內容節選自《程序員的數學》，已獲圖靈許可，由[好玩的數學]編輯整理，標題為小編所加，特此感謝。

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小程序

《程序員的數學》，[日]結城浩著，管傑譯，人民郵電出版社

以下是小學一年級時發生的事，我依然記憶猶新。

「下面請打開本子，寫一下『十二』。」老師說道。於是，我翻開嶄新的本子，緊握住削尖了的鉛筆，寫下了這樣大大的數字。

老師走到我跟前，看到我的本子，面帶微笑親切地說：「寫得不對喔。應該寫成 12 喔。」

當時我是聽到老師說「十二」，才寫下了 10 和 2。不過那樣是不對的。眾所周知，現在我們把「十二」寫作 12。

而在羅馬數字中，「十二」寫作 XII。X 表示 10，I 表示 1。II 則表示兩個並排的 1，即 2。也就是說，XII 是由 X 和 II 組成的。

如同「十二」可以寫作 12 和 XII，數字有著各種各樣的計數法。12 是阿拉伯數字的計數法，而 XII 是羅馬數字的計數法。無論採用哪種計數法，所表達的「數字本身」並無二致。下面我們就來介紹幾種計數法。

什麼是 10 進位計數法？

我們平時使用的是 10 進位計數法。

• 使用的數字有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 共 10 種。

• 數位有一定的意義，從右往左分別表示個位、十位、百位、千位……

（註：這裡的「種」指的是數字的種類，用來說明 10 進位和 2 進位中數字複雜程度的差異。如 2561 中包含四種數字，而 1010 中只包含兩種數字。——譯者注）

以上規則在小學數學中都學到過，日常生活中也一直在用，是眾所周知的常識。在此權當複習，後面我們將通過實例來了解一下 10 進位計數法。

分解 2503

首先，我們以 2503 這個數為例。2503 表示的是由 2、5、0、3 這 4 個數字組成的一個稱作 2503 的數。

這樣並排的數字，因數位不同而意義相異。

2 表示「1000 的個數」。

5 表示「100 的個數」。

0 表示「10 的個數」。

3 表示「1 的個數」。

綜上所述，2503 這個數是 2 個 1000、5 個 100、0 個 10 和 3 個 1 累加的結果。用數字和語言來冗長地說明有些無趣，下面就用圖示來表現。

如圖，將數字的字體大小加以區別，各個數位上的數字 2、5、0、3 的意義便顯而易見了。1000 是 10×10×10，即 10³（10的 3 次方），100 是 10×10，即 10² （10 的 2 次方）。因此，也可以寫成如下形式（請注意箭頭所示部分）。

再則，10 是 10¹（10 的 1 次方），1 是 10⁰(10 的 0 次方 )，所以還可以寫成如下形式。

千位、百位、十位、個位，分別可稱作 10³ 的位、10² 的位、10¹ 的位、10⁰ 的位。10 進位計數法的數位全都是 10ⁿ 的形式。這個 10 稱作 10 進位計數法的基數或底。

基數 10 右上角的數字——指數，是 3、2、1、0 這樣有規律地順次排列的，這點請記住。

2進位計數法

下面講解 2 進位計數法。

什麼是 2 進位計數法？

計算機在處理數據時使用的是 2 進位計數法。從 10 進位計數法類推，便可很快掌握它的規則。

• 使用的數字只有 0、1，共 2 種。

• 從右往左分別表示 1 位、2 位、4 位、8 位……

用 2 進位計數法來數數，首先是 0，然後是 1，接下去……不是 2，而是在 1 上面進位變成 10，繼而是 11，100，101……

表 1-1 展示了 0 到 99 的數的 10 進位計數法和 2 進位計數法。

分解 110

在此，我們以 2 進位表示的 1100（2 進位數的 1100）為例來探其究竟。

和 10 進位計數法一樣，並排的數字，各個數位都有不同的意義。從左往右依次為：

1 表示「8 的個數」。

1 表示「4 的個數」。

0 表示「2 的個數」。

0 表示「1 的個數」。

也就是說，2 進位的 1100 是 1 個 8、1 個 4、0 個 2 和 0 個 1累加的結果。這裡出現的 8、4、2、1，分別表示 2³、2²、2¹、2⁰。即 2 進位計數法的 1100，表示如下意思。

如此計算就能將 2 進位計數法的 1100 轉換為 10 進位計數法。

由此可以得出，2 進位的 1100 若用 10 進位計數法來表示，則為 12。

基數轉換

接下來我們試著將 10 進位的 12 轉換為 2 進位。這需要將 12 反覆地除以 2（12 除以 2， 商為 6 ；6 再除以 2，商為 3 ；3 再除以 2……），並觀察餘數為「1」還是「0」。餘數為 0 則表示「除完了」。隨後再將每步所得的餘數的列（1 和 0 的列）逆向排列，由此就得到 2 進位表示了。

同樣地，我們試將 10 進位的 2503 轉換為 2 進位計數法。

我們從圖 1-2 可以知道 2503 用 2 進位表示為 100111000111。各個數位的權重如下：

在 10 進位中，基數為 10，各個數位是以 10ⁿ 的形式表現的。而 2 進位中，基數為 2， 各個數位是以 2ⁿ 的形式表現的。從 10 進位計數法轉換為 2 進位計數法，稱作 10 進位至 2 進位的基數轉換。

計算機中為什麼採用 2 進位計數法

計算機中一般採用 2 進位計數法，我們來思考一下原因。計算機在表示數的時候，會使用以下兩種狀態。

• 開關切斷狀態

• 開關連通狀態

雖說是開關，但實際上並不需要機械部件，你可以想像成是由電路形成的「電子開關」。總之，它能夠形成兩種狀態。這兩種狀態，分別對應 0 和 1 這兩個數字。

• 開關切斷狀態 … 0

• 開關連通狀態 … 1

1 個開關可以用 0 或 1 來表示，如果有許多開關，就可以表示為許多個 0 或 1。你可以想像這裡排列著許多開關，各個開關分別表示 2 進位中的各個數位。這樣一來，只要增加開關的個數，不管是多大的數字都能表示出來。

當然，做成能夠表示 0 ～ 9 這 10 種狀態的開關，進而讓計算機採用 10 進位計數法，這在理論上也是可能的。但是，與 0 和 1 的開關相比，必定有更為複雜的結構。

另外，請比較一下圖 1-3 和圖 1-4 所示的加法表。2 進位的表比 10 進位的表簡單得多吧。

若要做成 1 位加法的電路，採用 2 進位要比 10 進位更為簡便。

不過，比起 10 進位，2 進位的位數會增加許多，這是它的缺點。例如，在 10 進位中2503 只有 4 位，而在 2 進位中要表達同樣的數則需要 100111000111 共 12 位數字。這點從表 1-2 中也顯而易見。

人們覺得 10 進位比 2 進位更容易處理，是因為 10 進位計數法的位數少，計算起來不容易發生錯誤。此外，比起 2 進位，採用 10 進位能夠簡單地通過直覺判斷出數值的大小。人的兩手加起來共有 10 個指頭，這也是 10 進位更容易理解的原因之一。

不過，因為計算機的計算速度非常快，位數再多也沒有關係。而且計算機不會像人類那樣發生計算錯誤，不需要靠直覺把握數字的大小。對於計算機來說，處理的數字種類少、計算規則簡單就最好不過了。

讓我們來總結一下。

• 在 10 進位計數法中，位數少，但是數字的種類多。

  →對人類來說，這種比較易用。

• 在 2 進位計數法中，數字的種類少，但是位數多。

  →對計算機來說，這種比較易用。

鑒於上述原因，計算機採用了 2 進位計數法。

人類使用 10 進位計數法，而計算機使用 2 進位計數法，因此計算機在執行人類發出的任務時，會進行 10 進位和 2 進位間的轉換。計算機先將 10 進位轉換為 2 進位，用 2 進位進行計算，再將所得的 2 進位計算結果轉換為 10 進位。

按位計數法下面來介紹按位計數法。

什麼是按位計數法

我們學習了 10 進位和 2 進位兩種計數法，這些方法一般稱作按位計數法。除了 10 進位和 2 進位以外，還有許多種類的按位計數法。在編程中，也常常使用 8 進位和 16 進位計數法。

• 8 進位計數法

8 進位計數法的特徵如下：

• 使用的數字有 0、1、2、3、4、5、6、7 共 8 種。

• 從右往左分別為 8⁰ 的位、8¹ 的位、8² 的位、8³ 的位……（基數是 8）

• 16 進位計數法

16 進位計數法的特徵如下：

• 使用的數字有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F 共 16 種。

• 從右往左分別為 16⁰ 的位、16¹ 的位、16² 的位、16³ 的位……（基數是 16）

• 在 16 進位計數法中，使用 A、B、C、D、E、F（有時也使用小寫字母 a、b、c、d、e、f）來表示 10 以上的數字。

• N 進位計數法

一般來說，N 進位計數法的特徵如下：

• 使用的數字有 0，1，2，3，…，N-1，共 N 種。

• 從右往左分別為 N⁰ 的位、N¹ 的位、N² 的位、N³ 的位……（基數是 N）

例如，N 進位計數法中，4位數 a₃a₂a₁a₀ 為a₃×N³+a₂×N²+a₁×N¹+a₀×N⁰（a₃、a₂、a₁、a₀是0～N-1中的數字。）

不使用按位計數法的羅馬數字

按位計數法在生活中最為常見，因此人們往往認為這種方法是理所當然的。實際上， 在我們身邊也有不使用按位計數法的例子。

例如，羅馬計數法。

羅馬數字至今還常常出現在鐘錶錶盤上。

還有，在電影最後放映的演職員名單中，也會出現表示年號的 MCMXCVIII 等字母。這也是羅馬數字。

羅馬計數法的特徵如下：

• 數位沒有意義，只表示數字本身

• 沒有 0

• 使用 I(1)、V(5)、X(10)、L(50)、C(100)、D(500)、M(1000) 來記數

• 將並排的數字加起來，就是所表示的數。

例如，3 個並排的 I（III）表示 3，並排的 V 和 I（VI）表示 6，VIII 表示 8。

羅馬數字的加法很簡單，只要將羅馬數字並排寫就可以得到它們的和。比如，要計算1+2，只要將表示 1 的 I 和表示 2 的 II 並排寫作III 就行了。但是，數字多了可就不太簡單了。

例如，計算 3+3 並不是把 III 和 III 並排寫作 IIIIII，而是將 5 單獨拿出來寫作 V，所以 6 就應該寫作 VI。CXXIII（123） 和 LXXVIII（78） 的加法， 也不能僅僅並排寫作CXXIIILXXVIII，而必須將 IIIII 轉換為 V，VV 轉換為 X，XXXXX 轉換為 L，再將 LL 轉換為 C，如此整理最後得到 CCI（201）。在「整理」羅馬數字的過程中，必須進行與按位計數法的進位相仿的計算。

羅馬計數法中還有「減法規則」。例如 IV，在 V 的左側寫 I，表示 5-1，即 4（在鐘錶錶盤上，由於歷史原因也有將 4 寫作 IIII 的）。

讓我們試著將羅馬數字的 MCMXCVIII 用 10 進位來表示。

可以發現，MCMXCVIII 表示的就是 1998。羅馬數字真是費勁啊！