阿貝爾積分方程

05-30

阿貝爾積分方程

挪威的短命天才數學家阿貝爾(1802 - 1829)大概是數學史上第一個認真考慮如何求解一個積分方程的數學家。考慮到積分方程的完整理論大概是到了二十世紀初的時候才由VitoVolterra(3 May 1860 – 11 October 1940)提出，而這些理論還是建立在泛函分析的基礎上，所以阿貝爾的成就愈加顯得引人注目。阿貝爾最著名的成就大概是在橢圓函數和代數上。代數上指的是阿貝爾第一個證明了一個一般的五次方程沒有根式解。更具普適性的結果，就是五次及以上的方程沒有根式解，要等到另一個短命天才數學家伽羅瓦去證明。這裡不去探討阿貝爾在橢圓函數和代數上的貢獻，而只回顧一下阿貝爾在積分方程方面的貢獻。

阿貝爾一開始要考慮的是這樣的一個問題：

假設一個初始速度為零的質點沿著一條光滑的曲線在重力場中運動。該質點在重力場中下落高度為 $h$ . 如果給定曲線的形狀，那麼我們就可以用微積分的方法計算出質點沿著某條特定的曲線下降高度 $h$ 所需的時間 $T(h)$ . 阿貝爾考慮的是這個問題的反問題，就是如果質點下降高度 $h$ 所需的時間是已知的，那麼如何確定這條曲線的形狀？

積分方程很多時候就是為了求解反問題。例如，如果一個函數的傅里葉變換是已知的，如何去計算這個原函數？這就是一個反問題。後來的積分方程理論也是在計算反問題。積分方程通常都會有一個核函數。積分方程的問題通常是，已經知道了一個函數跟核函數的卷積，如何求出這個函數。如果用現代數學的語言來描述，這就相當於已知一個運算元作用在一個函數上的結果，如何求出這個原函數。答案就是求出這個核函數或者運算元的逆，把這個逆作用在已知的結果上，就得到了那個原函數。這個思路跟線性代數解方程求逆矩陣很像，於是就可以把函數類比做矢量，核函數或者運算元類比做矩陣，卷積類比做矩陣與矢量的乘法。這裡只是一個粗糙的類比。這種類比一旦嚴格化(例如如何計算一個函數的長度，或者叫範數，如何計算一個運算元的逆，如何定義兩個函數的夾角，如何計算函數的投影，如何對函數做正交基展開，如何保證求積分的時候不發散), 泛函分析就出現了。

說了一些題外話，這裡重新回到阿貝爾的問題。為了求解這個問題，首先我們要把問題數學化。為此，我們首先要建立一個坐標系。為了方便，令縱坐標取向下為正方向，因為向下為重力場的方向。假設這條曲線沒有 kink，也就是對於任意一個縱坐標 $y$ ，我們有唯一的一個橫坐標 $x$ . 於是這條未知的曲線就可以用一個方程來描述為:

$x = f(y)$

假設質點的初始高度為 $y, 0 le y le h$ , 那麼質點到達高度 $h$ 時它的速度為 $v = sqrt{2g(h - y)}$ .

因為速度還可以寫作

$v = frac{ds}{dt} = frac{sqrt{dx^2 + dy^2}}{dt} = frac{sqrt{1 + Big(frac{dx}{dy}Big)^2}}{dt}dy$ ,

所以可以得到時間微分為

$dt = frac{ds}{v} = frac{sqrt{1 + Big(frac{dx}{dy}Big)^2}dy}{sqrt{2g(h-y)}}$

於是質點沿著曲線 $x = f(y)$ 從高度為零降到到高度為 $h$ 所需的總時間為

$T(h) = int_{0}^{T}dt = int_{0}^{h}frac{sqrt{1 + Big(frac{dx}{dy}Big)^2}dy}{sqrt{2g(h-y)}}$ .

這是一個關於未知曲線 $x = f(y)$ 的積分方程。為了方便，可以定義一個函數

$phi(y) = frac{sqrt{1 + Big(frac{dx}{dy} Big)^2}}{sqrt{2g}}$

於是阿貝爾積分方程可以寫成是

$T(h) = int_{0}^{h}frac{phi(y)}{sqrt{h - y}} dy$

這顯然是拉普拉斯變換的卷積。可以將 $frac{1}{sqrt{h - y}}$ 理解為積分方程的核函數或者運算元，核函數與未知函數 $phi(y)$ 的卷積理解為運算元與矢量的乘法。為了求解這個方程，我們需要做拉普拉斯變換:

$hat{T}(p) = int_{0}^{infty}dhT(h)e^{-ph} \= int_{0}^{infty}dhe^{-ph}int_{0}^{h}dyfrac{phi(y)}{sqrt{h - y}} \= int_{0}^{infty} phi(y)dy int_{y}^{infty}dh e^{-ph} frac{1}{sqrt{ h - y}}\ = int_{0}^{infty}dyphi(y)e^{-py} int_{0}^{infty}dh e^{-ph}h^{-1/2}$