等比數列

（一）等比數列

1. 如果一個數列從第 2 項起，每一項與它的前一項的比值都等於同一個常數，這個數列叫等比數列，用式子表示

（常數）。

理解等比數列定義時應注意：

（1）由於等比數列每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此q也不能為0。

（2）對於公比q，要注意它是每一項與它前一項的比，防止把相鄰兩項的比的次序顛倒。

（3）「從第2項起」是因為首項沒有「前一項」，同時應注意如果一個數列不是從第2項起，而是從第3 項或第4項起每一項與它前一項的比都是同一個常數，此數列不是等比數列，這時可以說此數列從第2項起或第3項起是一個等比數列。

2. 等比數列的通項公式是

，它是由不完全歸納法得到的，在理解這一公式時，應注意：

（1）在已知 a₁和 q 的前提下，利用通項公式

可求出等比數列中的任意一項。

（2）已知等比數列中任意兩項的前提下，使用

可求等比數列中任意一項。

（3）用函數的觀點看等比數列的通項。

等比數列｛a_n｝的通項公式

，可以改寫為

。當q>0，且q≠1時，

是一個指數函數，而

是一個不為0的常數與指數函數的積，因此等比數列｛a _n｝的圖象是函數

的圖象上的一群孤立的點。

3. 如果 a , G , b 成等比數列，則 G 叫做a和b的等比中項 ,

。顯然，如果a，b存在等比中項，則必有ab>0。於是，如果 a _n≠0 ，且

對任意的正整數 n 都成立，則數列｛a _n｝是等比數列。

4. 等比數列的幾個性質

設

，( a ₁ ，q≠0 ) ,

（1）當 q > 1 , a₁>0，或0< q < 1 , a ₁< 0 時， ｛a _n｝是遞增數列；當 q > 1 , a _l < 0 ，或 0 < q < 1 , a₁＞0時，｛a _n｝ 是遞減數列；當 q＝ 1 時， ｛a _n｝是常數列；當 q < 0時，｛a _n｝是擺動數列。

（2）

（m、n ∈N*）

（3）當 m ＋ n ＝p＋q ( m、n、p、q∈N*)時，有

（4）｛a _n｝是有窮數列，則與首末兩項等距離的兩項積相等，且等於首末兩項之積。

（5）數列｛λa _n｝（λ為不等於零的常數）仍是公比為 q 的等比數列；若｛b _n｝是公比為q"的等比數列，則數列｛a _n·b _n｝是公比為qq＇的等比數列，數列

是公比為

的等比數列；｛|a _n|｝是公比為 |q| 的等比數列。

（6）在｛a _n｝中，每隔 k （k ∈N*）項取出一項，按原來順序排列，所得新數列仍為等比數列且公比為

。

（7）當數列｛a _n｝是各項均為正數的等比數列時，數列{

}是公差為 lgq 的等差數列。

（8）｛a _n｝中，連續取相鄰兩項的和（或差）構成公比為 q 的等比數列。

（9）若 m、n、p ( m、n、p ∈N* )成等差數列時， a _m、a _n、a _p成等比數列。

5. 等差數列與等比數列的比較

（1）相同點：

①強調的都是每一項與它前一項的關係。

②數列都由首項、公差或首項、公比確定。

（2）不同點：

①等差數列強調的是每一項與其前一項的差，等比數列強調的是每一項與其前一項的比；

②等差數列中的首項和公差可以為零，等比數列的首項和公比都不等於零；

③等差中項唯一，是

，等比中項有兩個，分別為

。

（二）等比數列的前n項和

1. 前 n 項和公式的導出

方法1：設等比數列 a₁ , a ₂, a ₃，… ，a _n，… ，它的前n 項和是 S _n＝ a₁＋a ₂＋a ₃＋… ＋a _n。

由等比數列的通項公式可將 S _n寫成

①

①式兩邊同乘以 q 得：

②

①－②，得

，由此得

時，

當q ＝ 1時，S _n ＝ n a₁

方法2：由等比數列的定義知：

當q≠1時，

，即

，故

，

當q ＝ 1時，S _n ＝ n a₁

方法3：

＝a₁＋q(S _n－a _n)，當 q≠1 時，

，當q ＝ 1時，S _n ＝ n a₁

注意問題：

（1）上述證法中，方法1為錯位相減法，方法2為合比定理法，方法3為拆項法。各種方法在今後的解題中都經常用，要用心體會。

（2）公比為1與公比不為 1 時公式不同，若公比為字母，要注意分類討論。

（3）當已知a₁,q, n時，用公式

，當已知a₁, q , a _n時，用公式

。

（4）等比數列前 n 項和的一般形式，一般地，如果a _l ，q 是確定的，那麼

，設

，則上式可寫為

（5）在等比數列的通項公式和前 n 項和公式中，共涉及五個量：

，其中首項 a₁和公比 q 為基本量，且「知三求二」。

（6）前 n 項和公式的應用中，注意前 n 項和公式要分類討論，即 q≠1和 q＝1 時是不同的公式形式，不可忽略 q ＝ 1 的情況。

2. 數列｛a _n｝為等比數列，S _n為其前 n 項和，則

仍構成等比數列，且有

；

3. 若某數列前 n 項和公式為

，則｛a _n｝為等比數列；

4. 在等比數列中，若項數為 2n (n ∈N* ) ,

與

分別為偶數項與奇數項的和，則

÷

＝q。

（三）數列求和的常用方法

求數列的前 n 項和S _n ，通常要掌握以下解法：

①直接由等差、等比數列的求和公式求和，注意等比數列要分q≠1和q＝1的討論。

②倒序相加法：如果一個數列｛a _n｝，與首末兩項等距的兩項之和等於首末兩項之和，可採用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法。

③錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列對應乘積組成，此時求和可採用錯位相減法。

④分組轉化法：把數列的每一項分成兩項，或把數列的項重新組合，或把整個數列分成兩部分，使其轉成等差或等比數列，這一求和方法稱為分組轉化法。

⑤裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，即數列的每一項都可按此法拆成兩項之差。在求和時一些正負項相互抵消，於是前 n 項的和變成首尾若干少數項之和，這一求和方法稱為裂項相消法。

【典型例題】

  例1. 已知

為等比數列，且

，求n。

解析1：

解析2：

且

又

點評：正確運用等比數列的通項公式，公式中的

知道其中三個量，可以求另外一個量。

  例2. 已知：

是公比不等於－1的等比數列，且

對一切正整數成立。

求證：

也是等比數列。

解析：證法一：∵

成等比數列，

即

構成等比數列。

證法二：∵

成等比數列，

又q≠－1，

∴

成等比數列。

點評：證明數列成等比數列與證明數列成等差數列類似，可利用定義，也可考慮利用中項，但應注意

是a、b、c成等比數列的必要條件。

例3. 互不相等的三個數之積為

，這三個數適當排列後可成為等比數列，也可排成等差數列，求這三個數排成的等差數列。

解析：設三個數為

，所以

，即

，

所以三個數字為

（1）若－2為

和－2q的等差中項，則

所以

與已知矛盾

（2）若－2q為

與－2的等差中項，則得

＝2q，

，三數為4，1，－2；

（3）若

為－2q與－2的等差中項，

則

所以

，所以q＝－2，所以三數為4，1，－2。

綜合（1）、（2）、（3）可知，這三個數排成的等差數列為4，1，－2。

點評：若知道等比數列幾項的積，一般按本題形式設出…，

，a，aq，… 式的對稱式，也可以按定義來設定。

  例4. 數列

中，

，求前n項和

。

解析：

         ①

                  ②

②÷①得

都是等比數列，公比q＝4

（1）當n為奇數時

（2）當n為偶數時

綜合以上兩種情況

點評：本題的解題關鍵是，從已知條件中得出數列的奇數項和偶數項分別成等比數列，然後分別求和，再歸納出S_n。

  例5. 在等比數列

中，

，且前n項和S_n＝126，求n及公比q。

解析：

是方程

的兩根

解方程得

若

由

是

∴q＝2，由

得

若a₁＝64，a_n＝2

同理可求得

，n＝6

綜上所述，n的值為6，公比q＝2或

。

點評：等比數列中五個基本量

，知三可求二，列方程組是求解的常用方法。解本題的關鍵是利用

，進而求出 a ₁、a _n，要注意a ₁、a _n是兩組解。

  例6. 求和：

解析：由

    ①

得

              ②

①－②得

（1）當a≠1時

即

（2）當a＝1時，

點評：本題的解決給我們有兩點啟示：（1）由數列結構1，2，3，…，n為等差，l，a，a²，…，

為等比由此引發出與課本中等比數列前n項和推導類似——錯位相減。（2）由公比a（含零）可取1引出進行分類。

  例7. 若數列

成等比數列，且a_n>0，前n項和為80，其中最大項為54，前2n項之和為6560，求S₁₀₀。

解析：由

        ①

                ②

②÷①得1＋qⁿ＝82，則qⁿ＝81代入①得

           ③

由a₁>0得，

是遞增數列，

故知最大項為a_n＝54。

點評：本題求解過程事實上就是將問題轉化為求關於

的方程組的過程，求解過程中始終將

視為整體作為一個變數來處理，簡化了式子結構，便於計算。

  例8. 求和：

解析：當x≠±1時

當x＝±1時，S_n＝4n。

點評：某些數列，通過適當分組，可得出兩個或幾個等差數列或等比數列，進而利用等差數列或等比數列的求和公式分別求和，從而得出原數列的和。分組轉化法是通過對數列通項結構特點的分析研究，將數列分解轉化為若干個能求和的新數列的和或差，從而求得原數列的和的一種求和方法。

  例9. 已知等比數列

中前10項的和S₁₀＝10，前20項的和S₂₀＝30，求S₃₀。

解析：解法一  設公比為q，則

所以

       ＝10×（1＋2＋4）＝70

解法二  因為S₁₀，S₂₀－S₁₀，S₃₀－S₂₀仍成等比數列

又因為S₁₀＝10，S₂₀＝30

所以S₃₀－30

即S₃₀＝70

點評：等比數列｛a_n｝，若平均分成若干組，每組的和仍為等比數列。

例10. （2001·全國·21）從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，並以此發展旅遊產業，根據規劃，本年度投入800萬元，以後每年投入比上年減少

，本年度當地旅遊業收入估計為400萬元，由於該項建設對旅遊業的促進作用，預計今後的旅遊業收入每年將比上年增加

。

（1）設n年內（本年度為第一年）總投入為a_n萬元，旅遊業總收入為b_n萬元，寫出a_n、b_n的表達式；

（2）至少經過幾年，旅遊業的總收入才能超過總投入？

解析：（1）第一年投入為 800 萬元，第二年投入為

萬元，…，第n年投入為

萬元。所以 n 年內總投入為：

第一年旅遊業收入為400萬元，第二年旅遊業收入為

萬元，…，第n年旅遊收入為

萬元，所以n年內的旅遊業總收入為：

（2）設至少經過n年旅遊業的總收入才能超過總投入，由此：

，即

化簡得：

設

，則

，解得：

∴x>1（捨去），即

，由此得n≥5。

故：至少經過5年，旅遊業的總收入才能超過總投入。

點評：解等比數列模型的求和應用題，一是直接運用公式求和；二是由特例入手，歸納總結一般情形，進而建立等比數列求和的模型，再求其和；三是尋找遞推公式，把它轉化為遞推數列的問題。

【模擬試題】

1.

是

成等比數列的（    ）

A. 充分但不必要條件                                     B. 必要但不充分條件

C. 充要條件                                            D. 既不充分又不必要條件

2. 等比數列

中，

，則

（    ）

A. 128                 B. 36                    C. 20           D. 10

3. 設

是由正數組成的等比數列，公比q＝2，且

，則

等於（    ）

A.

                        B.

                 C.

                             D.

4. 等比數列

中，公比q

，它的前n項和為M,數列

前n項和為N，則

的值為（    ）

A. 2

                 B.

       C.

                D. 2

5. 如果數列

的前n項和

，那麼這個數列（    ）

A. 是等差數列但不是等比數列               B. 是等比數列不是等差數列

C. 既是等差數列又是等比數列               D. 既不是等差數列又不是等比數列

6. 在等比數列

中，對於

，

,則

的值等於（    ）

A.

        B.

     C.

        D. 

(4ⁿ－1)

7. 已知

是等比數列，且

，則

＝          。

8. 設等比數列

的前n項和為

,公比為2，

       ，k ＝        。

9. 設等比數列

的前n項和為

，若

，則公比q＝        。

10. 已知下列命題：

①若

為等比數列，m、n、p、q均為正整數，m＋n＝p＋q，則

；

②

的等比中項；

③常數數列是公比為1的等比數列；

④等比數列的項數作自變數，各項對應值視為函數值，則等比數列的圖象是分布在指數函數圖象上的一群孤立的點。

其中正確的命題序號有          。

11. 等比數列

中，

，求項數n和公比

的值。

12. 若數列

前n項和可表示為

，則

是否可能成為等比數列？若可能，求出a值；若不可能，說明理由。

13. 已知數列

的前n項和為

，又有數列

，它滿足關係

，對n∈N_＋, 有

。

求證：

是等比數列，並寫出它的通項公式。

14. 有四個正數，前三個數成等差數列，其和為48，後三個數成等比數列，其最後一個數為25，求此四個數