固定收益證券的數學原理2

05-30

固定收益證券的數學原理2

來自專欄生活中的經濟數學

麥考利久期

久期也稱為麥考利期限，或有效期限，或存續期間。簡單的說，它是債券的各期未來現金流到期期限的加權平均。每一期未來現金流的到期期限的權數，對應為，每一期未來現金流的現值與債券現行價格的比重。

一張T年期債券，k時刻的現金支付為 $C_k$ ，與債券的風險程度相適應的收益率為y。

$P=sum_{k=1}^{T}{frac{C_k}{(1+y)^k}}$

k時刻現金流的時間t對應的相對數權重為 $w_k$ ，權重總和為1。

$w_k=frac{C_k/(1+y)^k}{P}$

麥考利久期為

$MacD=frac{sum_{k=1}^{T}{k*frac{C_k}{(1+y)^k}}}{P}=sum_{k=1}^{T} k* frac{frac{C_k}{(1+y)^k}}{P}=sum_{k=1}^{T} k* w_k$

同時可以得出債卷價值對利率的敏感性

$frac{partial P}{partial y}=frac{-1}{1+y}sum_{k=1}^{T}{k*frac{C_k}{(1+y)^k}}$

$frac{1}{P}frac{partial P}{partial y}=frac{-MacD}{1+y}=-MacD^*$

$MacD^*=frac{-MacD}{1+y}$

$MacD^*$ 是修正久期。麥考利久期計算的僅僅是債券的平均到期期限。修正久期主要表明yield改變對債券價格變化的影響。修正久期在數值上描述的是當市場利率變化一個百分點時，債券價格的變動百分比。

$MacD^*=-frac{1}{P}frac{partial P}{partial y}=frac{-MacD}{1+y}$

顯然麥考利久期越長，收利率波動的影響越大。利率下降時，債券的當前價值升高；利率上升時，債券的當前價值降低。如上圖例子，利率每提高0.1%，債券價格就下降69個基準點。

債券的凸性

P為債券價值

$P=sum_{k=1}^{T}{frac{C_k}{(1+y)^k}}$

P的一階導數為

$frac{partial P}{partial y}=frac{-1}{1+y}sum_{k=1}^{T}{k*frac{C_k}{(1+y)^k}}$

P的二階導數為

$frac{partial^2 P}{partial y^2}=frac{1}{(1+y)^2}sum_{k=1}^{T}{k*(k+1)frac{C_k}{(1+y)^k}}$

$frac{1}{P}frac{partial^2 P}{partial y^2}=V_m$

$D_m^*(P)=-frac{1}{P}frac{partial P}{partial y}$

$V_m^*(P)=-frac{1}{P}frac{partial^2 P}{partial y^2}$

根據泰勒公式展開

$P(y^/)=P(y)*[1-D^*_m(y^/-y)+frac{1}{2}V^*_m(y^/-y)^2]$

一階導數<0,二階導數>0，函數下降幅度是逐漸降低的，坡度逐漸變緩

還是以30年美國國債為例，假設有100wd的資金，在利息5%時購入

根據 $P_0=frac{F}{(1+r_{0,T})^T}$ ， $P_0=100$

$F=P_0*(1+r_{0,T})^T=100*1.05^{30}=432.19$

利息從 5%降到4%時

$P_0^1=frac{F}{(1+r_{0,T})^T}=frac{432.19}{(1+0.04)^{30}}=133.25$

利息從 5%降到4%，你的回報將會達到33.25%。但如果利息從 5%升高到6%時又如何呢？

$P_0^2=frac{F}{(1+r_{0,T})^T}=frac{432.19}{(1+0.06)^{30}}=75.25$

利息從 5%升高到6%，你的回報將會達到-24.75%,損失低於利息下降時的盈利，這些都可以從二階導數>0能分析出來。

公司債券

公司債券定價因素中，違約風險時首先要考慮的。必須參考評級機構對他們的評級。比如穆迪投資服務有限公司（Moody』s Investors Services）,是美國評級業務的先驅，也是當今世界評級機構中最負盛名的一個。它不僅對國內的各種債券和股票進行評級，還將評級業務推進到國際市場。

評級級別由最高的Aaa級到最低的C級，一共有二十一個級別。評級級別分為兩個部分，包括投資等級和投機等級。評級公司有專門的數據和分析師來分析某些結構的等級，但問題是評級公司需要盈利，需要和大量客戶保持關係，這使的它的客觀性收到質疑。當然很多實例也說明評級公司結論也並不是完全的可靠，但仍然是一項重要指標。

這些債券統稱固定收益市場，風險比股票、房產小很多，佔據了一個很大的市場。但高風險的債券也來越像股票。

假設有2隻10%違約可能的債券，面值1000d，考慮到違約風險市場實際價格為900d。但如果2隻債券進行打包，優先順序的債券只有1%的可能違約，99%的可能得到1000d，因此市場實際價格為990d。而另一隻次級債券，由於被轉移了優先順序的債券的風險，只有81%的可能得到1000d，19%的可能違約，因此市場實際價格為810d。

兩隻債券的總額未變1800d，但價格和風險完全不一樣。同一種的債券可以如此通過金融工程學被打造成2種產品，1種只有1%的違約率，按照莫迪的標準可以評為Aaa級。而另一種19%的違約率，只能被評為Ba級。

問題在於前面的假設是這2隻債券是完全獨立的，但在現實生活中是不可能完全獨立的，通過各種複雜關聯他們的價格在很大程度上是聯動的。因此這2隻Aaa級和Ba級債券實際的違約風險並沒有相差的那麼大，利潤反而從Aaa級持有者轉移到Ba級持有者手中。