共線向量的三個命題及應用

命題1：若兩非零向量

共線，則有且只有一個實數

，使

；

命題2：若兩向量

滿足

（

為非零實數），則向量

共線；

命題3：若向量

不共線，且

，則

；

命題1、2的正確性是顯然的，對於命題3可用反證法，再藉助於命題2很快予以證明，本文例說上述三命題在解題中的應用

1.證三點共線

例1　已知兩非零向量

不共線，如果

，

，

，求證：

三點共線。

證明：由

得向量

共線，又

有公共起點

故

三點共線。

點評：欲證

三點共線，由於

有公共起點，因而只需證

共線即可；也就是證明存在非零實數

，使

；

2.證幾何題

例2　已知

是

的三條高，

於

，

於

，求證：

證明：

，

，

設

，那麼

又

，

，

即

與

相似，於是得

因此，

，

即

點評：將平幾問題轉化為向量問題，欲證

，只需證

即可；

3.求向量

例3　在

中，

分別是

的中點，

與

交於

，設

，

，用

表示向量

解：由於

三點共線，得

，同理得

又

由於

得

即

得

，那麼

點評：用已知向量表示未知向量，往往有一定的難度。面對圖形中錯綜複雜的線條，要善於抓關鍵、抓重點，有時還要藉助於參數；本題藉助於參數且兩次利用三點共線，再結合向量的線性表示結論；

4.解探索性題

例4　若

是兩個不共線且起點相同的非零向量，問是否存在實數

，使

三向量的終點在同一直線上？若存在，請求出實數

；若不存在，請說明理由；

解：若存在，則必存在實數

使

即

由於

不共線，得

故存在實數

，使

三向量的終點在同一直線上。

點評：先假設結論存在，然後進行推理，出現矛盾，說明不存在，否則結論存在是求解探索性問題的常規思路；本題先假定三終點共線，產生「

」，再結合

不共線產生

的值，從而肯定結論存在。
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