這樣一個個試下去，即使試到n＝100，n²＋n＋7都不是35的倍數，也不能說不存在自然數n，使得n²＋n＋7為35的倍數。因為自然數有無窮多個，不可能每個都試到。

　　注意到n²＋n＝n×（n＋1）是兩個相鄰自然數的乘積，n²＋n＝n×（n＋1）的個位數字只可能是0，2，6，所以n²＋n＋7的個位數字只可能是7，9，3。

　　由於個位數字是7，9，3的自然數不可能是5的倍數，當然更不可能是35的倍數。

例6 不論n是怎麼樣的自然數，3×（5ⁿ＋1）都不可能是兩個連續自然數的乘積。

解：由於5的任何次方的個位數字總是5，5ⁿ＋1的個位數字為6，3×（5ⁿ＋1）的個位數字是8。

　　而相鄰的兩個自然數的乘積的個位數字只能是0，2，6。

　　故3×（5ⁿ＋1）不可能是兩個連續自然數的乘積。

例7 若n！＋4是兩個相鄰自然數的乘積，你能找出所有這種自然數n嗎？

分析：要想成為兩個相鄰自然數的乘積，至少其個位數字應為0，2，6之一。

　　我們已經知道5！＝120，個位數字為0，當n大於5時，n！的個位數字都是0，此時n！＋4的個位數字為4，故這時n！＋4不可能是相鄰自然數的乘積。

　　於是只要對n≤4的自然數分別討論n！＋4即可。

　　當n＝1時，1¹＋4＝5；

　　當n＝2時，2！＋4＝6；

　　當n＝3時，3！＋4＝10；

　　當n＝4時，4！＋4＝28。

　　由於10，28都無法表為兩個相鄰自然數的乘積。

　　而6＝2×3，所以，只有當n＝2時，n！＋4是兩個相鄰自然數的乘積。