《奇妙的素數》

　　《奇妙的素數》【456】

    班明峰//

1966年由中國數學家陳景潤利用篩法所取得的。他證明了：存在

無窮多個素數p，使得p+2要麼是素數，要麼是兩個素數的乘積。

這個結果的形式與他關於哥德巴赫猜想的結果很類似。目前一般

認為，由於篩法本身的局限性，這一結果在篩法範圍內很難被超

越。2005年，戈德斯坦等人提出一個重要猜想：存在無窮多間隔

小於16的素數對。假設關於算術級數素數分布的埃利奧特-哈伯

斯塔姆猜想成立，這一弱孿生素數猜想就可以證明了。這算是一

項具有里程碑意義的成果，但可能存在邏輯推論上的瑕疵破綻

他們提出的弱孿生素數猜想迄今尚未得到證明。

在張益唐論文被公佈於眾後，短短的一個月以內，「7000萬」就

被華裔數學家、菲爾茨獎得主陶哲軒發起的網上討論班縮小到6

萬；在7月底前，數字已經縮小到了5000以下。陶哲軒和英國數

學家本·格林在2004年證明了一個與孿生素數猜想有關的重要命

題——存在任意長的素數等差數列；這是一項偉大的成就。

由於孿生素數猜想與哥德巴赫猜想屬於「姐妹」問題，一些數學

家希望通過解決前者，進而攻克後者。由於孿生素數的分布極不

均勻，並且隨著數的增大變得越來越稀疏，研究孿生素數分布模

式的難度也就非常之大。

孿生素數研究的最新進展

　　加拿大蒙特利爾大學26歲的博士後詹姆斯·梅納德最近宣稱

：他已將無窮多個素數對之差縮小到600。這名前不久才從英國

牛津大學獲得博士學位的年輕數學家已收到許多來自同行的祝賀

和鼓勵；其研究成果將發表在科學刊物上。

他找到了一種用於改進和簡化張益唐的方法的新方法，更換了一

種用於估計一個數字是素數的概率的新工具。他說：「張益唐和

我從同一點開始，但我們採取了完全不同的路徑。我使用的方法

要簡單得多。」　　梅納德在接受媒體採訪時表示，用他的方法

可以將無窮多個素數對之差縮小到6（即k等於3），但不能縮小

到2；要縮小到2，仍需新的方法和工具。他堅信孿生素數猜想是

可以證明的。讓我們拭目以待！（作者為挪威奧斯陸大學博士後

）

素數從根本上和乘法相關，理解他們和加法相關的性質就變得很

困難。一些數學上最古老的未解之謎就和素數和加法相關，其中

之一就是孿生素數猜想——存在無 限多組差為2的素數對。另一

個則是哥德巴赫猜想，這個猜想提出所有的偶數都可以表示為兩

個素數之和。在自然數列的起始部分存在著大量的素數，但是

隨著數字變大，他們變得原來越稀少。不能排除素數的間隔會一

直增長最終超過一個特定上限的可能。1849年，法國數學家阿爾

方·波利尼亞克提出了「波利尼亞克猜想」：對所有自然數k，

存在無窮多個素數對(p,p+2k)。k等於1時就是孿生素數猜想，而

k等於其他自然數時就稱為弱孿生素數猜想。而最終攻破這道障

礙的，是名不見經傳的華人數學家張益唐。他的論文顯示對於某

一個小於7千萬的數字N，存在無窮多的素數對，他們之間的差小

於N。無論你在那些真正巨大素數的沙漠裡面步行多久——不論

這些素數變得多麼的稀疏，你總會不停地發現差小於7千萬的素

數對。雖然新發明的篩可以使得張能夠證明存在無限多組素數對

差不超過7千萬，使用他的方法證明孿生素數猜想卻不大可能

1919年，挪威數學家布隆仿照歐拉的方法，求所有孿生素數的倒

數和：

b=（1/3+1/5）+（1/5+1/7）+（1/11+1/13）+...

如果也能證明這個和比任何數都大，就證明了孿生素數有無窮多

個了。這個想法很好，可是事實卻違背了布隆的意願。他證明了

這個倒數和是一個有限數，這個常數就被稱為布隆常

數:b=1.90216054...布隆還發現，對於任何一個給定的整數m，

都可以找到m個相鄰素數，其中沒有一個孿生素數。

1966年由已故的我國數學家陳景潤利用篩法 (sieve method) 所

取得的。陳景潤證明了： 存在無窮多個素數 p， 使得 p+2 要

么是素數， 要麼是兩個素數的乘積。 這個結果與他關於

Goldbach 猜想的結果很類似。 一般認為， 由於篩法本身的局

限性， 這一結果在篩法範圍內很難被超越。

2013年，5月14日，《自然》（Nature）雜誌在線報道張益唐證

明了「存在無窮多個之差小於7000萬的素數對」，這一研究隨即

被認為在孿生素數猜想這一終極數論問題上取得了重大突破，甚

至有人認為其對學界的影響將超過陳景潤的「1+2」證明。

孿生素數猜想可以弱化為「能不能找到一個正數，使得有無窮多

對素數之差小於這個給定正數」，在孿生素數猜想中，這個正數

就是2。而張益唐找到的正數是「7000萬」。

《自然》的報道稱，如果這個結果成立，就是第一次有人正式證

明存在無窮多組間距小於定值的素數對。換言之，張益唐將給孿

生素數猜想證明開一個真正的「頭」。世界頂級數學期刊《數學

年刊》（Annals of Mathematics）將準備接受張益唐作出證明

的這篇文章，審稿人還評價「其證明是對的，並且是一流的數學

工作」。但是有中國人人證明孿生素數猜想不可證。

張一人孤軍奮戰，試圖在GPY定理和孿生素數定理之間架起橋樑

。張花費了數月的時間來完善所有的細節，但是最終的論文卻是

清晰闡述的典範，Granville評價道。」他顧及到了每一個細節

，讓人無從質疑，絲毫也不含糊。張在他的哈佛的演講上卻一點

兒都沒有膽怯。演講以其清晰性被出席者所稱道。「當我做演講

並且專註於數學時，我就把害羞丟在腦後了」他說。

「

作為一個中國移民，他從普度大學接受了博士學位。一直以來，

他都對於數論充滿興趣，即使這不是他博士論文的題目。在那些

困難的歲月，他無法獲得一份學術界的工作，他依然繼續緊跟該

領域的進展。

使用埃拉托色尼篩法來尋找100以內的素數，我們從2開始，劃掉

100以內能被2整出的數。接著來到3，劃掉所有能被3整除的數。

4已經被劃掉，所以你直接跳到5，划去所有能被5整出的數，以

此類推。最後剩下的數就是素數。

埃拉托色尼篩在識別素數上表現完美，但是對於解決理論問題卻

過於笨重低效。在過去的一個世紀中，針對這些問題，數論家們

發展出了一整套方法來提供近似的答案。

怎樣判斷一個數是否為素數？素數即只能被1和其本身整除的數

，判斷n是否為素數只需用2~n/2或2~n之間的數去除就可以了，

常用2~n/2，因為一個數的一半的平方大於其本身是從5開始的，

解方程：n/2的平方>n 。即一個數n的兩個因數不能同時比n/2大

。就可以說一個數若不是素數則一定在2~n/2之間有因數。而且2

，3也是符合下面程序的。

判斷依據：一個數N如果能被2～N/2之間的數整除，則該數不是

質數；否則為質數。雖然素數有無窮多個，但在自然數列中的一

個相當長的數列中，卻找不到一個素數，而有時會出現若p是素

數，p+2也是素數的情況，所以素數的出現並無規則可言。

一個素數只有1和本身這兩個約數，因此素數就不能再分解了。

合數有兩個以上的素約數，奇數里的合數也能分解成「約數全部

是素數的乘積」和「約數是素數和偶數的乘積」及「約數是非素

數和偶數的的乘積」。

並無所求素數的個數之任何規律。孿生素數猜想（the

conjecture of twin primes）猜測存在無窮多對孿生素數（相

差2的素數）。在2013年，華人數學家張益唐對這個猜想做出了

突破性貢獻；然而孿生素數猜想尚沒有得到完全證明。

　　梅納德在接受媒體採訪時表示，用他的方法可以將無窮多個

素數對之差縮小到6（即k等於3），但不能縮小到2；要縮小到2

，仍需新的方法和工具。他堅信孿生素數猜想是可以證明的。讓

我們拭目以待！